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§8.10 圆锥曲线中常见结论及应用
重点解读 椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而
解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然
很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论
一些复杂的问题便能迎刃而解．
题型一 椭圆、双曲线的常用结论及其应用
命题点1 焦点三角形
例1 (2023·临川模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F ，F ，其离心率
1 2
为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠FPF ＝，已知△FPF 的内切圆的面积为3π，则
1 2 1 2
该椭圆的长轴长为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
答案 D
解析 由e＝，得＝，即a＝2c.①
设△FPF 的内切圆的半径为r，
1 2
因为△FPF 的内切圆的面积为3π，
1 2
所以πr2＝3π，解得r＝(舍负)，
在△FPF 中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 ＝b2tan ＝r(2a＋2c)，
1 2
即b2＝(a＋c)，②
又a2＝b2＋c2，③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
思维升华 焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的一点，
F，F 为其左、右焦点且∠FPF＝θ，
1 2 1 2
则椭圆中 ＝b2·tan ，
双曲线中 ＝.
跟踪训练1 如图，F，F 是椭圆C ：＋y2＝1与双曲线C 的公共焦点，A，B分别是C ，C
1 2 1 2 1 2
在第二、四象限的公共点．若四边形AFBF 为矩形，则C 的离心率是( )
1 2 2A. B. C. D.
答案 D
解析 设双曲线C 的方程为－＝1(a>0，b>0)，
2 2 2
则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.
设椭圆C 中，a＝2，b＝1，
1 1 1
又四边形AFBF 为矩形，
1 2
所以△AFF 的面积为btan 45°＝，
1 2
即b＝b＝1.
所以a＝c－b＝3－1＝2.
故双曲线C 的离心率e＝＝＝.
2
命题点2 周角定理
例2 已知椭圆C：＋y2＝1的左、右两个顶点分别为A，B，点M ，M ，…，M 是AB的六
1 2 5
等分点，分别过这五点作斜率为k(k≠0)的一组平行线，交椭圆C于P，P，…，P ，则直
1 2 10
线AP，AP，…，AP ，这10条直线的斜率乘积为( )
1 2 10
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 由椭圆的性质可得
＝－＝－.
由椭圆的对称性可得
＝－.
同理可得 ＝－.
∴直线AP，AP，…，AP 这10条直线的斜率乘积为5＝－.
1 2 10
思维升华 周角定理：已知点P为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B为长轴(或实
轴)端点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
周角定理的推广：已知A，B两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点，点P为椭圆
(或双曲线)上异于A，B的任一点，则椭圆中k ·k ＝－，双曲线中k ·k ＝.
PA PB PA PB
跟踪训练2 已知直线l：y＝kx与椭圆E：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，M是椭圆上异于
A，B的一点．若椭圆E的离心率的取值范围是，则直线MA，MB斜率之积的取值范围是(
)A. B.
C. D.
答案 D
解析 由椭圆中的结论，可得k ·k ＝－，
MA MB
由椭圆的离心率的取值范围是，
即0，y>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋yy＝1，
1 1 1 1 1
令y＝0，可得C，令x＝0，可得D，
所以△OCD的面积S＝··＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立，
1 1
所以△OCD面积的最小值为.
思维升华 (1)已知点P(x ，y)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P与圆锥曲线相切的切
0 0
线方程为椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1.
(2)若点P(x ，y)是椭圆(或双曲线)外一点，过点P(x ，y)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切
0 0 0 0
点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程是椭圆中＋＝1，双曲线中－＝1.
跟踪训练3 点P为直线l：y＝x＋1上一动点，过P作双曲线－y2＝1的切线PA，PB，切点
分别为A，B，则直线AB过定点________．
答案 (－1，－1)
解析 设P(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，
0 0 1 1 2 2
则PA，PB的方程分别为－yy＝1，－yy＝1，
1 2
因为点P在两条直线上，所以－yy＝1，
1 0
－yy＝1.
2 0这表明，点A，B都在直线－yy＝1上，
0
即直线AB的方程为－yy＝1.
0
又y＝＋1，代入整理得(x－y)－(y＋1)＝0，
0
令解得
即直线AB过定点(－1，－1)．
题型二 抛物线的常用结论及其应用
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为 α的直线l经过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于 A(x ，y)，
1 1
B(x，y)(y>y)两点，则
2 2 1 2
(1)焦半径|AF|＝x＋＝，
1
|BF|＝x＋＝，
2
(2)焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝，
1 2
(3)S ＝(O为坐标原点)，
△OAB
(4)xx＝，yy＝－p2，
1 2 1 2
(5)＋＝，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
例4 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，
且满足AB＝3FB，S ＝|AB|，则|AB|的值为( )
△OAB
A. B. C．4 D．2
答案 A
解析 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，
∵AB＝3FB，
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由＋＝，得＋＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p，
又|AB|＝，∴＝p⇒sin α＝，
又S ＝|AB|，∴＝|AB|，
△OAB
即＝·p⇒p＝2，∴|AB|＝.
(2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积是( )
A．4 B. C. D.
答案 D
解析 不妨令A(x ，y )在第一象限，B(x ，y )在第四象限，
A A B B
则y y ＝－p2＝－8，所以p＝2.
A B
又因为|AF|＝3|BF|，所以＝3，
即|y |＝3|y |，代入y y ＝－8，
A B A B
可得3y＝8，由于B在第四象限，则y ＝－，
B
所以y ＝2，
A
所以S ＝|OF|·|y －y |＝.
△OAB A B
思维升华 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求
解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．
跟踪训练4 (1)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，
A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________.
答案
解析 直线l的倾斜角α＝60°，
由|AF|＝＝4，
得p＝4(1－cos α)＝2，
∴|AB|＝＝＝.
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两
点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案 64
解析 依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S ＝＝＝64.
△OAB
(3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，
则2|AF|＋|BF|的最小值为________．
答案 3＋2
解析 因为p＝2，所以＋＝＝1，
所以2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·
＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当|BF|＝|AF|，即|AF|＝＋1，|BF|＝＋1时，等号成立，
因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·太原模拟)过抛物线x2＝8y的焦点F的直线交抛物线于 M，N两点，若MF＝
λFN，|MN|＝9，则λ的值为( )
A. B. C.或3 D.或2
答案 D
解析 在抛物线中，由焦点弦的性质可得
解得或
所以λ＝2或.
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，直线l：y＝kx(k≠0)与C
1 2
交于M，N两点，且|FF|＝|MN|，四边形MF NF 的面积为8a2，则C的离心率是( )
1 2 1 2
A. B. C．3 D．5
答案 B
解析 如图，由对称性知MN与FF 互相平分，
1 2
∴四边形MF NF 为平行四边形，
2 1
∵|FF|＝|MN|，
1 2
∴四边形MF NF 为矩形，
2 1
∴ ＝4a2，
又 ＝＝4a2，即b2＝4a2，
∴c2－a2＝4a2，即c2＝5a2，即e＝＝.
3．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l，l，直线l 与C相
1 2 1
交于A，B两点，直线l 与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
2A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 如图，设直线l 的倾斜角为θ，θ∈，
1
则直线l 的倾斜角为＋θ，
2
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝＝，|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝
＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.
4．(2023·石家庄模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点
(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足BA·BP＝0，直线PA交x轴于点D，若
∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为( )
A. B．2 C. D．3
答案 A
解析 如图，BA·BP＝0，
∴BA⊥BP，令k ＝k，
AB
∵∠ADO＝∠AOD，
∴k ＝－k ＝－k，
AP AB
又BA⊥BP，∴k ＝－，
PB
依题意，k ·k ＝，∴－·(－k)＝，
PB PA
∴＝1，即e＝＝＝.
5．直线l过抛物线C：y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点且S ＝3，过A，B分别
△ABO
作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 不妨令直线l的倾斜角为θ，则S ＝＝＝3，
△ABO
∴sin θ＝，取θ＝60°，
∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，
∴|AB|＝8，|AA′|＝6，|BB′|＝2，|A′B′|＝|AB|sin θ＝4，
∴S ＝(|BB′|＋|AA′|)·|A′B′|
四边形ABB′A′
＝×(2＋6)×4＝16.
6．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，点A是直线x＝3上的动点，过点A作椭圆C的切线
AM，AN，切点分别为M，N，则|MF|＋|NF|－|MN|的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 D
解析 由已知可得F(1,0)，
设M(x，y)，N(x，y)，A(3，t)，
1 1 2 2
则切线AM，AN的方程分别为＋＝1，＋＝1，
因为切线AM，AN过点A(3，t)，
所以x＋＝1，x＋＝1，
1 2
所以直线MN的方程为x＋＝1，
因为F(1,0)，所以1＋＝1，
所以点F(1,0)在直线MN上，
所以M，N，F三点共线，
所以|MF|＋|NF|－|MN|＝0.
二、多项选择题
7.已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的
准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说
法正确的是( )
A．线段AB长度的最小值为2
B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切
C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO
答案 BCD
解析 如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D，
当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；
∵直线y＝－1为准线，
∴|ED|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|，
故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，
故B正确；
又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，
又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，
同理可得∠AFH＝∠MFH，
又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，
∴∠MFG＋∠MFH＝90°，∴FG⊥FH.
即∠HFG＝90°，故C正确；
设A(x，y)，B(x，y)，由题意知，直线AB的斜率存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，
1 1 2 2
由得x2－4kx－4＝0，
∴x＋x＝4k，xx＝－4，
1 2 1 2
k ＋k ＝＋＝＋
AM BM
＝2k＋＝2k＋2·＝0，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正确．
8．(2024·广州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，左、右
1 2
顶点分别为A ，A ，P为双曲线的左支上一点，且直线PA 与PA 的斜率之积等于3，则下
1 2 1 2
列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为2
B．若PF⊥PF，且 ＝3，则a＝2
1 2
C．以线段PF，AA 为直径的两个圆外切
1 1 2
D．若点P在第二象限，则∠PFA＝2∠PAF
1 2 2 1
答案 ACD
解析 对于A，由 ＝＝3，得e＝＝＝2，故A正确；
对于B，因为PF⊥PF，
1 2
所以△PFF 的面积为＝b2＝3，
1 2
又＝3，所以a＝1，故B错误；
对于C，设PF 的中点为O，O为原点．
1 1
因为OO 为△PFF 的中位线，
1 1 2
所以|OO |＝|PF|＝(|PF|＋2a)＝|PF|＋a，则可知以线段PF ，AA 为直径的两个圆外切，
1 2 1 1 1 1 2
故C正确；
对于D，设P(x，y)，则x<－a，y>0.
0 0 0 0
因为e＝2，所以c＝2a，b＝a，
则渐近线方程为y＝±x，
所以∠PAF∈，∠PFA∈.
2 1 1 2
又tan∠PFA＝＝，
1 2
tan∠PAF＝－，
2 1
所以tan 2∠PAF＝
2 1
＝＝
＝
＝
＝＝tan∠PFA，
1 2
因为2∠PAF∈，
2 1
所以∠PFA＝2∠PAF，故D正确．
1 2 2 1
三、填空题
9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过
点(0,2)，则C的方程为________________．
答案 y2＝4x或y2＝16x
解析 抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
因为以MF为直径的圆与y轴相切，
所以该圆与y轴相切于点(0,2)，
故圆心的纵坐标为2，则M点的纵坐标为4，又|MF|＝x ＋＝5，
M
所以x ＝5－，即M，
M
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
10.已知椭圆C：＋y2＝1.如图，设直线l与圆O：x2＋y2＝R2(1
