文档内容
秘籍 08 圆锥曲线小题
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：基本结论
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】圆锥曲线定义型
【题型二】 焦点弦与焦半径型
【题型三】 定比分点
【题型四】 离心率综合
【题型五】 双曲线渐近线型
【题型六】 抛物线中的设点计算型
【题型七】 切线型
【题型八】 切点弦型
【题型九】 曲线轨迹型
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 圆锥曲线几何原理
圆锥曲线属于高考难点，也是解析几何的主要内容，多出现在压轴题的位置，考察的内容和题型也偏
多，需要学生对于基础知识熟练掌握的基础上还需要利用数形结合等的思想结合几何和代数的方法来解决
相应问题。需要记忆的结论很多，所以相应的推理方法也都必须要能够理解，这里通过梳理题型来理解其
中的含义和方法。
易错点：基本结论
1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然
后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，
也可把椭圆方程设为mx2 ＋ny2 ＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
例（2024·全国·模拟预测）设双曲线 的一个顶点坐标为 ，焦距为 ，则双
曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】双曲线 中，半焦距为 ，即 ，
又双曲线一个顶点坐标为 ，即 ，解得 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ．
故选：D．
变式1：（2024·全国·模拟预测）设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为
， ．若这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为 ，则 ， 分别为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【详解】
由题意可设双曲线 的左、右焦点为 ， ，设椭圆 的上、下焦点为 ， ，记坐标原点为 ，
因为这4个焦点所形成的封闭图形中最大的内角为 ，
由此可得 ，则 ，
所以 ．
所以 ，两边平方后即可求得 ，
， ，故 分别为 ， ．
故选：D．
变式2：（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，则抛物线 的焦点
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
则抛物线 的标准方程为 ，它的焦点坐标为 .
故选：D.
【题型一】圆锥曲线定义型
基本定义：
(1)椭圆定义：动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数)
(2)双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
(3)抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
拓展定义：
1. A,B是椭圆C: + ＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则 （可用点差法快速证明）
:
2.A,B是双曲线C － ＝1 (a>0，b>0)上两点，M为A,B中点，则 （可用点差法快速证明）
【例1】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C： （ ）上一点， 、 是 的两个焦
点， ，点 在 的平分线上， 为原点， ，且 ．则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，设 ， ，延长 交 于A，由题意知 ，O为 的中点，故 为 中点，
又 ，即 ，则 ，
又由 ，则 是等腰直角三角形，
故有 ，化简得 ，即 ，
代入 得 ，
即 ，由 所以 ，
所以 ， .
故选：C.
【例2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足
线段PE的中点在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】设 ，则PE的中点坐标为 ，代入 ，可得 ，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l： 为准线的抛物线 ，
由于 ，故 在抛物线 内部，
过点P作 ，垂足为Q，则 ，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时， 最小，即 最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以 ，
故选：B．
【例3】（多选）（2024·河南开封·三模）椭圆 的焦点为 ， ，上顶点为A，
直线 与C的另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．C的焦距为2 B．C的短轴长为
C．C的离心率为 D． 的周长为8
【答案】ABD
【详解】由于 ，所以 ,
故 ，
因此 ，故 ，
所以椭圆 ，
对于A，焦距为 ，故A正确，
对于B，短轴长为 ，B正确，
对于C，离心率为 ，C错误，
对于D， 的周长为 ，D正确，
故选：ABD
【变式1】（2024·贵州安顺·一模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 为 上一
点，且 ，若 ， 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆 的离心率 ．
【答案】
【详解】
根据已知条件有，有正弦定理面积公式有：
，又 ，
所以 ，
设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，
因为 为椭圆上一点，则 ，又 ，
以 的三边为底， 内切圆半径为高的三个三角形面积和等于 面积，
所以 ，解得 ，
由正弦定理有： ，解得 ，
又 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 ，两边同除以 ，得 ，又 ，解得 .
故答案为：
【变式2】（2024·上海奉贤·二模）点 是棱长为1的正方体 棱上一点，则满足
的点 的个数为 ．【答案】
【详解】因为正方体 的棱长为1，所以 ，
又 ，
所以点 是以 为焦距，以 为长半轴，以 为短半轴的椭球上的一点，且焦点分
别为 ，
所以点 是椭球与正方体棱的交点，在以 为顶点的棱上，所以共有6个，
故答案为：6.
【变式3】（2023·河南焦作·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ， 为坐标原点，
，线段 的垂直平分线与 交于 两点，且与 的一条渐近线交于第二象限的点 ，若
，则 的周长为 .
【答案】 /
【详解】记 的右焦点为 ，
由题意可知：双曲线 的一条渐近线为 ，可知点 在 的渐近线上，
且 ，即 ，
且 ， ，则 ，
可知 和 均为等边三角形，
则 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 .
不妨设A在 上方，
则 的周长为 ，
又因为 的直线方程为 ，与双曲线方程联立得 ，整理得 ，解得 ，
且 ，可知 ，所以 的周长为 .
故答案为： .
【题型二】 焦点弦与焦半径型
1.已知F是抛物线 的焦点，点P在抛物线上，则
2.若焦点弦 的倾斜角为 ，则 （横放）若 的倾斜角为 ，则 （竖
放）
【例1】已知A，B为椭圆 上两个不同的点，F为右焦点， ，若线段AB的垂直平
分线交x轴于点T，则 ．
【答案】
【详解】取椭圆方程为 ， ，直线方程为 （椭圆右准线），
椭圆上点 ，右焦点 ，设点 到直线的距离为d，
则
，
所以 ，
因为本题椭圆离心率: ，设由焦半径公式: 得: ,
即 中点 ， ，则 垂直平分线斜率为
根据点 在椭圆上，则有 ， ，作差化简得 ，
则线段 的垂直平分线方程为 ,代入 得:
,即 ,则 .
故答案为： .
【例2】已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，抛物线 的焦点为 ，
设两曲线的一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知 ，则抛物线的方程为 ，
设不妨设 在第一象限，且有数量积的投影可知 ，则 ，
由椭圆的焦半径公式可知 ，
由抛物线的定义 ，
则 ，
所以 ，即 ，
解得 .
故选：A.【变式1】已知椭圆 （ ）的焦点为 ， ，若点 在椭圆上，且满足
（其中 为坐标原点），则称点 为“ ”点，则椭圆上的“ ”点有个
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设椭圆上的点 ，由焦半径公式可知 ，
因为 ，则有
，解得 ，
因此满足条件的有四个点
故选：C．
【变式2】（多选）设 ， 为椭圆 ： 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，
为 的内心，且 内切圆半径为1，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】如下图所示，设切点为 ， ， ，
对于A，由椭圆的方程 知： ，
由椭圆的定义可得： ，
易知 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于BCD， ，
又因为 ，解得： ，
又因为 为 上一点且在第一象限，所以 ，解得： ，故B正确；
从而 ，所以 ，
所以 ，而 ，所以 ，故C错误；
从而 ，故D正确.
故选:ABD．【变式3】已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 在第一象限内的一点，抛物线 在点 处的
切线 与圆 相切（切点为 ）且交 轴于点 ，过点 作圆 的另一条 （切点为 ）交 轴于
点 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】
由题：设 ， ，
所以 ， ，
设 ， ， ，
抛物线第一象限的函数解析式为 ，
所以 ，中，由正弦定理：
，令 ，
当 时，取得等号.
故答案为：
【题型三】 定比分点
1.过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2.已知AB为抛物线 的焦点弦，【例1】（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知F1 ，F2 分别是椭圆 的左，右焦点，点A，
B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足 ，则（ ）
A． ABF2 的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
C．若
△
AB⊥AF2 ，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
【答案】AC
【详解】因为 ，则 三点共线， 周长 是定值，A对．
，B错．
∵ ，则 ，A在上、下顶点处，不妨设 ，则
解得 或， ， ， ，C对．
令
消x可得 ，
时，
时， ∴ ，D错．
故选：AC.
【例2】（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动
点，则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】设 ， ，且 得： .
故答案为： .【变式1】（多选）（2024·甘肃兰州·三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，
P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对C:抛物线 的焦点为 ， ，准线为 ，易知 ，则 ，C正
确；
对D,设 , ， , ， ， 到准线的距离分别为 ， ，
由抛物线的定义可知 ， ，于是
． ，则
直线 的倾斜角为 或 ，斜率为 ，因为 ，故 ，D错误；
对AB: , ，
直线 的方程为 ，
将 ，代入方程 ，并化简得 ，
，
于是 ． ,故AB正确；
故选：ABC．
【变式2】已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 作倾斜角60°的直线 交 于 ，
两点（A在第一象限），则 .【答案】
【详解】因为离心率为 ，所以 ,
设直线 的方程 代入椭圆方程：
得： ，又∵点 在第一象限，故 ，
所以
【变式3】（2022·安徽马鞍山·三模）双曲线C： ( ， )的焦点为 、 ，P在双曲线
右支上，且 ， 为C的渐近线方程，若 的面积为 ，则双曲线C的焦距长为
．
【答案】
【详解】∵C的渐近线方程是 ，∴C为等轴双曲线，a=b，
∴ ．
设 ，则2a=3m-m=2m，即m=a，则 ，
设∠ =θ，在 中，由余弦定理得，
△
，
即 ，化简可得 ，
∴ ，
∵ ，
， ， ， ， ．
故答案为： ．
【题型四】 离心率综合
解题时要把所给的几何特征转化为 的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得 ，利用 或 求解；
（2）根据条件得到关于 的方程或不等式，利用 将其化为关于 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E： 上三点，且
， ，直线BC与x轴交于点D，若 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取BC的中点M，设 ， ， ， ，则 ．
∵A，C在椭圆E上，∴ ，两式相减，得 ，
即 ，
∴ ．
∵ ，∴ ，连接OM，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，又 ， ，
∴ ，得 ．
∴ ，∴ ，即 ，
∴E的离心率 .
故选：D．【例2】（2024·广东佛山·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，点A，B在C上，且满足 ， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，由 ，得 ，取 的中点M，
则四边形 为平行四边形， ，
于是 ，
则 ，解得 ， ，
由椭圆定义知 ，又 ， ，
由 ，得 ，即 ，
在 和 中，余弦定理得： ，
即 ，整理得 ，
所以C的离心率为 .故选：B
【变式1】（2024·四川德阳·三模）设 是双曲线 的左、右焦点，O是坐标
原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若 则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【详解】令双曲线 的焦点 ，设 ，则 ，即有 ，
，同理 ，
而 ，故 ，
因此 ，
即 ，所以双曲线C的离心率 .
故选：D
【变式2】（2024·四川遂宁·二模）已知 ， 分别是双曲线C： 的左、
右焦点，过 的直线与圆 相切，与C在第一象限交于点P，且 轴，则C的离心
率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】设圆心为 ，直线与圆相切于点 ，
则 故 ，
由于 ，所以 ，故 ，
因此在 ，由 ，故 ，即 .
故选：D
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上
顶点为 ，过 作 的垂线，与 轴交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 /0.5
【详解】设 ， ， ，则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ．
故答案为：
【题型五】 双曲线渐近线型
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
【例1】（2024·福建·模拟预测）设双曲线C其中一支的焦点为F，另一支的顶点为A，其两渐近线分别
为 . 若点B在m上，且 ，则m与n的夹角的正切值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
记两渐近线的交点为O，设 ，双曲线实轴长 ，焦距 ，由双曲线的定义得： ，其渐近线方程为： ，
由 知， ，所以 ，
因为 ，知 为 的平分线，
记n交 于点H，
因为渐近线的性质，有 ，
综上， ，则m与n的夹角的正切值为 .
故选:B.
【例2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线 ，直线 . 双曲线 上的点 到
直线 的距离最小，则点 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题意得直线 与双曲线无交点；
设直线 的平行线 ，直曲联立 ，
整理得： ，
由直线 与双曲线相切知： ，
解得 ，由图形可知 时，双曲线 上的点 到直线 的距离最小，
代入 ，即 ，解得 .
故选：D.
【变式1】（2024·山西晋城·二模）已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
又因为双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
双曲线的左焦点 到渐近线 的距离 ，
由题意可知： ，可得 ，
所以该双曲线的方程为 .
故选：D.
【变式2】（2024·山东聊城·二模）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线的方程
为 ，若直线 与 在第一象限内的交点为 ，且 轴，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，依题意有 ，
即 ，又右焦点为 ，且 轴，所以 ，
所以 ，
故选：C.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ，
，点P为双曲线右支上一点， 交双曲线的左支于点M，直线 交双曲线的右支于另一点N，若， ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【详解】由双曲线的定义得 ，又 ，得 ．又 ，
所以 ，又 ，所以 ．
设 ，则 ， ．
由 ，得 ，
即 ，得 ，因此 ．
在 中， ．
在 中，由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，得 ，所以该双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为： .
【题型六】 抛物线中的设点计算型
是抛物线 的焦点弦，设 ， 在准线上的射影分别为 ，则：
（1） ；
（2） ；
（3）若 倾斜角为 ，则 ；
（4）以 为直径的圆与准线相切；
（5） ；
（6）若 是 中点，则 ， ；
（7） 共线， 共线；（8） ．
【例1】（2023·河南焦作·模拟预测）已知直线 交曲线 于 ， 两点（点 在点 的上
方）， 为 的焦点，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】联立方程组 ，消元得 ，
设 ， ，解得 ， ，
易知 过直线 ，根据抛物线的定义，
可得 ， ，
所以 .
故选：D.
【例2】（2024·北京顺义·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，直线
与 相交于点 ，与 轴交于点 .若 为 的中点，则 （ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【详解】 ，准线 的方程为 ，
过点 左 ，垂足为 ，
则 ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
根据抛物线的对称性不妨设 在第一象限，则 ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 .故选：B.
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知点 是抛物线 上一点，直线 与抛
物线 交于与 不重合的两点 ．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由点 在抛物线 上，得 ，解得 ，所以抛物线 ．
联立抛物线方程与直线方程，得 消去 ，整理得 ．
,
设 ，则 ．
由根与系数的关系，得 ， ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
又点 与点 不重合，所以 ，
等式两边同时除以 ，得 ，得 ，即 ，
所以 ．
故选：A．
【变式1】（2024·四川成都·三模）已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物
线 的焦点为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【详解】设 的坐标为 ，则 ，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
当点 在直线 及右侧，即 时， ，当且仅当 是 与直线 的交点时取等
号，
此时 ，当且仅 时取等号，
当点 在直线 左侧，即 时，点 关于 的对称点是 ，则 ，
，
当且仅当 是 与直线 的交点，且 时取等号，而 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆 的离心率等于 ，抛物线
的焦点 是椭圆 的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直
线 、 的斜率分别为 ，且 ．则（ ）
A． 的斜率可能不存在，且不为0
B． 点纵坐标为C．直线 的斜率
D．直线 过定点
【答案】D
【详解】A选项，由题意得 ，故 ，
因为 ，且 ，解得 ，
故椭圆方程为 ，故 ，
若 的斜率不存在，则 重合，
因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，故A错误；
B选项，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，
所以直线 的斜率存在且不为0，设直线 ，
联立 得， ，
则 ，故 ，
故 ，B错误；
C选项，直线 ，
联立 得， ，
则 ，故 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
若 ，则 ， ，
， ，此时 不与 重合，两者也不重合，满足要求，C错误；D选项，若 ，此时 ，故直线 与 轴垂直，且过点 ；
若 ，
由于 ， ，
故
，
故直线 方程为 ，
令 得 .
故直线 过定点 ，
综上，直线 过定点 ，D正确.
故选：D
【变式3】（2024·山东枣庄·一模）已知 为抛物线 的焦点， 的三个顶点都在 上，
为 的中点，且 ，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】设 、 、 ，由 可得 ，
由 ， 为 的中点，
则有 ，即 ，即 ，故 ，
，
又 ，故 ，此时点 在原点.
故选：B.
【题型七】 切线型
1.椭圆：
若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
3.点 是抛物线 上一点，则抛物线过点P的切线方程是： ；
【例1】（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明
使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新
材料
水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线
所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—
固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别
为 ， ，则（ ）
附：椭圆 上一点 处的切线方程为 .
A． B．
C． D． 和 的大小关系无法确定
【答案】A
【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为 ，如图所示，则 ，解得 ，
所以 ，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为 ，如图所示，
则切点坐标为 ，
则椭圆 上一点 的切线方程为 ，
所以椭圆的切线方程的斜率为 ，
将切点坐标 代入切线方程可得 ，解得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【例2】（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性
质，如：点 为椭圆（ 为焦点）上一点，则点 处的切线平分 外角.已知椭圆
为坐标原点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则 为
（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A【详解】依题意可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入 得 ，
整理得 ，
由于直线 和椭圆 相切，则 ，
整理得 ，
所以直线 的方程为 ，
对于椭圆 ， ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
由 解得 ，所以 .
故选：A
【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知圆 与圆
交点的轨迹为 ，过平面内的点 作轨迹 的两条互相垂直的切线，则点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆 圆心 ，
圆 圆心 ，设两圆交点为 ，则由题意知 ， ，所以 ，
又由于 ，所以由椭圆定义知，交点 是以 、 为焦点的椭圆，
且 ， ，则 ，所以轨迹 的方程为 ，
设点 ，当切线斜率存在且不为 时，设切线方程为： ，
联立 ，消 得 ，
则 ，
即 ，由于 ，则由根与系数关系知 ，即 ．
当切线斜率不存在或为 时，点 的坐标为 ， ， ， ，满足方程 ，
故所求轨迹方程为 ．
故选：A．
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
【答案】D
【详解】设 ，则 ， ，
由于 ，故过点 的切线方程为 ，
即 ，即 ，
同理可得过点 的切线方程为 ，
设 ，过点 的两切线交于点 ，
故 ，整理得 ，
同理 ，整理得 ，
故直线 的方程为 ，
斜率不为定值，AB错误，当 时， ，恒过点 ，C错误，D正确.故选：D
【变式3】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要
的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线
的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线 的焦点为 ，
顶点为 ，斜率为 的直线 过点 且与抛物线 交于 两点，若 为阿基米德三角形，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ，设直线 ，联立 ，
则 ，解得 或 ，不妨设 ，
设直线 方程为 ，联立 得，
， ，
，
解得 ，故直线 的斜率 ，故直线 ，
同理可得直线 的斜率 ，故直线 ，
联立 ，解得 ，
即 ，则 .
故选：C.
【题型八】 切点弦型
1.椭圆：
若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1 、P2 ，则切点弦P1P2 的直线方
程是 .
2.双曲线：
若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P 、P ，则切
1 2
点弦PP 的直线方程是 .
1 2
3.点 是抛物线 外一点，则抛物线过点P的切点弦方程是： ；
【例1】已知直线 与椭圆 切于点 ，与圆 交于点 ，圆 在点 处的切线
交于点 ， 为坐标原点，则 的面积的最大值为
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】设 ， ， ，由 ， ，可得四点 ， ， ， 共圆，
可得以 为直径的圆，方程为 ，
联立圆 ，相减可得 的方程为 ，
又 与椭圆相切，可得过 的切线方程为 ，即为 ，
由两直线重合的条件可得 ， ，
由于 在椭圆上，可设 ， ， ，
即有 ， ，
可得 ，
且 ， ，即有 ，
，当 即 或 或 或 时，
的面积取得最大值 ．
故选 ．
【例2】抛物线 ，过 作抛物线的两条切线，分别切抛物线 于 、 两点，则线段
中点 与 轴的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】设过 的抛物线的切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
所以联立方程 得 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 等价于 ，所以方程的解为
所以两条切线的斜率分别为
设 ， ，
所以线段 中点 与 轴的距离为 .
故选：C
【变式1】．抛物线 的焦点为F，准线为l，斜率为2的直线m与抛物线C切于一点A，与准线
l交于点B，则 的面积为（ ）
A．15 B．C． D．
【答案】C
【详解】设切点 ，则 ， ， ，可求切线为 ，
则由 得 ，切线与 轴的交点为 ，故
.
故选：C
【变式2】已知抛物线C： ，点M为直线 上一动点，过点M作直线 ， 与抛物线C分
别切于点A，B，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．0或1
【答案】A
【详解】由 ，得 ，则 ，
设 ， ，所以 ，
得切线 的方程为 ，即 ，
切线 的方程为 ，即 ，
又两条切线过切点 ，有 、 ，
所以 是方程 即 的两实根，
得 ，
又 ，
所以
将 代入上式，得 .
故选：A
【题型九】 曲线轨迹型
求轨迹方程：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所满足
的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方程，
即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
【例1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知正方形 的边长为2， 是平面 外一点，设直线
与平面 的夹角为 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，点 为动点， 、 为定点， ，
由椭圆的定义知，点 的轨迹是以 、 为焦点， 为焦距，长轴为 的椭圆，
将此椭圆绕 旋转一周，得到一个椭球，即点 的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一个椭圆，由 ，
即 ，得 ，
设点 在平面 上的射影为 ，则 ，
又 ，且 ，
所以当且仅当 时 最大，即 取到最大值 ，
故选：B．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥 的体积为 ，底面 的四个顶点在经过
球心的截面圆上，顶点 在球 的球面上，点 为底面 上一动点， 与 所成角为 ，则点
的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，设球 的半径为 ．如图所示，连接 交于点 ，连接 ，则
， ， 平面 ，所以 ，
解得 ．
在 中，因为 ， ，所以 ．
因为正方形 的中心 到各边的距离为 ，所以点 的轨迹为平面 内，以点 为
圆心，半径 的圆，故点 的轨迹长度为 ．
故选:D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中，底面 是等边三角形，侧面 是等腰直角
三角形， ， 是平面 内一点，且 ，若 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，易得 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，所以 ， ， ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
作 交 的延长线于点 ，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
则点 的轨迹长度为 ，
故选：C，
【变式2】（多选）（2024·湖南·二模）如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动
点， 是线段 的中点，则（ ）
A．若点 满足 ，则动点 的轨迹长度为
B．三棱锥 体积的最大值为
C．当直线 与 所成的角为 时，点 的轨迹长度为
D．当 在底面 上运动，且满足 平面 时，线段 长度最大值为
【答案】CD
【详解】对于A，易知 平面 平面 ，故动点 的轨迹为矩形 ，
动点 的轨迹长度为矩形 的周长，即为 ，所以 错误；
对于B，因为 ，而等边 的面积为定值 ，
要使三棱锥 的体积最大，当且仅当点 到平面 的距离最大，
易知点 是正方体到平面 距离最大的点，
所以 ，此时三棱锥 即为棱长是 的正四面体，其高为 ，所以 ，B错误；
对于C：连接AC， ，以B为圆心， 为半径画弧 ，如图1所示，
当点 在线段 和弧 上时，直线 与 所成的角为 ，
又 ，
弧 长度 ，故点 的轨迹长度为 ，故 正确；
对于D，取 的中点分别为 ，
连接 ，如图2所示，
因为 平面 平面 ，故 平面 ，
， 平面 平面 ，故 平面 ；
又 平面 ，故平面 平面 ；
又 ，
故平面 与平面 是同一个平面.
则点 的轨迹为线段 ：
在三角形 中，
则 ，
故三角形 是以 为直角的直角三角形；
故 ，故 长度的最大值为 ，故 正确.
故选： .【变式3】（2024·广东梅州·二模）在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，定义 、
两点之间的“直角距离”为 ．已知两定点 ， ，则满足
的点M的轨迹所围成的图形面积为 ．
【答案】6
【详解】设 ，由题意 , , ，
可知 ，
故当 时， ，
当 时， ，
当 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
轨迹方程的图形如图，
图形的面积为： ．
故答案为：6．
