文档内容
押新高考 4 题
椭 圆、双 曲 线 及 抛 物 线
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第5题
圆锥曲线会以单选题、多选题、填空题、解答题 4类题型进
2023年新高考Ⅱ卷第5题
行考查，单选题难度较低或一般，纵观近几年的新高考试
2021年新高考Ⅰ卷第5题 题，分别考查椭圆的离心率、椭圆中参数求解、椭圆中最值
椭圆双曲线
求解、双曲线的渐近线方程、抛物线准线方程及p的求解等
抛物线
2021年新高考Ⅰ卷第14题 知识点，相对难度不大，是高考冲刺复习的重点复习内容。
可以预测2024年新高考命题方向将继续以基础性及中等性
2021年新高考Ⅱ卷第3题
等综合问题展开命题．
2021年新高考Ⅱ卷第13题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）设椭圆 的离心率分别为 ．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第5题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方程，解出
即可.
【详解】
将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.
3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第5题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第14题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
5．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第3题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
1. 椭圆离心率，
2.
双曲线离心率
，
3. 已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 ,
, ,则椭圆的离心率
设焦点三角形
已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形
4.
,则
5. 点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且.
,则
轴上时,
当曲线焦点在
或者 而不是 或
注:6. 点 是双曲线焦点,过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率,
,则 ,当曲线焦点在 轴上时,
或者 而不是 或
注:
7. 椭圆焦点三角形的面积公式（椭圆上一点与两焦点组成的三角形叫做焦点三角形）
8. 双曲线焦点三角形面积公式：
9. 抛物线（焦点在x轴上）焦点弦相关结论，直线A,B过抛物线（焦点在x轴上）焦点与抛物线交于A，B
两点，设 ，有1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线 上点 的纵坐标为1，则 到 的焦点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】
首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
又点 在抛物线上且纵坐标为 ，所以点 到 的焦点的距离为 .
故选：B
2．（2024·江苏徐州·一模）若抛物线 上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义及抛物线的方程的性质即可求解.
【详解】由 ，得焦点 ，
设抛物线上一点 ，则
由抛物线的定义知， ，
所以 ，解得 .
故选：C.
3．（2024·广东·一模）双曲线 的顶点到其渐近线的距离为（ ）A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】求出双曲线的顶点坐标及渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意，双曲线 的顶点为 ，渐近线方程为 ，
所以双曲线 的顶点到其渐近线的距离为 .
故选：C
4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线 的焦距为4，则 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线方程以及焦距可得 ，可得渐近线方程.
【详解】由焦距为4可得 ，即 ，又 ，
所以 ，可得 ，即 ；
则 的渐近线方程为 .
故选：B
5．（2024·浙江·二模）双曲线 的离心率e的可能取值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由题得到 或 ，再利用离心率 ，即可求出结果.【详解】由 ，得到 或 ，
当 时， ，
当 ，双曲线 ， ，
所以 ，
故选：A.
6．（2024·湖南·二模）若椭圆 的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】分 与 两种情况，结合焦距得到方程，求出 ，得到离心率.
【详解】当 时， ，解得 ，
则离心率为 ，
当 时， ，解得 ，
则离心率为 .
故选：C
7．（2024·湖南·二模）已知 为双曲线 上一动点，则 到点 和到直线 的距离之比为
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】在双曲线上任取点 ，则 ，利用两点之间距离公式和点到直线距离公式计算化简
即得.【详解】在双曲线上任一点 ，则 ，
则点 到点 和到直线 的距离之比为：
故选:C.
8．（2024·浙江温州·一模）动点 到定点 的距离与 到定直线 ： 的距离的比等于
，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据距离公式即可化简求解.
【详解】根据题意可得 ，平方化简可得 ，
进而得 ，
故选:A
9．（2024·福建漳州·一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，A， 是抛物线 上关于其对称轴对称的两
点，若 ， 为坐标原点，则点A的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ，根据向量垂直列式求解即可.【详解】由题意可知： ，
设 ，则 ，可得 ，
因为 ，则 ，解得 ，
即点A的横坐标为 .
故选：B.
10．（2024·江苏·一模）在平面直角坐标系 中，已知 为双曲线 的右顶点，以
为直径的圆与 的一条渐近线交于另一点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由渐近线方程和 ⊥ 求出 ，由勾股定理得到 ，从而求出离心率.
【详解】由题意得， ⊥ ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
,
故选：B.
11．（2024·云南红河·二模）已知双曲线 的实轴长等于虚轴长的2倍，则 的渐近
线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先确定双曲线 的焦点在 轴上，从而得到实轴长等于虚轴长的2倍得到方程，求出渐近线方程.
【详解】因为 ，所以 ，故双曲线 的焦点在 轴上，
因为实轴长等于虚轴长的2倍，故 ，
解得 ，故双曲线方程为 ，
所以 的渐近线方程为 .
故选：C.
12．（2024·重庆·模拟预测）若椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率之和为 ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】
分别求出椭圆和双曲线的离心率，由两者的离心率之和为 ，解方程即可得出答案.
【详解】椭圆 ： 的离心率为 ，
双曲线 ： 的离心率为 ，
所以 ，解得： .
故选：A.13．（2024·广东广州·一模）设 ， 分别是椭圆 的右顶点和上焦点，点 在 上，
且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出点 的坐标，借助向量坐标运算求出点 坐标，代入椭圆方程求解即得.
【详解】令椭圆半焦距为c，依题意， ，由 ，得 ，
则 ，而点 在椭圆上，于是 ，解得 ，
所以 的离心率为 .
故选：A
14．（2024·山东聊城·一模）设 ， 是双曲线 的左、右焦点， 是 上的一点，
若 的一条渐近线的倾斜角为 ，且 ，则 的焦距等于（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】
借助双曲线的定义与渐近线方程计算即可得.【详解】由渐近线的倾斜角为 ，可得 ，
由 ，可得 ，
故 ， ，则 ，故 .
故选：D.
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知圆锥SO的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A作
平面 ，若 截圆锥SO得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】
根据题意，得到该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴取得最小值，即可求解.
【详解】如图所示，当该椭圆的长轴垂直于母线时，此时椭圆的长轴取得最小值，
且最小值为边长为2的正三角形的高，即 .
故选：C.
16．（2024·河北沧州·一模）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，其焦点到渐
近线的距离为2，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 及渐近线方程，再根据焦点到渐近线的距离及 求出 即可得解.【详解】由题意可得 ，所以 ，
双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
焦点 到渐近线 的距离 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 的方程为 .
故选：B.
17．（2024·江苏南通·二模）设抛物线 的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C
在第一象限的交点为M，N，且 ，则直线MN的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可设 直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系
及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解，
【详解】根据题意可得抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则有 ，设 直线方程为 ，
联立 ，可得 ，
则 ，得 ，故 ，
设 ， ，到准线距离为 ， 到准线距离为 ，
又 ，有 ，即 ，得 ，
，又 ，解得 ，
，又 ，解得 .
故选：A
18．（2024·云南·一模）已知双曲线 的左､右焦点分别是 是 右支上的
一点.若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
借助双曲线定义及余弦定理计算即可得.
【详解】由双曲线定义可得 ，又 ，
故 ， ，
则有 ，
即 ，故 .
故选：D.19．（2024·河北·一模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一点，
满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据圆的弦长公式可得 ，进而根据平行关系可得 ，利用椭圆定义以及勾
股定理即可求解.
【详解】
过 作 ，
由于圆O截直线 的弦长为 ，所以 ，
由于 ，所以 ,结合 是 的中点，
所以 ，
故 ， ，
化简得 ，所以 ，
故选：A
20．（2024·安徽池州·二模）已知圆 和两点 为圆 所在平面内的动
点，记以 为直径的圆为圆 ，以 为直径的圆为圆 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆 与圆 内切，则圆 与圆 内切
B．若圆 与圆 外切，则圆 与圆 外切
C．若 ，且圆 与圆 内切，则点 的轨迹为椭圆
D．若 ，且圆 与圆 外切，则点 的轨迹为双曲线
【答案】C
【分析】先证明当 时，若 ，则圆 与圆 内切，圆 与圆 外切；若 ，则
圆 与圆 外切，圆 与圆 内切，从而A和B错误；然后当 时，将条件变为 ，从而根
据椭圆定义知点 的轨迹为椭圆，C正确；当 时，将条件变为 ，从而根据双曲线定义知
点 的轨迹为双曲线的左支，D错误.
【详解】我们分别记 的中点为 ，显然 是 的中点，故 ， .
当 时， 在圆 内，此时，圆 和圆 不可能与圆 外切，而圆 与圆 内切等价于
，
即 ，即 ，同理，圆与圆 内切也等价于 ；
当 时， 在圆 外，故“圆 与圆 内切”和“圆 与圆 外切”分别等价于 和
，
即 和 ，即 和 .
所以，此时“圆 与圆 内切”和“圆 与圆 外切”分别等价于 和 ，同理，
“圆 与圆 内切”和“圆 与圆 外切”分别等价于 和 .下面考虑四个选项（我们没有考虑 的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当 时，若 ，则圆 与圆 内切，圆 与圆 外切；
若 ，则圆 与圆 外切，圆 与圆 内切.
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若 ，则 ，此时“圆 与圆 内切”和“圆 与圆 内切”都等价于 ，
而根据椭圆定义， 对应的轨迹即为 ，C正确；
若 ，则 ，此时“圆 与圆 外切”等价于 ，
而根据双曲线定义， 对应的轨迹为 ，
仅仅是双曲线的半支，D错误.
故选：C.
21．（2024·辽宁·一模）已知 为椭圆 的右焦点，过原点的直线与 相交于 两点，
且 轴，若 ，则 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的对称性可知， 就是 到椭圆左焦点的距离；再根据椭圆的定义和“焦点三角形”
求 的值.
【详解】设 ，如图，记 为 的左焦点，连接 ，
则由椭圆的对称性可知 ，由 ，设 ，则 .
又 轴，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .所以 的长轴长为 .
故选：B
22．（2024·辽宁·一模）已知双曲线 的下焦点和上焦点分别为 ，直线 与C交
于A，B两点，若 面积是 面积的4倍，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积比转化为焦点到直线 的距离之比即可得解.
【详解】由 可知， ，
联立 ，消元得： ，
则 ，即 ，
由 面积是 面积的4倍可知， 到直线 的距离是 到直线 距离的4倍，即
，
化简可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），故选：D
23．（2024·辽宁·模拟预测）已知点 在椭圆 上， 的左、右焦点分别为 ，则满足
的点 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设 ，由题设可得坐标的方程组，求出其解后可判断 的个数.
【详解】由椭圆 可得半焦距 ，故 .
设 ，则 ,
所以 即 ，而 ，
故 ，故满足条件的 的个数为2，
故选：B.
24．（2024·广东·模拟预测）抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于A，B两点．则
的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知 ，设 ， ，
联立直线 与抛物线方程 ，
所以 ，
而 .当且仅当 时取得等号.
故选：D
25．（2024·广东·一模）已知O为双曲线C的中心，F为双曲线C的一个焦点，且C上存在点A，使得
， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】C
【分析】解三角形求出 ，根据双曲线的定义建立方程即可得解.
【详解】不妨设双曲线焦点在 轴上， ，另一个焦点为 ，
因为 ，所以 为直角三角形，
因为 ， ，
所以由余弦定理可得 ，
所以 ，
由双曲线定义可得， ，
所以 .
故选：C
26．（2024·河北邯郸·三模）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线上一动点，点 ，则
周长的最小值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【分析】
过 及 作准线的垂线，利用抛物线定义把周长问题转化为 的最小值问题，利用三点共线时距离和最小求解即可.
【详解】由题知 ，准线方程为 .如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，
过 作准线的垂线，垂足为 ，
所以 的周长 ，
当 为 与抛物线的交点 时等号成立，即 周长的最小值为13.
故选：A
27．（2024·广东佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球，
我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号
采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点 表示地球中心，点 表示月球中心．嫦
娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点 处沿
圆 的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道 运行，并且点 为该椭圆的一个焦点．一段时间后，再在
近月球表面附近的点 处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之
间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道 的离心率约为（ ）
A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出椭圆轨道 的长半轴长及半焦距即可计算得出.
【详解】设此椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ，月球半径为 ，地球半径为 ，月球中心与地球中心距离为 ，则 ，
，于是 ， ，
所以离心率为 ．
故选：
28．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上点 作其准线的垂线，设垂足
为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得 ，结合正切定义以及 可得 ，进一步即可求解.
【详解】如图所示：
为准线与 轴的交点，
因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
而 ，所以 ，
所以 .故选：A.
29．（2024·福建福州·模拟预测）已知正方形 的四个顶点都在椭圆上，椭圆的两个焦点分别在边
和 上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题中条件可求得边长 ，建立方程，解出即可.
【详解】不妨设椭圆方程为 ，
当 时， ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
故选：C.
30．（2024·湖南·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别是 为坐标原点，以
为直径的圆与双曲线 交于点 ，且 在 上的投影向量为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 点坐标关于 的表示，再将其代入双曲线方程得到关于 的齐次方程，从而得
解.
【详解】不妨设点 在第二象限，如图，因为 在 上的投影向量为 ，则 ，
又 ，所以 ，
又 在双曲线上， ，则 ，
即 ，整理得 ，
所以 ，解得 或 （舍去）， .
故选：D.
