文档内容
秘籍 05 几何小题-截面与球
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：线面所成角的最值
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】截面最值
【题型二】 球截面
【题型三】 线面垂直型求外接球
【题型四】 面面垂直型
【题型五】 任意二面角定球心
【题型六】 内切球
【题型七】 棱切球型最值
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 外接球、内切球、截面最值、轨迹相关问题
立体几何的考察主要会以截面、组合体外接球和内切球以及轨迹动点求最值等的形式来考察学生对于
空间想象能力的考察，难度不小，一般会出现在选填的压轴题里，也有可能出现在多选以多个维度去考察。
这里主要对各个题型进行总结，需要在掌握题型的基础上锻炼自己的空间想象能力。
易错点：线面所成角的最值
1.三余弦定理：设 A为面 α 上一点，过 A的斜线AO在面 α上的射影为AB，AC为面上的一条直线，则
cosθ=cosθ⋅cosθ
1 2
说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最小角定理.
2.三正弦定理：
设二面角M−AB−N的度数为α，在平面上M上有一条射线AC，它和棱AB所成角
为β，和平面N 所成角为γ ，则 sinγ=sinα⋅sinβ.
说明：二面角是半平面内的一条直线与另一半平面所成线面角的最大值，即二面角是线面角的最大值.
例（23-24高三上·广东深圳·期末）已知矩形ABCD中， ， ，将 沿BD折起至 ，
当 与AD所成角最大时，三棱锥 的体积等于（ ）
A． B． C． D．
变式1：（2023·全国·模拟预测）已知长方体 中， ， ，M为 上
一动点，当AM与 所成角为45°时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【题型一】截面最值
求截面方法：1. 平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
2.相交线法：
（1）两条相交直线确定一个平面
（2）若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
【例1】（多选）（2024·浙江·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，过棱 ， ，
的中点作正方体的截面，则（ ）
A．截面多边形的周长为
B．截面多边形的面积为
C．截面多边形存在外接圆
D．截面所在平面与平面 所成角的正弦值为
【例2】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，棱 的中点为
，过点 作正方体的截面 ，且 ，若点 在截面 内运动（包含边界），则（ ）
A．当 最大时， 与 所成的角为
B．三棱锥 的体积为定值
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若 平面 ，则 的最小值为
【例3】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小不同的
小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称为丹德
林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为
．【变式1】（多选）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M，N分别是
， 的中点， 为线段 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A． 一定是异面直线
B．存在点 ，使得
C．直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
【变式2】（23-24高三下·江西·开学考试）在正四面体 中，M为PA边的中点，过点M作该正四
面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和
其外接球的体积分别为 和 ，则 ．
【变式3】（2024·山东日照·一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E
且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为
．【题型二】 球截面
用一个平面 去截球，若平面 经过球心，所得的截面称为球的大圆；若平面 不经过球心，所得的截面
称为球的小圆。小圆圆心与球心的连线必垂直于小圆面。
【例1】（2024·河南新乡·二模）已知一平面截球 所得截面圆的半径为2，且球心 到截面圆所在平面的
距离为1，则该球的体积为 ．
【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，已知球 的半径为 ， 在球 的表面上， ，连接球心
与 ，沿半径 旋转 使得点 旋转到球面上的点 处，若此时 ，且球心 到
所在截面圆的距离为 ，则球 的表面积为 ．
【变式1】（2024·贵州毕节·一模）如图所示，圆 和圆 是球 的两个截面圆，且两个截面互相平行，
球心 在两个截面之间，记圆 ，圆 的半径分别为 ，若 ，则球 的表面积为
（ ）A． B． C． D．
【变式2】（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两
个圆锥的高之比为 ，它们的体积之和为 ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球
面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作
《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积
（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看
成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球
去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为 ，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】 线面垂直型求外接球
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，
满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
【例1】（2024·湖南·二模）如图，在四面体 中， 平面 ，
则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
【例2】（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体 中， 是 的中点， 是
上的动点，则三棱锥 外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【例3】（多选）（2023·广东广州·模拟预测）如图所示，四面体 的底面是以 为斜边的直角三角
形，其体积为 ， 平面 ， ， 为线段 上一动点， 为 中点，则下列说法正确的
是（ ）
A． 与 重合时，三棱锥 体积最大
B．若 ，则
C．当 时，
D．四面体 的外接球球心是 ，且其体积
【变式1】（23-24高三上·浙江宁波·期末）在四面体 中， ， ，且
，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（23-24高三上·江苏·期末）在四棱锥 中， 平面 ， ，
，四棱锥 的外接球为球O，则（ ）
A． ⊥ B．C． D．点O不可能在平面 内
【变式3】（多选）（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）四棱锥 的底面为正方形， 与底面垂
直， ， ，动点 在线段 上，则（ ）
A．不存在点 ，使得 B． 的最小值为
C．四棱锥 的外接球表面积为 D．点 到直线 的距离的最小值为
【题型四】 面面垂直型
包含了面面垂直
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，可以对两平面都用正弦定理来定球心。
【例1】（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，
则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·福建福州·模拟预测）在矩形 中， ，将 沿对角线 翻折至
的位置，使得平面 平面 ，则在三棱锥 的外接球中，以 为直径的截面到球
心的距离为（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2023·湖北恩施·模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且
，现将 沿AE向上翻折，使 点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是
（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为4π
【变式2】（2024·全国·模拟预测）将菱形 沿对角线 折起，当四面体 体积最大时，它的
内切球和外接球表面积之比为 ．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在三棱锥 中， ，平面 平面
， ，点 Q为三棱锥 外接球 O上一动点，且点 到平面 的距离的最大值为
，则球O的体积为 .
【题型五】 任意二面角定球心
1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
3.许多情况下，会和二面角结合。
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体 满足 ，则该四
面体外接球体积的最小值为 ．
【例2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知菱形 中， ， ， 与 相交于点
，将 沿 折起来，使顶点 移至点 的位置，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A．存在某个位置使得
B．当 为等边三角形时，
C．当二面角 为 时，三棱锥 外接球表面积为
D．设 为线段 的中点，则三棱锥 体积的最大值为
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·全国·模拟预测）已知正方形 的边长为2，把 沿 折起，使点A与点E重
合，若三棱锥 的外接球球心O到直线 的距离为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．0
【变式3】（2022·河南信阳·模拟预测）把 沿三条中位线折叠成四面体 ，其中 ，
， ，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】 内切球
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆二、类比：三棱锥
【例1】（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里
程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图
是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面
均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的
表面积和为（ ）A． B． C． D．
【例2】（2024·青海海南·一模）已知球 是棱长为2的正方体 的内切球， 是棱 的
中点， 是球 的球面上的任意一点， ，则动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为 ，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的
稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，
硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为
m，则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在
内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·湖北·模拟预测）已知四棱锥 的底面为矩形， ， ，侧面 为正三角形且垂直于底面 ，M为四棱锥 内切球表面上一点，则点M到直线 距离的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】 棱切球型最值
【例1】（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面
边长为 ，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·广东珠海·模拟预测）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，且侧棱与正三棱锥的底面所成
角的正切值为 ，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（多选）（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体 的棱切球
（与正方体的各条棱都相切）为球 ，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．球 在正方体外部的体积大于
C．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点 在正方体外部（含正方体表面）运动，则
【变式2】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所
有棱都相切）的表面积分别为 ，则 ．
