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抢分专练 02 立体几何
一、单选题
1．（2024·江西南昌·二模）校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱
长为6的正三棱锥 的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面 ，使得平面
均与平面ABC垂直，再将球 放到上面使得 三个点在球 的表面上，若奖杯的总
高度为 ，且 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：连接 、 、 ，
取 、 、 中点 、 、 ，连接 、 、 ，
由已知侧棱长为 的正三棱锥 ，
即 ，又因为 ，
所以 ，
因为平面 ， ， 均与平面 垂直，
设 ， ， 三点所在的圆为圆 ，底面 的中心为 ，则 ，又因为奖杯总高度为 ，
设球半径为 ，球心 到圆 面的距离为 ，
则 ，即 ，
如图，易知 ≌ ，
因为 ，
所以 是边长为 的等边三角形，
设 的外接圆半径为 ，
则 ，
则在直角 中， ，
即 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
2．（2024·全国·模拟预测）在长方体 中， ，过顶点 作平面 ，使
得 平面 ，若 平面 ，则直线l和直线 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以 即直线l和直线 所成角或其补角，
在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
故直线l和直线 所成角的余弦值为 ．
故选：C．
3．（2024·全国·模拟预测）已知 中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，
得到几何体的体积为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ， ，则由题意得 ， ，
，
所以 ， ， .
故选：A．
4．（2024·河北·二模）已知一个底面内口直径为 的圆柱体玻璃杯中盛有高为 的水，向该杯中放入一个半径为 的实心冰球和一个半径为 的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰
好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则
实心钢球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有
，
化简可得： ，
即 ， ，解得： ，
所以钢球的表面积为 .
故选：D
5．（2024·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三
种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无
盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截
得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为 ，其中 为球的半径， 为球
冠的高)．已知瓷器的高为 ，在高为 处有最大直径(外径)为 ，则该瓷器的外表面积约为(
取3.14) （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知：球的半径为 ，上球冠的高 ，下球冠的高 ，设下底面圆的半径为 ，则 ，
所以该瓷器的外表面积为 .
故选：C.
6．（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ， ，若线
段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接 ， ， ，由正方体的性质及 、 分别为棱 、 的中点，
易得 ，所以线段 与 相交， 与 相交，故A、B错误；
连接 ， ，有 ， ，故 ，
所以线段 与 相交，C错误；
连接 ，直线 与 ，直线 与 均为异面直线，D正确.
故选：D.7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，P为线段 的
中点，Q为线段 （包括端点）上一点，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】取AB的中点E，连接CE，过Q作 ，垂足为M，
过M作 ，垂足为N，连接QN，PE，则 ，且 ，点E到BC的距离为 .
由直三棱柱的性质知 平面ABC，
所以 平面ABC，MN， 平面ABC，
则 ， ，且 ，QM， 平面QMN，
所以 平面QMN，且 平面QMN，
则 ，可知 ，
当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，
所以 面积的最大值为 .
故选：A.
8．（2024·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，点 是棱 的中点， 是正方体表
面上的一点，若 ，则线段 长度的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
A B C D
【详解】连接 ，在正方体 中， 平面 1 1 1 1，A B C D A B C D
四边形 1 1 1 1是正方形，因为 平面 1 1 1 1，所以 ，
又 ， ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以当点P在线段 （点 除外）时， ，取 的中点E，连接 ，
在正方形 中，因为E为 的中点， 是棱 的中点，所以 ，因为 平面 ，
平面 ，所以 ，因为 ，
且 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，设平面 平面 ，则 ，所以 ，
则 是棱 的中点，
所以当点 在正方体 的表面线段 上时， ,
由题意可知，在梯形 中， ， ， ，
，
所以线段 长度的最大值是 .故选：C
9．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面
与底面 所成的角分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设 ，
因为在矩形 中， ，所以 ，
因为 底面 ，
所以 分别是 与底面 所成的角，即 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，解得 (负根舍去)，
所以 .
故选：D.
10．（2024·河南信阳·模拟预测）棱长为1的正方体 中，点P为 上的动点，O为底面
ABCD的中心，则OP的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由题意可得OP的最小值为点 到线段 的距离，
在平面 内过点 作 于点 ，
由题意可得 ， ， ， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，因为 ，
故 ，即 .
故选：C.
11．（2024·北京东城·一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书
中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的
木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 ，高为 .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 的
粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.
每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数
据： ）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由条件可得四片瓦的体积 （ ）
所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为 （ ），
又 ，
所以共需粘土的体积为约为 ，
故选：B.
12．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为 的扇形，则该圆
锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为底面半径 ，所以底面积 ，底面周长 ，圆锥母线长 ，
圆锥侧面积 ，故圆锥的表面积为 ．
故选：C.
13．（2024·山东枣庄·一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆台的上底面圆半径 ，下底面圆半径 ，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为 ，依题意有： ，解
得 ,
所以圆台的侧面积 .
故选：B
二、多选题14．（2024·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面
体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两
条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直
角棱长分别为 ， ， ，直角顶点到斜面的距离为 ，其内切球的半径为 ，三个直角面的面积分别为 ，
， ，三个直角面与斜面所成的角分别为 ， ， ，斜面的面积为 ，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】A选项，连接 ，由于 ⊥ ， ⊥ ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
同理可得 ⊥ ， ⊥ ，
故 为 的垂心，不一定为内心，A错误；
B选项，由A可知， ⊥平面 ， ⊥平面 ，
延长 交 于点 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，
则 ⊥ ， ⊥ ，设 ，在Rt 中， ， ，
故 ，
又 ，
所以 ，
故 ，
设直角面 与斜面 所成角分别为 ，
则 ，同理可得 ，
故 ，B正确；
C选项，显然 ，
且
，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
综上， ，C正确；
D选项，直角四面体的体积 ，
故 ， ，
又 ， ，
所以
，D正确.故选：BCD
15．（2024·全国·模拟预测）已知正方体 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成角为
D．直线 与平面 所成角为
【答案】AC
【详解】对于选项A：在正方体中，因为 与 平行且相等，
可知四边形 为平行四边形，则 ∥ ，
所以异面直线 与 所成的角是 ，
因为 是正三角形，所以 ，故A正确；
对于选项B：因为 平面 ， 平面 ，则 ．
在 中，则 ，
所以直线 与 所成角的正弦值为 ，故B错误；对于选项C：因为平面 即为平面 ，
由 ， ∥ ，可得 ，
由 为正方形可得 ，
因为 ， 平面 ，可知 与平面 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，故C正确；
对于选项D：因为 平面 ， 平面 ，则 ，
且 ， ， 平面 ，
可知 与平面 ，由 与平面 ，可得 ，
同理可得： ，
且 ， 平面 ，可得直线 平面 ，
设直线 与平面 相交于点O， ，所以直线 与平面 所成的角为 ，为 的余角，
则 ，
所以直线 与平面 所成角不为 ，故D错误．
故选：AC．
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是
的中点， 是线段 上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点 ，使 四点共面
B．存在点 ，使 平面
C．三棱锥 的体积为
D．经过 四点的球的表面积为
【答案】ABC【详解】A：如图，在正方体 中，连接 ．
因为N，P分别是 的中点，所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 四点共面，即当Q与点 重合时， 四点共面，故A正确；
B：连接 ，当Q是 的中点时，因为 ，所以 ．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，故B正确；
C：连接 ，因为 ，则
，故C正确；
D：分别取 的中点E，F，构造长方体 ，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体 的外接球．
设所求外接球的直径为 ，则长方体 的体对角线即为所求的球的直径，
即 ，
所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为 ，故D错误．
故选：ABC
17．（2024·全国·模拟预测）已知球O是正三棱锥 的外接球， ，点E在线段
上，且 ．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A．π B． C． D．
【答案】BCD
【详解】如图，作 平面 ， 是等边 的中心，O是正三棱锥 外接球的球心，点
在 上，连结 ，
连结 交 于点 ， ，
设该球半径为 ，则 ．
由 可得 ，
在 中， ,解得 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
在 中， ,所以 ，
设球心O到过点E的截面圆的距离为d,可知 ，
截面圆半径 ，
所以截面圆的面积的取值范围为 ，
故选：BCD．
18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上
的动点．则下列结论正确的是（ ）A．存在点 ．使得
B．存在点 ，使得 平面
C．三棱锥 的体积不是定值
D．存在点 ．使得
三、填空题
19．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将
这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
【答案】
【详解】如图，七面体为正方体 截去三棱锥 的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线 上，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，设球心 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则球心 到平面 的距离为 ，
因为球 与三个正方形面和等边三角形面相切，
所以 ，解得 ，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 .
故答案为： .
20．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形 和 是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影
部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿 ， ， ， 折起，得到一个无盖长方体，则该
长方体体积的最大值为 ．【答案】
【详解】由题意设 ，因为 面积为 ，所以 ，
根据题意有： ，
所以 ，
则长方体的体积为 ，
，令 ，有 ，
所以 时， ，函数在 上单调递增，
时， ，函数在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
21．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱
的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为 ，若 为平面 上的动点，且
直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为 ．【答案】
【详解】如图1，扩展过M,N,P三点的平面，
可知平面 与正方体相交的截面即为正六边形 ，其边长为 ，
因此面积为 ．
由上可知， 平面 ，且垂足H为 的中点，
如图2，动直线 是以 为轴、直线 与直线 的夹角为 的圆锥的母线，
点Q的轨迹为圆锥底面圆．
图2因为 ，所以底面圆的半径 ，
所以点Q的轨迹长度为 ．
故答案为： ；
22．（2024·全国·模拟预测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记 的中点为E，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球O的表面积为 ，此时
．
【答案】 1
【详解】因为 ，
则平面 过球O的球心O．
又 的中点为E，则点E是以 为直径的球截面的小圆圆心，连接 ，如图，则 ，四边形
为梯形．
令球O的半径为R，设 ，
则 ，
四棱锥 的体积最大，当且仅当梯形 的面积最大，并且点D到平面 的距离最大，
显然球面上的点D到平面 的最大距离为R．
梯形 面积 ，
令 ，
，
求导得 ．当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此当 时， ，
此时 ，
于是四棱锥 体积的最大值为 ，解得 ，
所以球O的表面积为 ．
故答案为： .
23．（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为 ，其中
，记桌面为平面 .若 ，且 与平面 所成的角为 ，则点 到平面 的距
离的最大值为 .
【答案】
【详解】如图，过 作 ⊥ ，交 于 ，过A作 ⊥ ，交 于 ，因为在 中， , ，
则 ，当 四点共面时，点A到 的距离最大．
因为 ⊥ ，所以 是BC与平面 所成的角，则 ，则 ，
于是， ，即A到 的最大距离为 ．
故答案为： ．
四、解答题
24．（2024·全国·模拟预测）如图，将 绕边 旋转得到 ，其中
平面 ，连结 分别是 的中点， 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）过点D作 ，连接 ．
因为 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ．
又因为 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，
所以 平面 ．
因为 平面 平面 平面 ，同时 ，
所以平面 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以H是 中点，
所以 ，所以 ，
所以 ．
（2）如图，以 中点H为原点， 为x轴， 为z轴，过点H作 的平行线为y轴，建立空间直角
坐标系，
则 ，
所以 ．
设 是平面 的一个法向量，
则
取 ，则 ，所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
25．（2024·宁夏石嘴山·三模）在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ，
的中点， ， 为棱 上的点．
(1)证明： ；
(2)是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，说明点 的位置，若不存
在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在一点 ，且 为 中点，理由见解析
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又因为直三棱柱 中， ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 、 、 两两垂直，
故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知， ，
所以 ， ， ， ， ，
设 ，且 且 ，
即 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 .
（2）存在一点 ，且 为 中点，理由如下：
由（1）易知，平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
因为平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以当 为 中点时，符合题意.
26．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD，
，平面 平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段
PF上一点.
(1)证明： ；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）过 作 ，垂足为 ，
由题意知： 为矩形，可得 ，
由 ，则 为等边三角形，且F为线段BC的中点，则 ，
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面ABCD，且 平面 ，
所以 .
（2）由（1）可知： 平面ABCD，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ∥ ， ，
又因为 ，可知 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，
因为E为线段PF上一点，设 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可得： ，
整理得 ，解得 ，
所以当 ，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 .
27．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形且 ， 是边长
为 的等边三角形， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 与 交于点 ．
(1)证明： 平面 ；(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2) .
【详解】（1）如图，设 与 交于点 ，连接 .
因为 分别为 的中点，底面 是菱形，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）连接 ，因为 是边长为 的等边三角形， 为 的中点，
所以 .
因为底面 是菱形且 ，易知 为等边三角形，所以 .
易知 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
取 ，则 ，所以 .设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
则 ，取 ，则 ，所以 .
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .
28．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面
与底面所成的角为 ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的内心，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 平面 平面 ，所以 ，
因为 与平面 所成的角为 平面 ，所以 ，且 ，所以 ，
又 为 的中点，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为底面 为正方形， 为 的内心，
所以 在对角线 上．
如图，设正方形的对角线的交点为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ．
由题意知 两两垂直，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 ．
所以 ，由（1）知 ，
所以 ，
所以 ．又因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，
．
(1)证明： 平面 ．
(2)求三棱柱 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设 为 的中点，连接 ，
在 中，因为 且 ，所以 为等边三角形，所以 ，
又因为 且 ，所以四边形 为正方形，因为 ，所以 为等腰直角三角形，且 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，由 且 为 的中点，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 .
（2）如图所示，连接 ，
由（1）知，底面 为正方形，且边长为 ，所以正方形 的面积为 ，
在 中，因为 ，可得 ，
因为 平面 ，所以四棱锥 的体积为 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以三棱柱 的体积为 .
30．（2024·全国·模拟预测）如图，在 中， ．D，E分别为边 上的
中点，现将 以 为折痕折起，使点A到达点 的位置．(1)连接 ，证明： ;
(2)若平面 与平面 所成二面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）方法一：如图，取 的中点G，
因为D，E分别为 的中点，所以 ．
因为 ，所以 ．
又因为 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 ．
因为G为 的中点，且 ，
所以 ，因为 平面 ，所以 平面 ．
又因为 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
方法二：因为 ，
则 且 ，
故所以 ，即 ．
（2）方法一：因为 ，且 平面 , 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，若平面 平面 直线l，
则 ，又 ，则 ．
由（1）可知， ，则得 ，
所以平面 与平面 所成二面角的平面角为 ．
因为 ，且 ，所以 为正三角形．
如图，过点B作 平面 交于点H，连接 ，
则 为直线 与平面 所成角．
过点C作 于点F，因为 平面 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ．
方法二：如图，以D为原点， 方向为x轴正方向， 方向为y轴正方向，
在平面 内过点D作z轴垂直于平面 ，建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，
则 ，设平面 的一个法向量为 ，
由 ，故可取 ．
又因为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，故可取 ．
根据 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值 ．
