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抢分专练 03 圆锥曲线
一、单选题
1．（2024·四川德阳·三模）设 是双曲线 的左、右焦点，O
是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若 则C的离
心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
、 ，焦距为 ，在第一象限存在点 ，且点 在双曲线上，满足 ，且
，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：
上三点，且 ， ，直线BC与x轴交于点D，若 ，则E
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北·二模）已知 ， 是圆 上的两个动点，且
，若点 满足 ，点 在直线 上，则 的最
小值为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知点P为抛物线 上的动点，A，B为圆
上的两个动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右顶点，点 在 上，
为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2024·四川成都·三模）已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，
若抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，
以 为圆心， 为半径的圆交椭圆 于 、 两点，且 ，则椭圆 的方程
是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·全国·模拟预测）若双曲线 的右焦点 到其渐近线的距
离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．2
10．（2024·全国·模拟预测）设点 ，若在圆 ： 上存在点 ，使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2024·河北·二模）已知 为坐标原点，焦点为 的抛物线 过点
，过 且与 垂直的直线 与抛物线 的另一交点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．直线 与抛物线 的准线相交于点
12．（2024·全国·模拟预测）已知圆 关于直线
对称，则下列结论中正确的是（ ）
A．圆 的圆心是 B．圆 的半径是4
C． D． 的取值范围是
13．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线 的焦点，点 在C上，
过点 的直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为C．直线 与C不相切 D．
14．（2024·河南开封·三模）椭圆 的焦点为 ， ，上顶点为A，
直线 与C的另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．C的焦距为2 B．C的短轴长为
C．C的离心率为 D． 的周长为8
三、填空题
15．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为
为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为 的内心，记直线 的斜率分别为 ，
若 ，则椭圆E的离心率为 ．
16．（2024·全国·模拟预测）已知 为椭圆 的两个焦点，过原点的直线交
椭圆C于P，Q两点，且 ，则 的内切圆半径为 ．
17．（2024·河北·二模）阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线 ，若存在直线 ，使得对于曲
线 上任意一点 ，要么点 在直线 上，要么曲线 上存在与点 相异的一点 ，使得
点 与点 关于直线 对称，则称曲线 关于直线 对称，直线 称为曲线 的轴，曲线
与其轴的交点称为曲线 的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数 的图象的研究发现：反比例函
数 的图象是双曲线，其两条渐近线为 轴和 轴，两条渐近线的夹角为 ．①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线 ，由此可求得其离心率为 ．
②若 ，则将 与 联立可求得双曲线的顶点坐标为 ， ．
完成下列填空：
已知函数 的图象是双曲线 ，直线 和 轴是双曲线 的两条渐近线，
则双曲线 的位于第一象限的焦点的坐标为 ．
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知
分别是棱 的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为
，若 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为
．
四、解答题
19．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，
双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为 ．如图，点A是双曲线C上位于第
一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接 并延长交双曲线
左支于点P，连接 与 ，其中l垂直于 的平分线m，垂足为D．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线m与直线 的斜率之积为定值；
(3)求 的最小值．
20．（2024·全国·模拟预测）已知A，B分别为双曲线 的左，右顶
点，四点 中恰有三点在双曲线E上．若P
为直线 上的动点， 与E的另一交点为 与E的另一交点为D．
(1)求双曲线E的方程；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)过点B作 于点Q，是否存在定点G，使得 为定值．
21．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （ 为
参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．已知点A在圆C上．
(1)求A到直线l距离的最小值；
(2)若点B在圆C上，且 ，直线OA的斜率为2，直线OA，OB与直线l分别交于点M，N，求 的值．
22．（2024·全国·模拟预测）已知直线l： 与拋物线E： 交于
A，B两点，与x轴交于点M， ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过A，B分别作拋物线E在A，B处切线的垂线 ， ，若 与 的交点为P，P到y轴的
距离为d，直线 ， 与y轴的交点分别为C，D，且 ，求直线l的方程．
23．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，斜率为k的直线l经过抛物线
的焦点F，且与抛物线E相交于A，B两点，直线 交抛物线E的准线
于点C．
(1)当 时，求抛物线E的方程；
(2)当抛物线E的准线为 时，证明：直线 轴．
24．（2024·河北·二模）已知椭圆 的离心率 ．
(1)若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程．
(2)若直线 ， 均过点 且互相垂直，直线 交椭圆 于 两点，
直线 交椭圆 于 两点， 分别为弦 和 的中点，直线 与 轴交于点
，设 .
（ⅰ）求 ；（ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
25．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C： 的焦距为
，离心率 ，过点 作两条直线 ， ，直线 交椭圆于A，B两点，直线
交椭圆于M，N两点，A，B，M，N四点均不在坐标轴上，且A，O，M三点共线．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)记直线AM与BN的斜率分别为 ， 且 ，判断是否存在非零常数 ，使得
．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
26．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系 中，椭圆 的左，右
焦点分别为 ． 也是抛物线 的焦点，点 为 与 在第一象限的交点，
且 ．
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，
射线 与椭圆交于点 ，点 为直线 上一动点，且 ，求证：点 在定
直线上．
27．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C： （ ），直线l： 交C于
A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线 于点M．对任意 ，直线AM，AB，
BM的斜率成等差数列．
(1)求C的方程；(2)若直线 ，且 与C相切于点N，证明： 的面积不小于 ．
28．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为 ，过点F
的直线与C交于点 ， ，C在点A，B处的切线交于点P．
(1)求 的值．
(2)若点D是抛物线C上位于直线AB上方的点，点D处的切线与PA，PB分别交于点M，
N，求证： ．
29．（2024·湖南常德·三模）已知O为坐标原点，椭圆C： 的上、下顶点
为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为 ，且
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次
连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，
请求出其取值范围.
30．（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆 和抛物线 ，
的焦点 是 的上顶点，过 的直线交 于 、 两点，连接 、 并延长之，
分别交 于 、 两点，连接 ，设 、 的面积分别为 、 ．(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的取值范围.
