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易错点 12 圆锥曲线
易错题【01】求离心率考虑不全面致误
(1)当椭圆与双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上时求离心率要分两种情况分别求
解；
(2)求椭圆的离心率范围要注意 ;
(3)求双曲线的离心率范围要注意 ，
(4)若把离心率表示成某一变量的函数，利用函数性质求离心率范围，要注意自变量范围的
限制；
(5)根据几何图形求离心率或离心率范围要注意验证某些特殊点或特殊图形是否符合条件.
易错题【02】忽略判别式致误
根据直线与圆锥曲线有2个公共点求解问题，把直线方程与圆锥曲线联立整理成关于 x或y
的一元二次方程后不要忽略 这一条件，若圆锥曲线为双曲线还有保证二次项系数不能
为零.
易错题【03】忽略椭圆中x或y的取值范围致误
求解与椭圆 上的动点有关的距离范围问题，或求某一式子的范围，
要注意 ， 的限制．
易错题【04】设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在
利用直线与圆锥曲线的位置关系求解解析几何问题，是高考解答题中的常见题型，当直线
为动直线时，常设出直线的点斜式方程或斜截式方程，注意在设方程式要判断是否存在，
若斜率有可能不存在，要分2种情况讨论.
01
双曲线－＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F、F,若P为双曲线上一点,且|PF|
1 2 1
＝2|PF|,则双曲线离心率的取值范围为________．
2
【警示】本题错误解法是：如图,设|PF|＝m,∠FPF＝θ (0<θ<π),
2 1 2
由条件得|PF|＝2m,
1
|FF|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,
1 2且||PF|－|PF||＝m＝2a.
1 2
所以e＝＝.
又－1b>0)的离心率e＝,左顶点M到直线＋＝1的距离d＝,O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,证明：点O到直线
AB的距离为定值．
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【警示】本题错误解法是：(1)解 由e＝,得c＝a,又b2＝a2－c2,所以b＝a,即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1,
即到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝,
得＝,
把a＝2b代入上式,得＝,解得b＝1.
所以a＝2b＝2,c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
设直线AB的方程为y＝kx＋m,
与椭圆方程联立有
消去y,得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,
所以x＋x＝－,xx＝.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,
所以OA⊥OB.
所以OA·OB＝xx＋yy＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)xx＋km(x＋x)＋m2＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)·－＋m2＝0.
整理得5m2＝4(k2＋1),
所以点O到直线AB的距离d＝＝.
1
综上所述,点O到直线AB的距离为定值.
【问诊】忽略直线ＡＢ斜率不存在的情况
【答案】(1)由e＝,得c＝a,又b2＝a2－c2,
所以b＝a,即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1,
即到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝,
得＝,
把a＝2b代入上式,得＝,解得b＝1.
所以a＝2b＝2,c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
①当直线AB的斜率不存在时,由椭圆的对称性,
可知x＝x,y＝－y.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆经过坐标原点,
故OA·OB＝0,
即xx＋yy＝0,也就是x－y＝0,
1 2 1 2
又点A在椭圆C上,所以＋y＝1,解得|x|＝|y|＝.
1 1
此时点O到直线AB的距离d＝|x|＝.
1 1
②当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y＝kx＋m,
与椭圆方程联立有
消去y,得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,
所以x＋x＝－,xx＝.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,
所以OA⊥OB.
所以OA·OB＝xx＋yy＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)xx＋km(x＋x)＋m2＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)·－＋m2＝0.
整理得5m2＝4(k2＋1),
所以点O到直线AB的距离d＝＝.
1
综上所述,点O到直线AB的距离为定值.
【叮嘱】设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论．
1.(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：
交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
(1)求C， 的方程；
(2)设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，所以 的方程为 ；
(2)设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切．
2.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))(12分)设椭圆 的右焦点为 ，过 的
直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ．
(1)当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
(2)设 为坐标原点，证明： ．
【解析】(1)由已知得 ， 的方程为 ．由已知可得，点 的坐标为 或 ．
所以 的方程为 或 ．
(2)当 与 轴重合时， ．
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，所以 ．
当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ，
则 ，直线MA，MB的斜率之和为 ．
由 得 ．
将 代入 得 ．
所以 ．
则 ．
从而 ，故 的倾斜角互补，所以 ．
综上， ．
错
1.(2022届华大新高考联盟高三上学期质量测评)已知双曲线 ，若双曲线不存在以点 为中点的弦，则双曲线离心率 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则 ，得 ；
假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于 ，
则 ，两式作差得，
即 ，∵不存在该中点弦，∴直线AB与双曲线无交点，则 ，
得 ；综上，可得 ；又∵离心率e＝ ，∴ ≤e≤ ，即
，故选B
2．(2022届陕西省西安市高三上学期月考)已知双曲线 的左、右焦点
分别是 ，若双曲线 上存在点 使得 ，则双曲线 的离心率的取值范
围为( )
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，则 ， ， ，
，
所以 ，所以 ， ．故选B
3．(多选题)(2022届江苏省南京市高三上学期12月月考)在平面直角坐标系 中，已知
，若动点 满足 ，则( )
A．存在点 ，使得 B． 面积的最大值为
C．对任意的点 ，都有 D．有且仅有 个点 ，使得 的面积为
【答案】ABD
【解析】由题知，点P的轨迹是 ， ，焦点在x轴上的椭圆，
则 ，椭圆方程为 ，
当点P为椭圆右顶点时， ，故A正确；
当点P为椭圆上、下顶点时， 面积的取最大值，为 ，故B正确；
，
因 ，故C错误；
设使得 的面积为 的P点坐标为 ，
由 坐标知， ，直线 的方程为 ，则 ，解得 或 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，因此存在两个交点；
同理可得直线 与椭圆仅有一个交点；
综上，有且仅有 个点 ，使得 的面积为 ，故D正确；
故选ABD
4．(2022届山东省青岛市高三上学期12月月考)已知点P是椭圆 上一点， ，
是椭圆的左、右焦点，若 ，则下列说法正确的是( )
A． 的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则 的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D． 内切圆的面积为
【答案】AD
【解析】对A，根据椭圆定义可得 ，则 ①，
在 中，由余弦定理 ②，
由①②可得 ，所以 的面积为 ，故A正确；对B，设 ，则 ， ，
，
则当 时， 取得最大值为5，故B错误；
对C，由A， 的面积为 ，则 ，解得 ，故C
错误；对D，设 内切圆的半径为 ，因为 的面积为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 内`切圆的面积为 ，故D正确.故选AD.
5．(2021届上海市复旦大学附属中学高三上学期质量检测)已知 是椭圆
的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则 的取值范围是____________
【答案】
【解析】由 ， ，解得： ，所以 ，不妨令 ，
，因为P是椭圆E上任一设点，设 ( )，则 ，即
，其中 ，因为 ，
所以 ， ，所以 的取值范围是 .6．(2022届甘肃省金昌市高三上学期12月月考)抛物线C： ，F是C的焦点，过点
F的直线 与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)设 的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
【解析】(1)由题意可知，F(1，0)．
∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，
联立 ，消去y得x 2－6x＋1＝0 ，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝6，y ＋y ＝x ＋x －2＝4，
1 2 1 2 1 2
∴所求圆的圆心坐标为(3，2)，
求得弦长 ，半径 ，
所以圆的方程为(x－3) 2＋(y－2) 2＝16
(2)由题意可知直线l的斜率必存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
由 得ky 2－4y－4k＝0．设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则 ，
由 ，得(x －1，y )＝2(1－x ，－y )，
1 1 2 2
∴y ＝－2y ，
1 2
∴k 2＝8， ，
∴直线l的方程为 ，
即直线方程为 或
7．已知椭圆E： 的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于
A，C和B，D四点.
(1)四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；(2)求 的最小值.
【解析】(1)设点 ，
若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD是菱形，
于是有线段AC与BD在点F处互相平分，而点F的坐标为 ，
则 ，由椭圆的对称性知，AC垂直于x轴，BD垂直于y轴，显然这时四边形
ABCD不是平行四边形，
所以四边形ABCD不可能成为平行四边形.
(2)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的方程为 ，
由 消去y并整理得， ，则由(1)所设坐标得：
， ，
，
而直线BD的斜率为 ，同理得， ，于是得
，
令 ，则 ，当且仅当 ，即
时取“＝”，
当直线AC的斜率不存在时， ， ，则有 ，
当直线AC的斜率为零时， ， ，则有 ，而，
所以 的最小值是 .
8．已知椭圆 经过点 ，椭圆E的一个焦点为 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过点 且与椭圆E交于 两点.求 的最大值.
【解析】(1)依题意，设椭圆 的左，右焦点分别为 ， ．
则 ， ， ， ，
椭圆 的方程为 ．
(2)当直线 的斜率存在时，设 ， ， ， ， ．
由 得 ．
由 得 ．
由 ，
得 ．
设 ，则 ， ．
当直线 的斜率不存在时， ， 的最大值为 ．
9．(2021届黑龙江省哈尔滨市考试)已知椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，左、右焦点分别为 、 ，离心率 ，短轴长为2，．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 、 两点，过 作直线 的垂线，
垂足为 ，证明：直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
(3)过点 做另一直线 ，与椭圆分别交于 、 两点，求 的取值范围．
【解析】(1)因为椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，所以可设椭圆方程为
∵ 短轴长为2，∴ ，即 ，
又椭圆的离心率 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 椭圆 的标准方程为 ；
(2)由(1)得， ，又直线 的斜率不为零，故可设 的方程为 ，
由 化简可得 ，
设 ， ，又直线 的方程为 ，所以 ，
则 ， ，所以 ，
由直线 的方程为 ，且 ，
∴ ，∴ 线 的方程为 ，
∴ 故直线 恒过定点 ；
(3)若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，
直线 与椭圆 的交点为 ， ，
此时 或 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 化简可得 ，
由已知方程 有两个不同的解，∴ ，即 ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，∴ ，
，设 ，
则 ，设 ，则 ， ，
∴
∴ 且 ，∴ 的取值范围为 ，
综上 的取值范围为 .
