易错点 12 圆锥曲线
易错题【01】求离心率考虑不全面致误
(1)当椭圆与双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上时求离心率要分两种情况分别求
解；
(2)求椭圆的离心率范围要注意 ;
(3)求双曲线的离心率范围要注意 ，
(4)若把离心率表示成某一变量的函数，利用函数性质求离心率范围，要注意自变量范围的
限制；
(5)根据几何图形求离心率或离心率范围要注意验证某些特殊点或特殊图形是否符合条件.
易错题【02】忽略判别式致误
根据直线与圆锥曲线有2个公共点求解问题，把直线方程与圆锥曲线联立整理成关于 x或y
的一元二次方程后不要忽略 这一条件，若圆锥曲线为双曲线还有保证二次项系数不能
为零.
易错题【03】忽略椭圆中x或y的取值范围致误
求解与椭圆 上的动点有关的距离范围问题，或求某一式子的范围，
要注意 ， 的限制．
易错题【04】设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在
利用直线与圆锥曲线的位置关系求解解析几何问题，是高考解答题中的常见题型，当直线
为动直线时，常设出直线的点斜式方程或斜截式方程，注意在设方程式要判断是否存在，
若斜率有可能不存在，要分2种情况讨论.
01
双曲线－＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F、F,若P为双曲线上一点,且|PF|
1 2 1
＝2|PF|,则双曲线离心率的取值范围为________．
2
【警示】本题错误解法是：如图,设|PF|＝m,∠FPF＝θ (0<θ<π),
2 1 2
由条件得|PF|＝2m,
1
|FF|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,
1 2且||PF|－|PF||＝m＝2a.
1 2
所以e＝＝.
又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)．
【问诊】漏掉了P在x轴上的情况,即∠FPF＝π时的情况．
1 2
【答案】设|PF|＝m,∠FPF＝θ (0<θ≤π),
2 1 2
当点P在右顶点处时,θ＝π.
e＝＝＝＝3.
当θ≠π,由条件,得|PF|＝2m,|FF|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,
1 1 2
且||PF|－|PF||＝m＝2a.
1 2
所以e＝＝.
又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)．
综上,e∈(1,3]．
【叮嘱】对圆锥曲线上点的特殊位置(如顶点)不能忽略,综合考虑所有可能情况求离心率范
1．(2022届重庆市高三上学期质量检测)椭圆 的左顶点､左焦点､上
顶点分别为 ，若坐标原点 关于直线 的对称点恰好在直线 上，则椭圆 的
离心率 ( )
A． B． C． D．
2.(2021.山西省阳泉市高三上学期期末)两数1､9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线
的离心率为( )
A． 或 B． 或 C． D．
02
已知双曲线x2－＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q,Q 两点,且B是线
1 2
段QQ 的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由．
1 2
【警示】本题错误解法是：设Q(x,y),Q(x,y),
1 1 1 2 2 2
代入双曲线方程得①－②化简得k＝＝.
∵中点B(1,1),∴x＋x＝2,y＋y＝2,∴k＝2.
1 2 1 2
∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),
即2x－y－1＝0.
【问诊】错解中没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－＝1是否相交．
【答案】设Q(x,y),Q(x,y),
1 1 1 2 2 2
代入双曲线方程得
①－②得(x＋x)(x－x)＝(y＋y)(y－y)．
1 2 1 2 1 2 1 2
∵B(1,1)为QQ 的中点,∴k＝＝2.
1 2
∴直线方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.
联立消去y得2x2－4x＋3＝0.
Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,∴所求直线不存在．
【叮嘱】用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,
所以在求出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交．当然,就本题来讲,也可以
不用点差法求解．直接设直线的方程,利用待定系数法求解．遇见直接用直线与曲线方程联
立解方程组的问题,就比较容易联想用判别式求解．
(2022届湖南省长沙市高三上学期月考)过点 作圆 的切线，两切线分别与
轴交于点 ， ( 在 的左边)，以 ， 为焦点的椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若经过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，当 的面积取得最大值时，求
直线 的方程.
03
已知点P是椭圆C: 上的动点, ,求 的最小值 .
【警示】本题错误解法是：设 ,则= = ,
所以 .
【问诊】忽略
【答案】设 ,则
= = ,因为 ,所以当
时 时 ,当 时 时
,当 时 时 .
【叮嘱】椭圆 中 .
1.(2021年高考全国乙卷理科)设 是椭圆 的上顶点，若 上的
任意一点 都满足 ，则 的离心率的取值范围是( )
A B C D
A． B． C． D．
1 1 1 1
2.(2022届广西南宁市高三12月月考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为
1，离心率为 ．(1)求椭圆C的方程；
(2)若过 的直线l与椭圆交于相异两点A，B，且 ，求实数 的范围．
04
设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝,左顶点M到直线＋＝1的距离d＝,O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,证明：点O到直线
AB的距离为定值．
解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
【警示】本题错误解法是：(1)解 由e＝,得c＝a,又b2＝a2－c2,
所以b＝a,即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1,
即到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝,
得＝,
把a＝2b代入上式,得＝,解得b＝1.
所以a＝2b＝2,c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
设直线AB的方程为y＝kx＋m,
与椭圆方程联立有
消去y,得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,
所以x＋x＝－,xx＝.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,
所以OA⊥OB.
所以OA·OB＝xx＋yy＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)xx＋km(x＋x)＋m2＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)·－＋m2＝0.
整理得5m2＝4(k2＋1),
所以点O到直线AB的距离d＝＝.
1
综上所述,点O到直线AB的距离为定值.
【问诊】忽略直线ＡＢ斜率不存在的情况
【答案】(1)由e＝,得c＝a,又b2＝a2－c2,
所以b＝a,即a＝2b.
由左顶点M(－a,0)到直线＋＝1,
即到直线bx＋ay－ab＝0的距离d＝,得＝,
把a＝2b代入上式,得＝,解得b＝1.
所以a＝2b＝2,c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
①当直线AB的斜率不存在时,由椭圆的对称性,
可知x＝x,y＝－y.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆经过坐标原点,
故OA·OB＝0,
即xx＋yy＝0,也就是x－y＝0,
1 2 1 2
又点A在椭圆C上,所以＋y＝1,
解得|x|＝|y|＝.
1 1
此时点O到直线AB的距离d＝|x|＝.
1 1
②当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y＝kx＋m,
与椭圆方程联立有
消去y,得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0,
所以x＋x＝－,xx＝.
1 2 1 2
因为以AB为直径的圆过坐标原点O,
所以OA⊥OB.
所以OA·OB＝xx＋yy＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)xx＋km(x＋x)＋m2＝0.
1 2 1 2
所以(1＋k2)·－＋m2＝0.
整理得5m2＝4(k2＋1),
所以点O到直线AB的距离d＝＝.
1
综上所述,点O到直线AB的距离为定值.
【叮嘱】设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论．
1.(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：
交C于P，Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
(1)求C， 的方程；(2)设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与
的位置关系，并说明理由．
2.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理))(12分)设椭圆 的右焦点为 ，过 的
直线 与 交于 两点，点 的坐标为 ．
(1)当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
(2)设 为坐标原点，证明： ．
错
1.(2022届华大新高考联盟高三上学期质量测评)已知双曲线 ，若双曲
线不存在以点 为中点的弦，则双曲线离心率 的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．(2022届陕西省西安市高三上学期月考)已知双曲线 的左、右焦点
分别是 ，若双曲线 上存在点 使得 ，则双曲线 的离心率的取值范
围为( )
A． B． C． D．
3．(多选题)(2022届江苏省南京市高三上学期12月月考)在平面直角坐标系 中，已知
，若动点 满足 ，则( )
A．存在点 ，使得 B． 面积的最大值为C．对任意的点 ，都有 D．有且仅有 个点 ，使得 的面积为
4．(2022届山东省青岛市高三上学期12月月考)已知点P是椭圆 上一点， ，
是椭圆的左、右焦点，若 ，则下列说法正确的是( )
A． 的面积为
B．若点M是椭圆上一动点，则 的最大值为9
C．点P的纵坐标为
D． 内切圆的面积为
5．(2021届上海市复旦大学附属中学高三上学期质量检测)已知 是椭圆
的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则 的取值范围是____________
6．(2022届甘肃省金昌市高三上学期12月月考)抛物线C： ，F是C的焦点，过点
F的直线 与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)设 的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
7．已知椭圆E： 的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于
A，C和B，D四点.
(1)四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由；
(2)求 的最小值.
8．已知椭圆 经过点 ，椭圆E的一个焦点为 .(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过点 且与椭圆E交于 两点.求 的最大值.
9．(2021届黑龙江省哈尔滨市考试)已知椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，左、
右焦点分别为 、 ，离心率 ，短轴长为2，．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设过 且斜率不为零的直线 与椭圆 交于 、 两点，过 作直线 的垂线，
垂足为 ，证明：直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
(3)过点 做另一直线 ，与椭圆分别交于 、 两点，求 的取值范围．
