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专题21 双曲线
【练基础】
一、 单选题
1．在平面直角坐标系 中，“ ”是“方程 表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.
【详解】∵ 表示双曲线，
∴ .
∴ 是 表示双曲线的充要条件.
故选：C.
2．以双曲线 的一个焦点为圆心，以 为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，结合垂径定理运算求解.
【详解】由双曲线 可得 ，
∵双曲线的焦点 到渐近线 的距离 ，
故所得弦长 .
故选：D.
3．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆
锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面 ，平面 截
圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2【答案】A
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点 的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可
得到结果.
【详解】如图，设平面 ，平面 与圆锥侧面的交线为 ，过 垂直于 的母线与曲线 交于 ，不妨延
长 至 ，使 .
过 垂直于 的截面交曲线 为 ，
设 在平面 内的投影为点 ，以 为原点， 投影为 轴建立平面直角坐标系，易知点 为双曲线顶点.设
，则可求 点坐标为 ，代入方程： ，知 ，故双曲线离心率为 ，
故选: .
4．已知 是离心率为 的双曲线 的右支上一点，则 到直线 的距离与 到点
的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义，将点 到左焦点 的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线 的距
离，进而得出结果.
【详解】已知双曲线 ，可知 ，则 ，
所以 ， 分别为 的左、右焦点，则 ，即 ，
设 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，且 ，则.
故选：A.
5．已知 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，以 为直径的圆与 在第二象限交
于点 ，且双曲线 的一条渐近线垂直平分线段 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题知 ， ，进而得直线 、 的方程并联立得 ，再将其代入双曲线
方程整理得 ，再求离心率即可.
【详解】解：由题设 ，渐近线 ， ，
因为以 为直径的圆与 在第二象限交于点 ，
所以 ，
因为双曲线 的一条渐近线垂直平分线段 ，
所以， ， ，
所以，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以，联立方程 得 ，
所以，将 代入 整理得 ，即 ，
所以， 的离心率为 .
故选：D6．已知 是双曲线 上不同的三点，且 ，直线AC，BC的斜率分别为 ，
（ ），若 的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线可知 两点关于原点对称，分别设出 三点的坐标，利用点差法点差法表示出 和
，根据基本不等式求得取最小值时满足 ，计算即可求得离心率.
【详解】根据题意，由 可得原点 是 的中点，所以 两点关于原点对称；
不妨设 ，因为 ，所以 ，
易知 ，又因为A、B，C都在双曲线 上，
所以 ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立；所以 ，即 ，可得 ，即离心率 .
故选：A.
7．已知 为双曲线 右支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为 ，直线 交双曲线的
一条渐近线于点 ，直线 的斜率分别为 ， ，若以 为直径的圆经过点 ，且 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】设点 ，得 ，以 为直径的圆经过点 ，得 ，得 ．又
， ，得 ， ，又 ，得 即可解决.
【详解】设点 ，则 ，得 ①．
因为以 为直径的圆经过点 ，
所以 ，所以 ，即 ．
由题意得 ， ，所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ②．
由①②得 ，
所以 .故选：B．
【点睛】关键点点睛：找到等价转化的桥梁，即根据直线斜率间的关系得到 ，并能想到将
化为 的形式，从而得到 ．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，一条渐近线为l，过点 且与l平行的直线交双
曲线C于点M，若 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为 ，
因此直线 的倾斜角 的正切值为 ，即 ，
所以有 ，
设 ，由双曲线定义可知： ，
由余弦定理可知： ，
故选：B
二、多选题
9．已知曲线 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆【答案】BD
【分析】根据曲线的形状求出参数 的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若曲线 表示两条平行线，则有 或 ，且 .
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线 表示双曲线，则 ，
由于 且 ，则 ，可得 ，则 ，B对；
对于C选项，若曲线 表示椭圆，则 ，解得 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，则 ，
曲线 的方程可化为 ，
此时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
10．已知双曲线C过点 且渐近线方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．曲线 经过C的一个焦点
D．C的焦点到渐近线的距离为1
【答案】CD
【分析】根据给定条件，求出双曲线方程，再逐项计算判断作答.【详解】因为双曲线C的渐近线方程为 ，则设双曲线C： ，
又点 在双曲线C上，有 ，即双曲线C的方程为 ，A错误；
双曲线C的实半轴长 ，虚半轴长 ，半焦距 ，双曲线C的离心率 ，B错误；
双曲线C的焦点坐标为 ，其中 满足 ，C正确；
双曲线C的焦点 到渐近线 的距离 ，D正确．
故选：CD
11．在平面直角坐标系 中，动点P与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点P的轨迹为
曲线E，则（ ）
A．E的方程为 B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆 相切 D．过点 作曲线E的切线仅有2条
【答案】ACD
【分析】求得点P的轨迹方程判断选项A；求得E的离心率判断选项B；求得E的渐近线与圆 的位
置关系判断选项C；求得过点 作曲线E的切线条数判断选项D.
【详解】设点 ，由已知得 ，整理得 ，
所以点P的轨迹方程为 ，故A正确；
又曲线E的离心率 ，故B不正确；
圆 的圆心 到曲线E的渐近线 的距离为，又圆 的半径为1，故C正确；
如图：曲线E的渐近线 ，
则过点 作曲线E的切线仅有2条
故D正确.
故选：ACD
12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线
的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知 分别为双曲线
的左，右焦点，过 右支上一点 作直线 交 轴于点 ，交 轴于点 .则
（ ）
A． 的渐近线方程为 B．点 的坐标为
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得 ，进而结合双曲线方程，
即可得出点 的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点 为 的中点.进而得出 ，结合双曲线的定义，即可判断C项；由 ，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断
D项.
【详解】对于A项，由已知可得 ， ，所以 的渐近线方程为 ，故A项正确；
对于B项，设 ，则 ，整理可得 .
又 ，所以 ，所以有 ，解得 ，所以点 的坐标为 ，
故B项错误；
对于C项，如上图，显然 为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 .
则 垂直平分 ，即点 为 的中点.
又 是 的中点，所以， ，故C项正确；
对于D项， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以，四边形 面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出 .三、填空题
13．已知双曲线 的左､右焦点分别为 的离心率为 ，点 在 上，点 是双曲
线 与圆 的一个交点，则 的面积 __________.
【答案】1
【分析】根据题意，由离心率可得 的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到 ，然后联立双曲线与
圆的方程即可得到点 的坐标，从而得到结果.
【详解】由题意得 ，所以 ，所以 .
因为点 在 上，所以 ，所以 ，解得 .
所以 ，所以双曲线 的方程为 .
由 ，解得 ，所以 .
故答案为:
14．已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ，A为双曲线 的右支上一点，点A
关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲线 的离心率为___________.
【答案】
【分析】由对称性和双曲线定义得到 ， ， ，在 中， ，由余弦定
理列出方程，求出 ，得到离心率.
【详解】由对称性可知： ，故 ，
由双曲线定义可知： ，即 ，
所以 ，又因为 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，解得： ，
故离心率为 .
故答案为：
15．不与x轴重合的直线l过点N（ ,0）（xN≠0），双曲线C： （a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于
l对称，AB中点M的横坐标为 ．若 ，则C的离心率为____________．
【答案】2
【分析】由点差法得 ，结合 得 ，代入斜率公式化简并利用 可求得
离心率.
【详解】设 ，
则 ，两式相减得 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
因为 是AB垂直平分线，有 ，所以 ，
即 ，化简得 ，故 .
故答案为：216．已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，若E上存在点P，满足 ，
（O为坐标原点），且 的内切圆的半径等于a，则E的离心率为____________．
【答案】 ##
【分析】由 可得 ， ，再结合双曲线的定义可得 ，化简得
，因为 的内切圆的半径为a，所以 ，即
，化简运算即可得E的离心率.
【详解】因为 ，所以 ， ，
又因为P在双曲线上，所以 ，联立可得 ，
，所以 ，
因为 的内切圆的半径为a，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，两边平方得 ，
即 ，两边同时除以 ，得 ， ，
因为 ，所以 ．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算
或证明常利用正弦定理、余弦定理、 ，得到a，c的关系．
四、解答题17．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点 在C上，且 ．
(1)求C的标准方程；
(2)设点P关于坐标原点的对称点为Q，不过点P且斜率为 的直线与C相交于M，N两点，直线PM与QN交于点
，求 的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意结合双曲线的定义的应用列方程组 ，解得 与 即可得出答案；
（2）设 ， ，直线MN的方程为 ，联立方程消去 得 ，
根据韦达定理得出 ，根据已知得出 ，由题意知， ，当直线PM，QN的斜率
均存在时，设出方程联立得 ， ，即可比出答案，当直线PM的斜率不存
在时，易求 ， ，所以 ，当直线QN的斜率不存在时，易求 ， ，所以 ，综上，
即可得出答案.
【详解】（1）由题意可知， ，
解得 ， ，
所以 的标准方程为： ．（2）设 ， ，直线MN的方程为 ，
由 得 ，
直线MN与C相交于M，N两点，
，则 ．
由题意知， ，当直线PM，QN的斜率均存在时，
， ，
所以直线PM的方程为 ，
直线QN的方程为 ．
两方程联立得， ，显然 ，
又 ，
所以 ，
当直线PM的斜率不存在时，易求得直线PM的方程为 ，直线QN的方程为 ，则 ， ，所
以 ．
当直线QN的斜率不存在时，易求得直线QN的方程为 ，直线PM的方程为 ，则 ， ，所以 ．
综上， .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，斜率为 的直线l与双曲线C交于 两点，
点 在双曲线C上，且 .
(1)求 的面积；
(2)若 （O为坐标原点），点 ，记直线 的斜率分别为 ，问： 是否为定值？若是，
求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2) 为定值 .·
【分析】（1）设 ，根据两点间长度得出 与 ，即可根据已知列式解出 ，即可得出答案；
（2）根据第一问得出双曲线的方程，设 ，直线l的方程为 ，根据韦达定理得出
，即可根据直线方程得出 与 ，则根基两点斜率公式得出 ，化简代入即可得出答案.
【详解】（1）依题意可知， ，则 ，
，
又 ，所以 ，
解得 （ 舍去），
又 ，所以 ，
则 ，
所以 的面积 .
（2）由（1）可 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ，
设 ，则 ，则 ， ，
设直线l的方程为 ，与双曲线C的方程联立，消去y得： ，
由 ，得 ，
由一元二次方程根与系数的关系得 ，
所以 ，
，
则 ，
故 为定值 .·【提能力】
一、单选题
19．双曲线 的两个焦点为 ，点 在双曲线 上，且满足 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】设 ，进而根据向量垂直的坐标表示得 ，再根据点 在双曲线 上待定系数求
解即可.
【详解】解：由题，设 ，因为
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得
因为 ，解得 ，
所以，双曲线 的离心率为 .
故选：A
20．已知双曲线 的左、右焦点分为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，点M，N在y轴
上，且满足 （O为坐标原点）．直线 ， 与C的左、右支分别交于另外两点P，Q，若四边形为矩形，且P，N， 三点共线，则C的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由四边形 为矩形，可得 ， ，设 ，则 ，由P，N， 三点共线，
可得 ，由P，M， 三点共线，可得 ，即可得 ，从而得答案.
【详解】解：如图所示：
，
由 ，则有 ，
设 ，则 ，
由 ，可得 ，
取 ，
同理可得 ，
又因为 ，P，N， 三点共线，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，P，M， 三点共线，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即有 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
21．已知点 是双曲线 的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线垂足为A，交另一条
渐近线于点B．若 ，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.
【详解】双曲线 的渐近线方程为： ，不妨令点A在直线 上， ，如图，因为 ，则 ，而 ，即有 ，
， ，由 知，点 在y轴同侧，
于是 ， ， ，
在 中， ，由 得：
，整理得： ，化简得 ，解得 或 （舍
去），
所以 ， ，双曲线方程为 .
故选：A
22．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，左顶点为 为坐标原点，以
为直径的圆与 的渐近线在第一象限交于点 .若 的内切圆半径为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】渐近线与圆联立求出 点坐标，两点间的距离公式求出 的长，利用三角形等面积可建立 之
间的等量关系，同除 ，建立 的一元二次方程，求解即可.
【详解】由题意知 ，双曲线 过第一､三象限的渐近线方程为 ，以 为直径的圆的方程为
.
联立 解得 或 所以 ，则 .又 的内切圆半径为 ，
所以 ，
则 .结合 ，得 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
故选：A
23．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的
艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 （ ， ）下支的部分，且此双曲
线两条渐近线方向向下的夹角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知结合双曲线两条渐近线对称关系可得 的倾斜角为 ，即 ，则 ，
则 ，即可得出双曲线的离心率为 .
【详解】双曲线 （ ， ）的渐近线的方程为 ，
双曲线两条渐近线方向向下的夹角为 ，
根据双曲线两条渐近线对称关系可得 的倾斜角为 ，
则 ，则 ，，
则该双曲线的离心率为 ，
故选：D.
24．已知 为双曲线 左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为 、 ，直线 交双曲线
的一条渐近线于点 ，直线 、 的斜率为 、 ，若以 为直径的圆经过点 ，且 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 ，可得出 ，利用圆的几何性质可得 ，由 ，即可
得出 的值，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设点 ，则 ，即有 ，①
由 、 以及以 为直径的圆经过点 可知 ，
所以 ，
又 ， ，所以， ，
由题意知 ，所以 ，②
由①和②得 ，由 得 ．
故选：D.25．设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当 取最
小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合双曲线定义数形结合判断 取最小值时， 三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q
的坐标为 ，即可求解 的值.
【详解】由双曲线定义得 ,
故
如图示，当 三点共线，即Q在M位置时， 取最小值，
，故 方程为 ，
联立 ，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
26．已知双曲线 （ ）的左、右焦点分别为F，F，M，N在C上，且 ，
1 2
，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 及 得知 的外心与重心重合，所以 是等边三角形，
就可以把M的坐标用 表示出来，代入双曲线方程整理求解.
【详解】由 可知，点F 是 的外心，
1
由 得 ，即 ，
所以点F 是 的重心，所以 是等边三角形，
1
由对称性可知MN⊥FF．且 ， ，
1 2
不妨设M在第二象限，所以点M的横坐标为 ，纵坐标为 ，故点 ．
又点M在双曲线 ( )上，
所以 ，即 ，整理得 ，
两边同时除以 可得 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故选：D二、多选题
27．若曲线C的方程为 ，则（ ）
A．当 时，曲线C表示椭圆，离心率为
B．当 时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为
C．当 时，曲线C表示圆，半径为1
D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4
【答案】BC
【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的 得离心率，得焦距判断AD，双
曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B，由圆的标准方程判断C．
【详解】选项A， 时，曲线方程为 ，表示椭圆，其中 ， ，则 ，离心
率为 ，A错；
选项B， 时曲线方程为 表示双曲线，渐近线方程为 ，即 ，B正确；
选项C， 时，曲线方程为 ，表示圆，半径为1，C正确；
选项D，曲线C表示椭圆时， 或 ，
时， ， ， ，
时， ， ， ，
所以 ，即 ，无最大值．D错．
故选：BC．28．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为 ，点D,G满足 ， ，且 点在直线AB上，
若以BC所在直线为 轴，BC的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当 时，点 的轨迹为圆
B．当 时，点 的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当 时，点 的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当 时， 面积的最大值为3
【答案】BCD
【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为 的圆B，点D为线段AB的中点，点 为线段 的
中垂线与直线AB的交点，则 ，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为 的圆B，点D为线段AB的中点，点 为线段 的
中垂线与直线AB的交点，则
当 时，线段 为圆B的弦，则 的中垂线过圆心B，点 即点B，A错误；
当 时，如图1，点 在线段AB上，连接
则
∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的椭圆，即
则椭圆的离心率 ，B正确；
当 为椭圆短轴顶点时， 面积的最大
若 时，则 ，最大面积为 ，D正确；
当 时，过点 作圆 的切线，切点为
若点 在劣弧 （不包括端点 ）上，如图2，点 在BA的延长线上，连接
则
∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的双曲线的左半支若点 在优弧 （不包括端点 ）上，如图3，点 在AB的延长线上，连接
则
∴点 的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为 的双曲线的右半支
则点 的轨迹为双曲线
∴ ，渐近线方程为 ，C正确；
故选：BCD．29．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作垂直于渐近线的直线 交两渐近线于
A，B两点，若 ，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设点 ，求出 ，由对称性设出l的方程，与渐近线方程联立求出线段AB长，再分情况计算作
答.
【详解】设点 ，由双曲线对称性，不妨令直线l垂直于渐近线： ，即 ，则
，
直线l的方程为： ，由 解得点A的横坐标 ，
由 解得点B的横坐标 ，当 时，点B在线段 的延长线上，由 得 ，
因此有 ，整理得 ，则离心率 ，
当 时，点B在线段 的延长线上，由 得 ，
因此有 ，整理得 ，则离心率 ，
所以双曲线C的离心率为 或 .
故选：BC
30．已知双曲线 ， 的左右焦点分别为 ， ，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点
P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，若 ， ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．
C． 的面积为 D． 的面积为1
【答案】BD
【分析】根据点差法，结合双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】 ， ，因为A，B关于坐标原点对称，则 ，曲已知得 ， ，
两式相减得 ，所以 ，因为 ，所以 ，得 ，
所以选项B正确A错误；
因为P在右支上，记 ，则 ，因为 ，所以 ，解得 或
（舍去），所以 的面积为 ．所以选项D正确C错误．
故选：BD．【点睛】关键点睛：应用点差法和双曲线的定义是解题的关键.
三、填空题
31．已知双曲线E： 的左右焦点分别为 ， ，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直
线 与 轴交于Q点．若 ，则双曲线E的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意设点 并解出Q点坐标为 ，再根据 可得 ，即可解得
，由P为双曲线右支上一点可得 ，解不等式即可求得离心率的取值范围.
【详解】如下图所示，根据题意可得 ，
设 ，则直线 的方程为 ，
所以直线 与 轴的交点 ，
由 可得 ，即 ，
整理得 ，即 ；
又因为P为双曲线右支上一点，所以 ，当 时， 共线与题意不符，即 ；
可得 ，整理得 ，即 ，
解得 或 （舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为 .
故答案为：
32．已知双曲线 的右焦点为F，点O为坐标原点，点P是C的一条渐近线上的点，若
，且 ，则m的值为______．
【答案】4
【分析】根据给定条件，求出双曲线右焦点F的坐标，一条渐近线方程，再利用点到直线距离公式及勾股定理求
解作答.
【详解】双曲线 的右焦点 ，不妨令直线OP的方程为 ，
因为 ，则有 ，又 ,
因此 ，解得 ，
所以m的值为4.
故答案为：4
33．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， ， 是椭圆 与抛物线 的公
共点， ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧， ，则椭圆 的离心率的最大值为______．
【答案】
【分析】联立抛物线与椭圆方程，消元、解得 或 ，再分 和 两种情况讨论，当 时求出、 的坐标，由 ，即可得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】解：联立抛物线 与椭圆 的方程消去 整理得到 ，解得
或 ．
① 时，代入 解得 ，已知点 位于 轴右侧，取交点 ，则 ，
此时 ，与 矛盾，不合题意．
② 时，代入 解得 ．已知点 ， 关于 轴对称且 位于 轴右侧，取交点 、
，
已知 ，则 轴， ．
此时 ，即 ，两端同除以 可得： ，解得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为：
34．已知直线 与双曲线 交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过
点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 的内心到y轴的距离不小于 ，则双曲线C的离心率取值范围是
______.
【答案】
【分析】先求得 的坐标，根据三角形的内心以及角平分线定理以及 的内心 到 轴的距离 的范围，求得 的取值范围，进而求得离心率 的取值范围.
【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，
所以 ， ，则 .
因为A是线段BD的中点，又 轴，
所以 ， ，
所以 的内心G在线段EA上.
因为DG平分 ，所以在 中所以 ，
设 ，所以 ，
因为G到y轴的距离不小于 ，∴ ，
∴ .
∴ ，故 .
故答案为：
四、解答题(共0分)35．已知双曲线 的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的
右支于 两点，设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)当点P在第一象限，且 时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）设点 ，根据 ，结合点P是双曲线上的点，化简求得 ，即得答案.
（2）设 ，利用两角和的正切公式化简 可得 ，设直线 ，
并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.
【详解】（1）由题意得 ，设点 .
则 .
因为点P是双曲线上的点，则 ，∴. ，∴ ，
则双曲线C的方程为
（2）设 ，点P在第一象限，则 ，
又 ，
故 ，
同理可得 ，即 ，
则直线l的斜率大于0，
由（1）可知 ，设直线 ，联立 ，
化简得 ，
则 ，
故 ,
，代入韦达定理得 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以直线l的方程为 .【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得
到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合 进行化简得
到 ，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.
36．已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲线上，且 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且 ，
，试求直线 的方程．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得 的值，由此可得双曲线方
程；
（2）由 三点共线可设 ，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，
代入韦达定理结论可解方程求得 的值，由此可得直线 方程.
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
，解得： ， ；
又 在双曲线上，则 ， ， ，
双曲线的方程为： .
（2）由（1）得： ， ，
， 三点共线，直线 斜率显然存在，可设 ， ， ，
由 得： ，
，即 且 ，
， ，
， ，又 ， ，
，
解得： ，满足 且 ，
直线 方程为： 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示
来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.
37．已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 且法向量为 ，直线与轨迹 交于 、 两点．
①过 、 作 轴的垂线 、 ，垂足分别为 、 ，记 ，试确定 的取值范围；
②在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，使 恒成立？如果存在，求出定点 ；如果
不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)① ；②存在，
【分析】（1）根据双曲线的定义直接得到答案.
（2）根据直线与双曲线的位置关系得到 ，计算 ，根据 的范围得到 的取值
范围；假设存在点 满足条件，通过 得到 ，计算得到答案.
【详解】（1）由 ，知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支．
， ， ，故 ，轨迹方程为 ．
（2）直线 的方程为 ， ，
得 ，设 ， ， ， ，
由条件得 ，
解得 ，即 ．
① ，
由条件 ，故 ，故 ，
因为 ，因此 ．②设存在点 满足条件，
由
，
得 对任意 恒成立，所以 ，
解得 ，
因此存在定点 满足条件．
【点睛】本题考查了双曲线的轨迹问题，根据直线和双曲线的位置求参数，定点问题，意在考查学生的计算能力，
转化能力和综合应用能力，其中利用韦达定理解题是常考的题型，需要熟练掌握.
38．已知双曲线C： 上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 ，E在双
曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过椭圆 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交
两渐近线于M，N两点，且 ，是否存在m，n使得椭圆的离心率为 ？若存在，求出椭圆的方
程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在符合题意的椭圆，其方程为
【分析】（1）设 ，
由 及 可得 ，得 ，
再结合 即可解决问题；
（2）设 ，则PM方程为 ，
联立渐近线方程 得到 ，进一步得到 ，同理得到 ，
再利用 计算即可得到答案.
【详解】（1）设 ，
由 ，
所以 ， ①
又点 在 上，所以 ，
即 ， ②
由①②得： ， ③
又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，
|EF|的最小值为 ，
所以 ， ④
又 ，⑤
联立③④⑤解得： ，
所以双曲线C的标准方程为：
（2）假设存在，由（1）知 的渐近线方程为 ，
则由题意如图：所以由 ，
设 ，则直线 方程为 ，
直线 方程为
由 ，得 ；
由 ，得
又 ，
所以 ，
所以 ， ，
同理可得， ，
由四边形 是平行四边形，知 ，
所以， ，
即 ，
所以，存在符合题意的椭圆，其方程为 .
