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易错点 04 导数及其应用
易错题【01】不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线
求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不
同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这
个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求
过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.
易错题【02】对极值概念理解不准确致
对于可导函数f(x)：x 是极值点的充要条件是在x 点两侧导数异号,即f′(x)在方程f′(x)＝0的
0 0
根x 的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x 处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x 处取极
0 0 0
小值,而不仅是f′(x)＝0.f′(x)＝0是x 为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)
0 0 0
值的条件,一定要既考虑f′(x)＝0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．
0
易错题【03】研究含有参数的函数单调性分类标准有误
若函数的单调性可转化为解不等式
求解此类问题,首先根据a的符号进行讨论,当a的符号确定后,再根据 是否在定义域内
讨论,当 都在定义域内时在根据 的大小进行讨论.
易错题【04】不会利用隐零点研究函数的性质
函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；
另一类是能够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.
利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零
点存在,但无法求出,我们可以设其为 ,再利用导函数的单调性确定 所在区间,最后根据
f (x)
,研究 ,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若 中含有参数a,关系
f '(x )=0 x ,a x
式 0 是关于 0 的关系式,确定 0的合适范围,往往和a的范围有关.
01
(2022新高考1卷T7)若过点 可以作曲线 的两条切线,则A． B． C． D．
【警示】不会把切线条数有2条,转化为关于 的方程有2个实根.
【答案】D
【问诊】设过点 的切线与曲线 切于 ,对函数 求导得 ,所以
曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,由题意可知,点
在直线 上,所以 ,过点 可以
作曲线 的两条切线,则方程 有两个不同实根,令 ,
则 .当 时, ,此时函数 单调递增,且 ,当 时,
,此时函数 单调递减,
所以, ,如图所示,当直线 与曲线 的图象有两个交点时,当
时,直线 与曲线 的图象有两个交点.故选D.
【叮嘱】过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个
数问题.
1. (2021届陕西西安中学高三期中)若函数 存在平行于 轴的切线,则实数 取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 存在平行于 轴的切线,所以 在
上有解,即 在 上有解,因为 ,所以 .
2.(2021届江苏苏州市高三月考)若过点 可以作曲线 的两条切线,则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切点为 ,其中 ,因为 ,则 ,故切线斜率为 ,
所以,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,
将点 的坐标代入切线方程可得 ,
设 ,则直线 与曲线 有两个交点.
①若 ,则 ,即函数 在 上单调递增,不合乎题意；
②若 ,则 ,
当 时, ,此时函数 单调递减,
当 时, ,此时函数 单调递增,所以, .
由题意可知 ,即 .故选B.
02
已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10,则a＋b＝________.
【警示】忽视了条件的等价性,“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．
【答案】－7【问诊】f′(x)＝3x2＋2ax＋b,由x＝1时,函数取得极值10,得
,解得或
当a＝4,b＝－11时,f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反,符合题意．
当a＝－3,b＝3时,f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同,所以a＝－3,b＝3不符合题意,舍去．
综上可知a＝4,b＝－11,∴a＋b＝－7.
【叮嘱】处理可导函数 在 有极值问题,除了保证 ,还要检验在 左右
两侧函数值的符号.
(2022全国1卷T12)设 ,若 为函数 的极大值点,则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ,解得 或 ,即 及 是 的两个零点,
当 时,由三次函数的性质可知,要使 是 的极大值点,则函数 的大致图象如
下图所示,
则 ；
当 时,由三次函数的性质可知,要使 是 的极大值点,则函数 的大致图象如
下图所示,
则 ；综上, ．故选 ．
2．(2021届山西长治市高三月考)已知函数 在 处取得极值0,
则 ( )
A．2 B．7 C．2或7 D．3或9
【答案】B【解析】 , ,根据题意： ,
,解得 或 ,当 时,
,函数单调递增,无极值点,舍去.当 时,
,在 和 时, ,函数单调递增；
在 时, ,函数单调递减,故函数在 出有极小值,满足条件.
综上所述： .故选B.
03
(2021新高考2卷T22(1))已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
【警示】讨论是分类标准不合理导致解题失误.
【问诊】(1)由函数的解析式可得： ,
当 时,若 ,则 单调递减,
若 ,则 单调递增；
当 时,若 ,则 单调递增,
若 ,则 单调递减,
若 ,则 单调递增；
当 时, 在 上单调递增；
当 时,若 ,则 单调递增,
若 ,则 单调递减,若 ,则 单调递增.
【叮嘱】此类问题通常根据导函数零点个数及零点大小进行分类讨论
1.(2021届河南高三月考)已知函数
(1)已知点 为曲线 上一点,若该曲线在点 处的切线方程为 ( ,
),求 , , 的值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 在区间 上有唯一的极值点 ,求 的取值范围.
【解析】(1) ,由题意知 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
将点 代入方程 ,得 ,所以 , , .
(2)由题意知函数的定义域为 , ,
当 , 在 上恒成立,所以 在 上单调递增；
当 时,因为方程 的判别式 ,该方程的两根分别为 ,
,
令 ,得 ,令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减.(3)由(1)知 ,令 ,因为 在区间 上有唯一的极值
点 ,
所以 在 上存在唯一零点,即 在 上存在唯一零点,且在该零点两侧
的符号不一致.
当 时,由(2)知, 在 上单调递增, 无极值点,
当 ,因为 , 的称轴为直线 , 在 上存在唯一零点,必有
,解得 ,所以 的取值范围为 .
2. (2021届天津市第二十一中学高三期中)已知函数 ．
(1)当 时,求函数 的单调区间和极值；
(2)讨论函数 单调性．
【解析】(1)当 时, ,所以 .
故当 时, , 为减函数；
当 时, , 为增函数.
所以当x=1时, = ,无极大值.
极小值
(2)由 可得： .
①当a≤0时, , 在 为减函数；
②当a>0时, 时 ,故 为减函数； 时, ,故为增函数.
04
(2021届福建省龙岩高三月考)已知函数 .
(1)若 为 的极值点,求实数 ；
(2)若 在 上恒成立,求实数 的范围.
【警示】不会引入隐零点研究函数单调性
【问诊】因为 ,
令 ,则 ,
所以 .
即 ,
当 时,设 ,
所以 ,
故 在 上单调递减,
所以 ,
当 时, , ,
所以 .
终上所述, 时, 为 的极值点成立,
所以 .
(2)由(1)知 ,当 时, 在 上单调递减,
,
① 时, ,
在 上单调递增,
所以 ,
② 时,因为 在 上单调递减,
； ,
存在 使 ,
即 , , 递减,
当 时, ,与 矛盾.
综上： 时, 在 上恒成立.
所以实数 的范围是 .
【叮嘱】求解不等式恒成立或证明不等式一般要利用函数单调性,研究函数单调性要确定导
函数的零点,若导函数有零点,但无法具体确定,可引入隐零点.
1.(2021届内蒙古海拉尔高三期中)已知函数 .
(1)若 是 的极值点,求 的单调区间；
(2)若 ,求证：
【解析】(1)由已知, 的定义域为 且 ；又 是 的极值点,则 ,解得 ,
此时 ：当 时, ；当 时, ；
∴易知： 是 的极小值点,且 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；
(2)
若 有 ,设 , ；
∴ ；
令 , ,则 对任意 恒成立,
∴ 在 上单调递减；又 , ,
∴ ,使得 ,即 ,则 ,即 ；
因此,当 时 ,即 , 单调递增；
当 时, ,即 , 单调递减；
故 ,即得证.
2.已知 ,函数 .
(1)证明： 在 上有唯一的极值点；
(2)当 时,求 在 上的零点个数.
【解析】(1)证明： ,
记 , ,
则 .由 得 在 上恒成立,从而 在 上为增函数,
并且 , .
根据零点存在性定理可知,存在唯一的 使得 ,
并且当 时, ,当 时, .
由于 ,因此当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
所以 是 在 上唯一的极值点.
(2)当 时, ,并且根据(1)知
存在 使得 在 上为减函数,在 上为增函数.
由于 ,从而 .
由于 , ,
根据零点存在性定理可知, 在 上存在唯一的零点,在 上无零点；
当 时, ,
因此函数 在 上无零点；
当 时,记 ,则 ,
所以 在 上为减函数,所以 ,
即 对 恒成立.
因此当 时有 ,
因此 ,结合 知函数 在 上存在唯一的零点,在 上无零点.
综上所述,函数 在 上共有2个零点.
错
1．若点 不在函数 的图象上,且过点 仅能作一条直线与 的图象相
切,则 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】已知点 不在 的图象上,则 ,所以 ,
而 ,设过点 的直线与 的图象切于点 ,
则切线的斜率 ,
则 ,整理得 ,
设 ,
由于过点 仅能作一条直线与 的图象相切,
则问题可转化为 仅有1个零点,
,令 ,解得： 或 ,
令 ,即 ,解得： 或 ,令 ,即 ,解得： ,
所以函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
可知 在区间 或区间 上必有一个零点,
所以可知 与 同号,
则 ,即 ,解得： 或 ,
所以 的取值范围为 .故选A.
2．(2021届安徽六安市高三月考)函数 存在与直线 平行的切线,则实
数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意,函数 的定义域 ,且 ,
因为函数 存在与直线 平行的切线,
即 有解,即 在 有解,
因为 ,可得 ,则 ,可得 ,
所以 ,即实数 的取值范围是 .故选C.
3．(2021届辽宁沈阳市高三月考)若直线 与曲线 相切,则( )
A． 为定值 B． 为定值
1
C．
m+ n
为定值 D． 为定值
2
【答案】B【解析】设直线 与曲线 切于点 ,
因为 ,所以 , ,所以切点为 ,代入直线方程得： ,即
.故选B.
4．(2021届云南高三月考)已知 为函数 的极小值点,则 ( )
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】 ,
所以当 时 ,当 时
则 在 和 上单调递增,在 上单调递减,故 .故选B
5．(2021届河南南阳高三期中)已知函数 在 处取得极小值 ,若
, ,使得 ,且 ,则 的最大值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】函数 在 处取得极小值
所以 ,即 ,解得： ,
由 得：
当 和 时, ,即 单调递增
当 时, ,即 单调递减
所以 的极大值为 ,极小值为由 得： 或
由 得： 或
若 , ,使得 ,且 ,
则 ,故选C.
6．(2021山西太原高三期中)若 是函数 的极值点,则函数( )
A．有最小值 ,无最大值 B．有最大值 ,无最小值
C．有最小值 ,最大值 D．无最大值,无最小值
【答案】A
【解析】由题设, 且 ,
∴ ,可得 .
∴ 且 ,
当 时 , 递减；当 时 , 递增；
∴ 有极小值 ,无极大值.
综上,有最小值 ,无最大值.故选A
7．(2021北京四中高三期中)设函数 ,其中 .
(1)若 是函数 的极值点,求a的值；
(2)当 时,求函数 的单调区间；
(3)当 时,设函数 ,证明： .
【解析】(1) ,
因为 是函数 的极值点,所以 ,解得 ,当 时,检验符合题意,
所以a的值为 ；
(2) , ,
令 ,得 或 ,
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 ；
当 时, 恒成立；
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 ；
综上,当 时, 在 和 单调递增,在 上单调递减；
当 时, 在 上单调递增；
当 时, 在 和 单调递增,在 上单调递减；
(3)
证明：当 时, ,
设 ,
因为 , ,
所以函数 在 上单调递增,
又 ,
所以存在 ,使 ,即 , ,
当 时, ；当 时, ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以函数 的最小值为 ,
所以 ,
从而得证 .
8．(2021河南南阳高三期中)已知函数 , .
(1)当 时,求 的单调区间；
(2)若函数 不存在极值点,求证： .
【解析】(1)当 时, ,
则
令 得： 或
令 得：
所以 的单调增区间是 和 ,单调减区间是
(2) ,因为函数 无极值点,
故 无变号零点,,
令 ,则 ,
当 时,恒有 ,
当 时,显然 是单调增加的,
又因为 , ,故 ,使得 ,即 ,故 在 上单调递减,在 上单调递增,则 ,
所以 ,即 ,又
可得 ,又因为 ,所以 ,故
9．(2021山东师范大学附中高三月考)已知函数 .
(1)当 时,求函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】(1)当 时,
,
令 得 或 .
0
+ 0 - 0 +
∴ 时, 有极大值 ,
时, 有极小值 .
(2) ,
∵ ,∴ .
(1)当 时,有 ,
当 , , 在 上单调递增.(2)当 时,令 ,得 .
①当 ,即 ,有 ,
从而函数 在 上单调递增.
②当 ,即 时,
当 , , 单调递减；
当 , , 单调递增.
综上, 时, 在 上单调递增；
当 时, 在 单调递减,在 单调递增.
