专题02整式与因式分解（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 02 整式与因式分解 目录 模块一：基础知识....................................................................................................................................................3 考点一：代数式................................................................................................................................................3 考点二：整式的相关概念................................................................................................................................3 考点三：整式加减运算....................................................................................................................................3 考点四：幂运算................................................................................................................................................3 考点五：整式乘法运算....................................................................................................................................3 考点六：因式分解............................................................................................................................................4 模块二：题型分类....................................................................................................................................................4 考点一：代数式的相关概念............................................................................................................................4 题型一：列代数式..................................................................4 题型二：代数式的实际意义..........................................................5 考点二：整式的相关概念................................................................................................................................7 题型一：判断单项式的系数、次数....................................................7 题型二：与单项式有关的规律题......................................................8 题型三：判断多项式的项、项数、次数...............................................10 考点三：整式的运算......................................................................................................................................11 题型一：判断同类项...............................................................11 题型二：合并同类项...............................................................12 题型三：添（去）括号.............................................................13 题型四：整式的加减...............................................................13 题型五：整式加减的应用...........................................................15 题型六：幂的基本运算.............................................................19 题型七：幂的逆向运算.............................................................22 题型八：幂的混合运算.............................................................24 题型九：整式的乘法...............................................................25 题型十：整式的除法...............................................................27 题型十一：利用乘法公式计算.......................................................28 题型十二：通过对完全平方公式变形求值.............................................29 题型十三：乘法公式的应用.........................................................35 考点四：整式化简求值..................................................................................................................................37 题型一：整式化简-直接代入法......................................................37 题型二：整式化简-间接代入法......................................................38 题型三：整式化简-整体代入法......................................................39 题型四：整式化简-赋值法..........................................................40 题型五：整式化简-隐含条件求值....................................................41 题型六：整式化简-利用“无关”求值................................................43 题型七：整式化简-配方法..........................................................44 题型八：整式化简-平方法..........................................................45 题型九：整式化简-特殊值法........................................................46 题型十：整式化简-设参法..........................................................46 题型十一：整式化简-利用根与系数关系求值..........................................47 题型十二：整式化简-消元法求值....................................................48 题型十三：整式化简-倒数法求值....................................................49考点五：因式分解..........................................................................................................................................49 题型一：判断因式分解.............................................................49 题型二：提公因式法分解因式.......................................................50 题型三：运用公式法分解因式.......................................................51 题型四：选用合适的方法因式分解...................................................52 题型五：与因式分解有关的探究题...................................................54 题型六：数式规律探究.............................................................57 题型七：数式中的新定义问题探究...................................................60专题 02 整式与因式分解 模块一：基础知识 考点一：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数 式。 考点二：整式的相关概念 1.单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式 的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示；一个单项式中， 所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3.单项式与多项式统称整式。 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 5.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并 前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 考点三：整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 考点四：幂运算 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 (a m ) n amn 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 = (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 ( abm ) n anbmn 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 = （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点五：整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 (ab)(ab)a2 b2 ①平方差公式： ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： ② （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连 同它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点六：因式分解 模块二：题型分类 考点一：代数式的相关概念 题型一：列代数式 1.2024长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开 始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的 代数式表示）【答案】（7.5-10x） 【提示】根据题意列出代数式即可． 【详解】根据题意可得， 他离健康跑终点的路程为(7.5−10x)． 故答案为：(7.5−10x)． 【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意． 2.若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）． 【答案】πa3 【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得 V =πa2a=πa3． 故答案为：πa3． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 题型二：代数式的实际意义 1.代数式-7x的意义可以是（ ） A． -7与x的和 B．-7与x的差 C．-7与x的积 D．-7与x的商 【答案】C 【提示】根据代数式赋予实际意义即可解答． 【详解】解：−7x的意义可以是-7与x的积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键． 2.下列说法不正确的是( ) A．2a是2个数a的和 B．2a是2和数a的积 C．2a是单项式 D．2a是偶数 【答案】D 【提示】根据2a的意义，分别判断各项即可. 【详解】解：A、2a=a+a，是2个数a的和，故选项正确； B、2a=2×a，是2和数a的积，故选项正确； C、2a是单项式，故选项正确； D、当a为无理数时，2a是无理数，不是偶数，故选项错误； 故选D. 【点睛】本题考查了代数式的意义，注意a不一定为整数是解题的关键. 3.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读 本x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元 【答案】C 【分析】根据题意列求得购买乙种读本(100−x)本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100−x)本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买 乙种读本的费用为8(100−x)元 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 4.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动 规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖 列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学 的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ． 16 7 4 【答案】39 【分析】设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，再一次把表格的每一个数据填好， 从而可得答案． 【详解】解：如图，设第一列中间的数为x，则三个数之和为16+4+x=20+x，可得： 1 1 3+x 6 x 13 7 4 6+x 10 ∴m=16+13+10=39， 故答案为：39 【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关 键． 5.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a>6）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老 汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你 也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可． 【详解】原来的土地面积为a2平方米，第二年的面积为(a+6)(a−6)=a2−36 ∵(a2−36)−a2=−36<0 ∴ 所以面积变小了， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数 式并计算是解题的关键． 考点二：整式的相关概念 题型一：判断单项式的系数、次数 1.单项式−5ab的系数为 ． 【答案】−5 【提示】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式−5ab的系数是−5． 故答案是：−5． 【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义． πx y3 2.单项式− 的系数是 ． 2 π 【答案】− 2 【提示】根据单项式系数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中的数字因数即系数， πx y3 π ∴单项式− 的系数是− ． 2 2 π 故答案为：− ． 2 【点睛】本题考查了单项式系数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 3.已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ） A．−2x y2 B．3x2 C．2x y3 D．2x3 【答案】D 【详解】试题提示：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母． A．−2x y2系数是﹣2，错误；B．3x2系数是3，错误； C．2x y3次数是4，错误； D．2x3符合系数是2，次数是3，正确； 故选D． 题型二：与单项式有关的规律题 1.按一定规律排列的单项式： ，第n个单项式是（ ） A．√n B． C． D． 【答案】C 【提示】根据单项式的规律可得，系数为√n，字母为a，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式： ，第n个单项式是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 2.按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ） A．(2n-1)xn B．(2n+1)xn C．(n-1)xn D．(n+1)xn 【答案】A 【提示】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 4 8 16 32 3.按一定规律排列的代数式：2，− ， ，− ， ，……，第n个单项式是（ ） x2 x4 x6 x8 2n 2n 2n 2n A．(−1) n B．(−1) n−1 C．(−1) n−1 D．(−1) n−1 x2n−2 x2n−2 x2n x2n−2 【答案】B 【提示】不难看出奇数项为正，偶数项为负，分母为x2n-2，分子的指数为由1开始的自然数，据此即可求 解． 21 【详解】解：∵2= ， x2−2 21 22 23 24 25 ∴按一定规律排列的代数式为： ，− ， ，− ， ，…， x2−2 x2×2−2 x2×3−2 x2×4−2 x2×5−22n ∴第n个单项式是(-1)n-1 ， x2n−2 故选：B． 【点睛】本题考查单项式的规律，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关 键． 4.按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2， ，11a8b2，…，第8个单项式是（ ） A．17a14b2 B．17a8b4 C．15a7b14 D．152a14b2 【答案】A 【提示】观察每个单项式的系数和所含字母的指数，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由题意可知：单项式的系数是从3起的奇数， 单项式中a的指数偶数，b的指数不变， 所以第8个单项式是：17a14b2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律、单项式的概念，正确找出单项式的系数和次数的变化规律是解 题的关键． 5.一组按规律排列的单项式：−4x，7x2， ，13x4，−16x5，…，根据其中的规律，第12个单项 式是（ ） A．−31x12 B．34x12 C．37x12 D．−40x11 【答案】C 【提示】根据符号的规律：n为奇数时，单项式为负号，n为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律： 第n个对应的系数的绝对值是3n+1．指数的规律：第n个对应的指数是n解答即可． 【详解】解：根据提示的规律，得 第12个单项式是(3 12+1)x12=37x12．故选：C． 【点睛】本题考查了×单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母 因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题 的关键． 题型三：判断多项式的项、项数、次数 1.多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是( ) A．6，3 B．6，−3 C．3，−3 D．3，3 【答案】C 【提示】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是3，−3 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 2.下列说法正确的是（ ） A．2πmn的系数是2π B．−82ab2的次数是5次 C．x y3+3x2y−4的常数项为4 D．11x2−6x+5是三次三项式 【答案】A 【提示】根据单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义可解决此题． 【详解】解：A、2πmn的系数是2π，故选项正确； B、−82ab2的次数是3次，故选项错误； C、x y3+3x2y−4的常数项为-4，故选项错误； D、11x2−6x+5是二次三项式，故选项错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查单项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义，熟练掌握单 项式的系数、次数的定义以及多项式次数、项数、常数项的定义是解决本题的关键． 1 3.多项式ab− πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ． 3 1 【答案】 ﹣ π 3 3 【提示】先找到此多项式的最高次项，再根据单项式的系数与次数的定义求解． 【详解】解：多项式 最高次项是﹣ πa2b， 所以最高次项的系数是﹣ π，次数是3． 故答案为：﹣ π，3． 【点睛】本题考查了同学们对多项式的有关定义的理解．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单 项式中的最高次数，就是这个多项式的次数． 考点三：整式的运算 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全 平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别 是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差 公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 题型一：判断同类项 1.下列整式与ab2为同类项的是（ ） A．a2b B．−2ab2 C．ab D． 【答案】B 【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合 选项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2． A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意； B、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项,故选项符合题意； C、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意；D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与ab2不是同类项,故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指 数是否相同． 2.下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ） 3 A．7a2b和3ab2 B． x2y和−2x2y C．x2yz和x2y D．3x2和3 y2 7 【答案】B 【提示】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不符合题意； B、是同类项，符合题意； C、不是同类项，不符合题意； D、不是同类项，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键． 题型二：合并同类项 1.计算： ． 【答案】3a2 【提示】直接合并同类项即可求解． 【详解】解：7a2−4a2=3a2． 故答案为：3a2． 【点睛】此题主要考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键． 2.计算 的结果是（ ） A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2 【答案】C 【提示】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则． 题型三：添（去）括号 1.关于−a−b进行的变形或运算： ①−a−b=−(a+b)；②(−a−b) 2=(a+b) 2；③|−a−b|=a−b；④(−a−b) 3=−(a−b) 3．其中不正确的是（ ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【提示】根据去括号法则进行变形即可． 【详解】解：①−a−b=−(a+b)，变形正确； ②(−a−b) 2=[−(a+b)] 2 =(a+b) 2，变形正确； {a+b(a+b≥0), ③|−a−b|=|−(a+b)|=|a+b|= ，原变形不正确； −a−b(a+b<0) ④(−a−b) 3=[−(a+b)] 3 =−(a+b) 3，原变形不正确； ∴①②正确，③④错误， 故选B． 【点睛】此题主要考查了整式的变形，熟练掌握去括号法则是解答此题的关键． 2.等号左右两边一定相等的一组是（ ） A．−(a+b)=−a+b B．a3=a+a+a C．−2(a+b)=−2a−2b D．−(a−b)=−a−b 【答案】C 【提示】利用去括号法则与正整数幂的概念判断即可． 【详解】解：对于A，−(a+b)=−a−b，A错误，不符合题意； 对于B，a3=a⋅a⋅a，B错误，不符合题意； 对于C，−2(a+b)=−2a−2b，C正确，符合题意； 对于D，−(a−b)=−a+b，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了去括号法则，以及正整数幂的概念，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键． 题型四：整式的加减 1.下列计算正确的是（ ） A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2 C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2 【答案】A 【详解】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，选项正确，符合题意； B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，选项不正确，不符合题意； C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可． 2.化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ） A．2b B．﹣2b C．4a D．-4a 【答案】B 【提示】先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：（2a﹣b）﹣（2a+b） ＝2a﹣b﹣2a﹣b ＝﹣2b． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，整式加减的实质就是去括号、合并同类项，熟练掌握去括号法则是解 题的关键． 3.如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式． 【例题】先去括号，再合并同类项： 2(A)−3(B) 解：原式=4x−6−9x−15= ________________ (1)二项式A为________，二项式B为________． (2)当x为何值时，A与B的值相等？ 【答案】(1)2x−3；3x+5 (2)x=−8 【提示】（1）根据题意添括号，即可求解； （2）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵2(A)−3(B) =4x−6−9x−15 =2(2x−3)−3(3x+5) ∴A=2x−3,B=3x+5 故答案为：2x−3,3x+5． （2）解：依题意，2x−3=3x+5， 解得：x=−8． 【点睛】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 4.已知：整式A=(2x−3)+(3x+5)．(1)化简整式A； (2)若2A+B=5x+6， ①求整式B； ②在“ ”的“□”内，填入“+，−，×，÷”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次 项的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果． 【答案】(1)A=5x+2 (2)①−5x+2；②A+B=4或者A·B=4−25x2（答案不唯一） 【提示】（1）把整式A去括号，合并同类项即可； （2）①由题意得出B=5x+6−2A，把整式A=5x+2代入，去括号，合并同类项即可； ②经计算A+B和AB都符合题意． 【详解】（1）A=(2x−3)+(3x+5)=2x−3+3x+5=5x+2∴A=5x+2． （2）①∵2A+B=5x+6∴B=5x+6−2A=5x+6−2(5x+2)=5x+6−10x−4=−5x+2 ∴B=−5x+2． ②A+B=(5x+2)+(−5x+2)=4 （或A·B=(5x+2)(−5x+2)=4−25x2）． 【点睛】本题考查的是整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键． 题型五：整式加减的应用 1.若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这个多项式为 ． 【答案】y2−xy+3 【提示】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5，求解即可． 【详解】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5， ∴A=(2xy+3 y2−5)−(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5−3xy−2y2+8= y2−xy+3， 故答案为：y2−xy+3． 【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键． 2.已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形 按如图所示放置在大长方形中，小明经过推事得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、 m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）A．a B．b C．m D．n 【答案】D 【提示】先用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长宽，再求阴影矩形的周长和即可． 【详解】解：如图，由图和已知条件可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a． 阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF） ＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b） ＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b ＝4n． ∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，能用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长宽是解决本题的 关键． 3.如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m﹣n等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A {m+a=6 【提示】设重合的空白部分面积为a，由题意知 ，两式相减求解即可． n+a=4 【详解】解：设重合的空白部分面积为a {m+a=6 则由题意可知 n+a=4 两式相减得m−n=2故选A． 【点睛】本题考查了求代数式的值．解题的关键在于根据三角形的面积列等式． 4.如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示， “优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ． 【答案】5 1 3 【提示】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b= c，c= d，由“优美矩形”ABCD 3 5 的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“优美矩形”ABCD的周长为26， ∴4d+2c=26， ∵a=2b，c=a+b，d=a+c， 1 ∴c=3b，则b= c， 3 5 3 ∴d=2b+c= c，则c= d， 3 5 6 ∴4d+ d =26， 5 ∴d=5， ∴正方形d的边长为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题 的关键． 5.如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2）， 得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长． (2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？ 【答案】(1)a+3 (2)36 【提示】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边 即可得到小正方形面积； （2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a的值代入即可． 1 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边= ×2a=a， 2 较长的直角边=2a+3， ∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3； （2）解：S =(a+3) 2=a2+6a+9， 小正方形 当a=3时，S =(3+3) 2=36． 小正方形 【点睛】本题考查割补思想，属性结合思想，以及整式的运算，能够熟练掌握割补思想是解决本题的关 键． 6.三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，第三边长为3a+3b． (1)用代数式表示三角形的周长； (2)当a=3，b=2时，求三角形的周长． 【答案】(1) (2)38 【提示】（1）先求出第二边长，再利用三角形的周长公式列式计算即可得； （2）将a=3，b=2代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：第二边长为 ， 则三角形的周长为 ； （2）当a=3，b=2时，三角形的周长为 ． 【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键． 题型六：幂的基本运算 1.下列计算正确的是（ ） A．a4+a4=a8 B．a4 ⋅a4=a16 C．(a4) 4 =a16 D． 【答案】C 【提示】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项提示判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. a4 ⋅a4=a8，故该选项不正确，不符合题意； C. (a4) 4 =a16，故该选项正确，符合题意； D. a8÷a4=a4，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的 乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 2.计算(2a2) 3 的结果是（ ） A． B． C． D．8a6 【答案】D 【提示】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：(2a2) 3 =23(a2) 3 =8a6， 故选：D． 【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 3.下列计算中，结果正确的是（ ） A．(−pq) 3=p3q3 B．x⋅x3+x2 ⋅x2=x8 C．√25=±5 D．(a2) 3 =a6 【答案】D 【提示】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求 解．【详解】解：A. (−pq) 3=−p3q3，故该选项不正确，不符合题意； B. x⋅x3+x2 ⋅x2=2x4，故该选项不正确，不符合题意； C. √25=5，故该选项不正确，不符合题意； D. (a2) 3 =a6，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握 以上运算法则是解题的关键． 4.计算 (1 x3) 2 的结果正确的是（ ） 2 1 A．x6 B． x6 C． D． 4 【答案】B 【提示】运用积的乘方法则、幂的乘方法则即可得出结果． 【详解】解： (1 x3) 2 = (1) 2 (x3) 2 = 1 x6 ， 2 2 4 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则，熟练运用积的乘方法则、幂的乘方法则是解题的关 键． 5.若a≠0，下列计算正确的是（ ） A．(−a) 0=1 B．a6÷a3=a2 C．a−1=−a D． 【答案】A 【提示】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及零指数幂的性质、合并同类项法则分别化简，进而得出 答案． 【详解】解：A． ，故此选项符合题意； B．a6÷a3=a3，故此选项不合题意； 1 C．a−1= ，故此选项不合题意； a D．a6与a3无法合并，故此选项不合题意． 故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及零指数幂的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法 则是解题关键． 6.下列各式计算结果为a5的是（ ） A．(a3) 2 B．a10÷a2 C． D． 【答案】C 【提示】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则即可判断． 【详解】解：A、(a3) 2 =a6，不符合题意； B、a10÷a2=a8，不符合题意； C、a4 ⋅a=a5，符合题意； D、(−1) −1a5=−a5，不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键． 7.下列各式中，计算结果等于a2的是（ ） A．a2 ⋅a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5−a0 【答案】B 【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别计算即可． 【详解】解：a2 ⋅a3=a5，故选项A不符合题意； a5÷a3=a2，故选项B符合题意； a2+a3无法合并同类项，故选项C不符合题意； a5−a0=a5−1，故选项D不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则，熟练掌握运 算法则是解题的关键． 1 1 8.若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy= ； + = ． x y 【答案】 2021 1 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可． 【详解】解：∵43x=2021，47y=2021 ∴(43x ) y=2021y，(47y ) x=2021x， 43xy ⋅47xy=(43x ) y×(47y ) x=2021y×2021x=2021x+y，故答案为：2021； ∵ 43xy ⋅47xy=(43×47) xy=2021xy， 即2021xy=2021x+y， ∴xy=x+ y， 1 1 x+ y ∴ + = =1， x y xy 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则 是解决本题的关键． 9.若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这个多项式为 ． 【答案】y2−xy+3 【分析】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5，求解即可． 【详解】设这个多项式为A，由题意得：A+(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5， ∴A=(2xy+3 y2−5)−(3xy+2y2−8)=2xy+3 y2−5−3xy−2y2+8= y2−xy+3， 故答案为：y2−xy+3． 【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键． 10.当a+b=3时，代数式2(a+2b)−(3a+5b)+5的值为 ． 【答案】2 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得−a−b+5，再把前两项提取−1，然后把a+b=3的值代 入可得结果. 【详解】解：2(a+2b)−(3a+5b)+5 =2a+4b−3a−5b+5 =−a−b+5 =−(a+b)+5 当a+b=3时，原式=−3+5=2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的 关键. 题型七：幂的逆向运算 1.已知3x= y，则3x+1=（ ） A．y B．1+ y C．3+ y D．3 y【答案】D 【提示】利用同底数幂的乘法的逆运算可得3x+1=3x×3，再代入计算即可． 【详解】解：∵3x= y， ∴3x+1=3x×3=3 y， 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“am+n=aman”是解本题的关键． 2.如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从 乙袋中取出(2x+2y )个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 2x+y的值等于（ ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】A 【提示】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出2x，2y ，最后逆 用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】调整后，甲袋中有(29−2x+2y )个球，29+2x−2x−2y=29−2y，乙袋中有(29−2y )个球， 5+2x+2y−2y=5+2x，丙袋中有(5+2x )个球． ∵一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴调整后每只袋中有63÷3=21（个）球， ∴5+2x=21，29−2y=21， ∴2x=16，2y=8， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键． 3.若3m=4，9n=7，则3m−2n= ．【答案】 【提示】逆运用同底数幂的除法法则，先把3m−2n写成3m÷32n的形式，再利用幂的乘方法则把32n写成9n| 的形式后代入求值． 【详解】解：3m−2n=3m÷32n=3m÷(32) n =3m÷9n， ∵3m=4,9n=7， 4 ∴3m−2n= ， 7 故答案为： ． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则是解题的关键． 4.若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+ y之间关系是 ． 【答案】xy=x+ y 【提示】由条件可得(43x ) y=2021y,(47y ) x=2021x,可得 43xy ⋅47xy=(43x ) y×(47y ) x=2021y×2021x=2021x+y,而43xy×47xy=(43×47) xy=2021xy,从而可得 答案． 【详解】解：∵43x=2021,47y=2021， ∴(43x ) y=2021y,(47y ) x=2021x, ∴43xy ⋅47xy=(43x ) y×(47y ) x=2021y×2021x=2021x+y, 而43xy×47xy=(43×47) xy=2021xy, ∴2021xy=2021x+y, ∴xy=x+ y. 故答案为：xy=x+ y. 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变 形”是解本题的关键． 5.已知2x=8，则2x−3的值为 ． 【答案】1 【提示】先逆用同底数幂相除，再将2x=8整体代入即可求解． 【详解】∵2x=8，∴2x−3=2x÷23=8÷8=1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，掌握同底数幂相除的运算法则是解答本题的关键． 题型八：幂的混合运算 1.化简a4 ⋅(−a) 3的结果是（ ） A．a12 B． C． D．−a7 【答案】D 【提示】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：a4 ⋅(−a) 3=a4×(−a3)=−a7， 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则 是解题的关键． 2.计算：(x2) 3 ⋅x−3=（ ） A． B．x3 C． D．−x18 【答案】B 【提示】根据幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解： x2×3−3=x3 故选B 【点睛】本题考查了幂的运算，掌握幂的乘方、同底数幂的乘法是解题的关键． 3.(a3) 2 ÷(a⋅a3)+a2= ． 【答案】2a2 【提示】先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类 项即可． 【详解】解：(a3) 2 ÷(a⋅a3)+a2=a6÷a2+a2=a2+a2=2a2故答案为：2a2． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算 顺序． 题型九：整式的乘法1.计算： （ ） A．3x4 y5 B．−3x4 y5 C．3x3y6 D．−3x3y6 【答案】B 【提示】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解：6x y2 ⋅ ( − 1 x3y3) =6× ( − 1) x1+3y2+3=−3x4 y5 ．故选：B． 2 2 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2.计算：（3m﹣1）（m+5）． 【答案】3m2+14m−5 【提示】根据多项式与多项式相乘的法则计算． 【详解】解：原式=3m2+15m−m−5 =3m2+14m−5． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 3.计算题 (1)(3ab2−2ab)⋅ab (2)(x−2y)(x2−xy+4 y2) 【答案】(1)3a2b3−2a2b2 (2)x3−3x2y+6x y2−8 y3 【提示】（1）把多项式的每一项与单项式相乘，再合并即可求解； （2）先用第一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再合并即可求解． 【详解】（1）(3ab2−2ab)⋅ab=3a2b3−2a2b2 （2）(x−2y)(x2−xy+4 y2) =x3−x2y+4x y2−2x2y+2x y2−8 y3 =x3−3x2y+6x y2−8 y3． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则是解题 的关键． 4.计算(2x﹣3)(3x+4)的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）A．−7x+4 B．−7x−12 C．6x2−12 D．6x2−x−12 【答案】D 【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积． 【详解】解：由多项式乘法运算法则得 (2x−3)(3x+4)=6x2+8x−9x−12=6x2−x−12． 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘法运算法则，牢记法则，不要漏项是解答本题的关键． 5.计算(x+ y)(x2−xy+ y2 )． 【答案】x3+ y3 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，计算即可． 【详解】解：(x+ y)(x2−xy+ y2) =x3−x2y+x y2+x2y−x y2+ y3 =x3+ y3. 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 6.已知长方形的面积为18x3y4+9x y2−27x2y2，长为9xy，则宽为( ) A．2x2y3+ y+3xy B．2x2y2−2y+3xy C．2x2y3+2y−3xy D．2x2y3+ y−3xy 【答案】D 【分析】根据长方形的宽=长方形的面积÷长方形的长，结合多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】由题意得：长方形的宽=(18x3y4+9x y2−27x2y2)÷9xy =9xy(2x2y3+ y−3xy)÷9xy =2x2y3+ y−3xy 故选D． 【点睛】本题考查多项式除以单项式的实际应用．掌握多项式除以单项式法则是解题关键． 7.若(x+4)(x−2)=x2+px+q，则p、q的值是（ ） A．2，−8 B．−2，−8 C．−2，8 D．2，8 【答案】A 【分析】首先把(x+4)(x−2)根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定p、q的值．【详解】解：∵(x+4)(x−2)=x2+2x−8， 而(x+4)(x−2)=x2+px+q， ∴p=2，q=−8． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定p、q 的值． 题型十：整式的除法 1.若 ，则括号内应填的单项式是( ) A．a B．2a C．ab D．2ab 【答案】A 【提示】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：∵()⋅2a2b=2a3b， ∴（ ）=2a3b÷2a2b=a． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键． 2.计算：8x3y÷(2x) 2= ． 【答案】2xy 【提示】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式=8x3y÷4x2 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3.计算： ( 4x4−x3+ 2 x2) ÷(−2x2)． 3 1 1 【答案】−2x2+ x− 2 3 【提示】根据多项式除以单项式法则进行运算，即可求解． 【详解】解： ( 4x4−x3+ 2 x2) ÷(−2x2)=−2x2+ 1 x− 1 3 2 3 【点睛】本题考查了多项式除以单项式法则，熟练掌握和运用多项式除以单项式法则是解决本题的关键．4.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解 答过程补充完整． 例先去括号，再合并同类项：m（A）−6(m+1)． 解：m（A）−6(m+1)=m2+6m−6m−6= ． 【答案】A=m+6，解答过程补充完整为m2−6 【提示】利用m2+6m除以m可得A，再根据合并同类项法则补充解答过程即可． 【详解】解：观察第一步可知，A=(m2+6m)÷m，解得A=m+6， 将该例题的解答过程补充完整如下：m(m+6)−6(m+1)=m2+6m−6m−6=m2−6，故答案为： m2−6． 【点睛】本题考查了多项式的乘除法、合并同类项，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 题型十一：利用乘法公式计算 1.计算：(x+2y)(x−2y)−y(3−4 y)． 【答案】x2−3 y 【提示】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解：(x+2y)(x−2y)−y(3−4 y)=x2−4 y2−3 y+4 y2=x2−3 y． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2.计算：(2a−3) 2−(a+5)(a−5)． 【答案】3a2−12a+34 【提示】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理； 【详解】解：原式=(4a2−12a+9)−(a2−25) =4a2−12a+9−a2+25 =3a2−12a+34. 【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键． 3.计算 的结果为 ． 【答案】1 【提示】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 【详解】解：(√7+√6)(√7−√6)=(√7) 2−(√6) 2=7−6=1 故答案为：1【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4.计算：（a+1）2﹣a2= ． 【答案】2a+1 【详解】【提示】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果． 【详解】（a+1）2﹣a2 =a2+2a+1﹣a2 =2a+1， 故答案为2a+1. 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键. 题型十二：通过对完全平方公式变形求值 1.若m+n=10，mn=5，则 的值为 ． 【答案】90 【提示】将 变形得到(m+n) 2−2mn，再把m+n=10，mn=5代入进行计算求解． 【详解】解：∵m+n=10，mn=5， ∴ =90． 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键． 2.已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ． 【答案】4 【提示】根据完全平方公式的运算即可. 【详解】∵(x+ y) 2=25，(x−y) 2=9 ∵(x+ y) 2 +(x−y) 2 =4xy =16， ∴xy =4. 【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.3.若a+b=3， ，则ab等于（ ） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】B 【详解】∵a+b=3， ∴（a+b）2=9 ∴a2+2ab+b2=9 ∵a2+b2=7 ∴7+2ab=9，7+2ab=9 ∴ab=1． 故选B． 1 4.已知x+ ＝3，求下列各式的值： x 1 1 (1)（x﹣ ）2；(2)x4+ ． x x4 【答案】(1)5 (2)47 1 1 1 【提示】（1）由(x+ ) 2 ＝ 、 ＝ ，进而得到(x+ ) 2 ﹣4x• 即可 x x x 解答； 1 1 1 （2）由 ＝x2−2+ 可得x2+ =7，又 ＝ ，进而得到x4+ ＝ ﹣2 x2 x2 x4 即可解答． 1 【详解】（1）解：∵(x+ ) 2 ＝ x ∴ ＝ ＝ 1 1 ＝(x+ ) 2 ﹣4x• x x ＝32﹣4 ＝5．1 （2）解：∵ ＝x2−2+ ， x2 1 ∴x2+ x2 ＝ +2 ＝5+2 ＝7， ∵ ＝ ， 1 ∴x4+ x4 ＝ ﹣2 ＝49﹣2 ＝47． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本 题的关键． 题型13 乘法公式的几何验证 1.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①(a+b) 2=a2+2ab+b2 ②(a−b) 2=a2−2ab+b2 ③ ④(a−b) 2=(a+b) 2−4ab 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【提示】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 2.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用的面积为M． (1)用含a，M的代数式表示A中能使用的面积___________； (2)若 ，a−b=5，求A比B多出的使用面积． 【答案】(1)a2−M (2)50 【提示】（1）利用正方形秧田A的面积减去不能使用的面积M即可得； （2）先求出B中能使用的面积为b2−M，再求出A比B多出的使用面积为a2−b2，利用平方差公式求解 即可得． 【详解】（1）解：A中能使用的面积为a2−M， 故答案为：a2−M． （2）解：B中能使用的面积为b2−M， 则A比B多出的使用面积为a2−M−(b2−M)=a2−b2， ∵a+b=10，a−b=5， ∴a2−b2=(a+b)(a−b)=10×5=50， 答：A比B多出的使用面积为50． 【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键． 3.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕 “几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的 逻辑规律体现在具体的图形之中． (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式， （下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd 公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 公式③：(a−b) 2=a2−2ab+b2 公式④：(a+b) 2=a2+2ab+b2 图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______； (2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写 出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形） (3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点 重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG 与△CEG的面积之和为S ，△ABD与△AEH的面积之和为 ． 1S 1 ①若E为边AC的中点，则 的值为_______； S 2 ②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理 由． 【答案】(1)①，②，④，③ (2)证明见解析 (3)①2 ②结论仍成立，理由见解析 【提示】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积= 正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明； （3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设 BD=a，从而用含a的代数式表示出S 、S 进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG 1 2 都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S 、S 进行 1 2 计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b， ∴S =S =a(a−b)， 矩 形AKLC矩 形DBFG ∵S =S +S ， 矩 形AKH矩D 形AKLC矩 形CLHD ∴S =S +S =S −S =a2−b2 ， 矩 形AKH矩D 形DBF矩G 形CLH正D 方 形BCEF正 方 形LEGH 又∵S =(a+b)(a−b)， 矩 形AKHD∴(a+b)(a−b)=a2−b2； （3）解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形， 设BD=a， 1 1 3 ∴AD=BD=a，AH=HE=DG= a，EG=CG= a，FG=BG= a， 2 2 2 ∴S =S +S = 1 ×( 3 a) 2+ 1 × (1 a ) 2 = 5 a2 ， 1 △BFG △CEG 2 2 2 2 4 S =S +S = 1 a2+ 1 × (1 a ) 2 = 5 a2 ， 2 △ABD △AEH 2 2 2 8 S ∴ 1=2； S 2 故答案为：2； ②成立，证明如下： 由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形， 设BD=a，DG=b， ∴AD=BD=a，AH=HE=DG=b，EG=CG=a−b，FG=BG=a+b， 1 1 ∴S =S +S = (a+b) 2+ (a−b) 2=a2+b2 ， 1 △BFG △CEG 2 2 1 1 1 S =S +S = a2+ b2= (a2+b2)， 2 △ABD △AEH 2 2 2 S ∴ 1=2仍成立． S 2 【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察 图形，通过图形面积解决问题是解题的关键． 题型十三：乘法公式的应用 1.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2−10x+m=0的两个实数根，且其面积为 11，则该菱形的边长为（ ） A．√3 B．2√3 C．√14 D．2√14 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=10，根据菱形的面积得到ab=22，利用勾股定 理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程x2−10x+m=0的两根分别为a，b，∴a+b=10， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， 1 ∴ ab=11，即ab=22， 2 ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 √ (a) 2 + (b) 2 = 1 √a2+b2= 1 √(a+b) 2−2ab 2 2 2 2 1 = √102−2×22=√14，故C正确． 2 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出 a+b=10是解题的关键． 2.已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ． 【答案】±2 【分析】根据(a±b) 2=a2±2ab+b2，计算求解即可． 【详解】解：∵y2−my+1是完全平方式， ∴−m=±2， 解得m=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：(a±b) 2=a2±2ab+b2． 3.若实数m满足(m−2023) 2+(2024−m) 2=2025，则(m−2023)(2024−m)= ． 【答案】−1012 【分析】根据完全平方公式得 2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ]，再代值计算即可． 【详解】解：∵ (m−2023) 2+(2024−m) 2=2025 ∴2(m−2023)(2024−m)=[(m−2023)+(2024−m)] 2−[(m−2023) 2+(2024−m) 2 ] =1−2025 =−2024 ∴(m−2023)(2024−m)=−1012故答案为：−1012． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2及其变式 是解题本题的关键． 4.如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4． （1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ； （2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ． 5 【答案】 25 3 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出¿，根据题意得出m+n=√10，进而得出¿，根据图2阴影部分的面积为 mn，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） a=3,b=4，图1阴影部分的面积是a2+b2=32+42=25， 故答案为：25． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5， 1 ∴a2+b2=3， (m+n)(m+n)=5，即(m+n) 2=10 2 ∴m+n=√10（负值舍去） ∵am−bn=2，an+bm=4． 解得：¿ ∵a2+b2=3① ∴¿， 6a+2b 2 ∴m+n= =2a+ b， 3 3 2 ∴2a+ b=√10② 3 联立①②解得：¿（b为负数舍去）或¿ √30+3√10 −√30+3√10 ∴2a+4b= ，4a−2b= 2 21 图2阴影部分的面积是 √2m×√2n=mn 2 (2a+4b)(4a−2b) mn= 9 √30+3√10 −√30+3√10 × 2 2 = 9 5 = 3 5 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二 次方程，正确的计算是解题的关键． 考点四：整式化简求值 题型一：整式化简-直接代入法 1.若x=1，则3x−2= ． 【答案】1 【提示】将x=1代入代数式求解即可． 【详解】解：∵x=1， ∴3x−2=3×1−2=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的计算． 2.已知a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c在数轴上对应的点到原点的距离是6，求 的 值． 【答案】7或−5 【分析】先根据最小正整数、绝对值最小的有理数以及到原点的距离可确定a、b、c的值，然后代入计算 即可． 【详解】解：因为a是最小的正整数，所以a=1； 因为b是绝对值最小的有理数， 所以b=0； 因为c到原点的距离是6， 所以c=±6； 当c=6时，a−b+c=7； 当c=−6时， ．【点睛】本题主要考查了有理数的相关概念、代数式求值等知识点，牢记最小正整数是1、绝对值最小的 数是0及绝对值的意义成为解答本题的关键． 题型二：整式化简-间接代入法 1.已知a=2+√5，b=2−√5，求代数式a2b+ab2的值． 【答案】－4 【提示】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 =(2+√5)(2−√5)(2+√5+2−√5)=−1×4=−4. 故代数式的值为−4． 【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算． 1 2.先化简，再求值： ，其中a=−3,b= ． 3 【答案】 ，24 【提示】先展开，合并同类项，后代入计算即可． 【详解】 =a2−9b2+a2−6ab+9b2 1 1 当a=−3,b= 时，原式=2×(−3) 2−6×(−3)× =24． 3 3 【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键． 3.先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=2021． 【答案】x+1，2022 【提示】观察式子，先因式分解，再化简，最后代入字母的值求解即可 【详解】(x+1) 2−x(x+1)=(x+1)(x+1−x)=x+1 当x=2021时， 原式=2021+1=2022 【点睛】本题考查了整式的化简求值，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型三：整式化简-整体代入法 1.若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为 ． 【答案】2019 【提示】将x=3代入方程，得到3a−b=2，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵x=3是关x的方程ax2−bx=6的解， ∴a⋅32−3b=6，即：3a−b=2， ∴2023−6a+2b=2023−2(3a−b)=2023−2×2=2023−4 ；故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关 键． 2.若x+ y=3，y=2，则x2y+x y2的值是 ． 【答案】6 【提示】先提公因式分解原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：x2y+x y2=xy(x+ y)， ∵x+ y=3，y=2， ∴x=1， ∴原式=1×2×3=6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，利用整体思想方法是解答的关键． ( 2ab−b2 ) a−b 3.若3ab−3b2−2=0，则代数式 1− ÷ ，的值为 ． a2 a2b 【答案】 【提示】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将3ab−3b2−2=0变形，即可得到答案． ( 2ab−b2 ) a−b 【详解】解： 1− ÷ ， a2 a2b (a2−2ab+b2 ) a2b = × ， a2 a−b (a−b) 2 a2b = × ， a2 a−b =ab−b2， ∵3ab−3b2−2=0， ∴3ab−3b2=2， 2 ∴ab−b2= ， 3 故原式的值为 ， 故答案为： ．【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键． 4.已知x2−2x−1=0，则 的值等于 ． 【答案】2023 【提示】把x2−2x−1=0化为： 代入降次，再把x2−2x=1代入求值即可． 【详解】解：由x2−2x−1=0得： ，x2−2x=1， =3x(2x+1)−10x2+5x+2027=6x2+3x−10x2+5x+2027=−4x2+8x+2027=−4(x2−2x)+2027，=−4×1+2027=2023 故答案为：2023． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键． 题型四：整式化简-赋值法 1.化简： ，若x是−1≤x≤2的整数，请选择一个合适的数求代数式的值． x 2 【答案】 ，当x=2时，原式= x+1 3 【提示】根据分式混合运算的法则化简原式，再根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算即可． 【详解】 [ x2 1 ] x2 x2−1 x2 (x+1)(x−1) x2 x = − × = × = × = x(x−1) x(x−1) x2+2x+1 x(x−1) x2+2x+1 x(x−1) (x+1) 2 x+1 ∵x是−1≤x≤2的整数，且x≠0,±1， ∴ ， x 2 2 则原式= = = ． x+1 2+1 3 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和法则进行化简， 而根据分式有意义的条件选择x的值是易错点． 2.先化简，再求值： （1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2． 2 （2）先化简（1+ ）÷ ，再从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值． x−3【答案】（1）﹣2ab，4；（2） ，当x＝0 时，原式＝﹣3，当x＝2 时，原式＝﹣ ． 【提示】（1）原式利用多项式除以单项式，平方差公式计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可 求出值； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结 果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab， 当a＝1，b＝﹣2时， 原式＝4； x−3+2 (x−3) 2 （2）原式＝ • x−3 (x+1)(x−1) x−1 (x−3) 2 ＝ • x−3 (x+1)(x−1) ＝ ， ∵x的值从﹣1，0，1，2，3中选取，又要使原分式有意义， ∴x可取0，2， ∴当x＝0 时，原式＝﹣3， 当x＝2 时，原式＝﹣ ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，整式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练 掌握运算法则进行运算. 题型五：整式化简-隐含条件求值 1.已知单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n= ． 【答案】3 【提示】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计 算即可． 【详解】解：∵单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项， ∴2m=4，n+2=-2m+7， 解得：m=2，n=1， 则m+n=2+1=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．2.若多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn= ． 【答案】0或8 【提示】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：∵多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式， ∴n−2=0，1+|m−n|=3， ∴n=2，|m−n|=2， ∴m−n=2或n−m=2， ∴m=4或m=0， ∴mn=0或8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 3.若√7的整数部分是a， 的小数部分是b，求ab+5b的值． 【答案】14√3−21 【分析】先根据2<√7<3得出a=2，再根据3<√12<4，得出b=2√3−3，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵4<7<9， ∴√4<√7<√9， ∴2<√7<3， √7的整数部分是a， ∴a=2， ∵9<12<16， ∴√9<√12<√16， ∴3<√12<4， ∵ 的小数部分是b， ∴b=√12−3=2√3−3， ∴ab+5b=2×(2√3−3)+5(2√3−3)=14√3−21． 【点睛】本题考查了无理数的估算，求代数式的值，根据题意计算得出a、b的值是解此题的关键． 4.若|a−2022|+√b+2022=2，其中a，b均为整数，则|a+b|= ． 【答案】0，2，4 【提示】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可 求解【详解】解：∵|a−2022|+√b+2022=2，其中a，b均为整数， 又∵|a−2022|≥0， ①当|a−2022|=0，√b+2022=2时， ∴a=2022，b=−2018 ∴|a+b|=|2022−2018|=4 ②当|a−2022|=1，√b+2022=1时， ∴a=2023或a=2021，b=−2021 ∴|a+b|=|2023−2021|=2或|a+b|=|2021−2021|=0 ③当|a−2022|=2，√b+2022=0时， ∴a=2024或a=2020，b=−2022 ∴|a+b|=2024−2022=2或|a+b|=|2020−2022|=2 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类 讨论的数学思想． 题型六：整式化简-利用“无关”求值 1.若(x2+mx+n)(x2−3x+1)的展开式中不含 和x3项，求： (1)m、n 的值． (2)求(m+n)(m2−mn+n2 )的值． 【答案】(1)m=3，n=8 (2)539 【提示】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含 和x3项，列方程求出m与n 的值即可， （2）把m与n的值代入(m+n)(m2−mn+n2)求值． 【详解】（1） (x2+mx+n)(x2−3x+1)=x4−3x3+x2+mx3−3mx2+mx+nx2−3nx+n=x4+(m−3)x3+(n−3m+1)x2+(m−3n)x+n ∵原式展开式中不含x3项和 项， ∴m−3=0,n−3m+1=0 解得m=3，n=8．（2）(m+n)(m2−mn+n2)=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3=m3+n3 当m=3，n=8时， 原式=33+83=27+512=539 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于m、n的方程是解此题的关键． 2.已知多项式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值与x的取值无关，求字母a的值． 【答案】-10 【提示】先用x，a表示出M·N+P的值，然后根据“且M·N+P的值与x的取值无关”来确定a的取值． 【详解】M•N+P=（x2+5x-a）（-x+2）+（x3+3x2+5）， =-x3+2x2-5x2+10x+ax-2a+x3+3x2+5， =（10+a）x-2a+5， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴10+a=0，即a=-10． 【点睛】本题考查了多项式的乘法，合并同类项法则，“值与x的取值无关，就是x的系数等于0”，把握 住题目的关键语是解题的关键． 3.有这样一道题：计算 1 x2− ( 3x2+3xy− 3 y2) + (8 x2+3xy+ 2 y2) 的值，其中x=− 1 ，y=2．甲同学 3 5 3 5 2 1 1 把“x=− ”错抄成了“x= ”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？ 2 2 【答案】见解析． 【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解： 1 x2− ( 3x2+3xy− 3 y2) + (8 x2+3xy+ 2 y2) 3 5 3 5 1 3 8 2 = x2−3x2−3xy+ y2+ x2+3xy+ y2 3 5 3 5 = y2， 1 1 结果与x的取值无关，故甲同学把“x=− ”错抄成了“x= ”，但他计算的结果也是正确的． 2 2 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型七：整式化简-配方法 1.已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值． 【答案】7． 【详解】解：因为a2+b2+2a-4b+5=0， ∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0， ∴a+1=0且b-2=0， ∴a=-1且b=2， ∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7． 2.已知x2−2x+ y2+8 y+17=0，求(x+ y) 2的值． 【答案】9 【分析】利用配方法将x2−2x+ y2+8 y+17=0变为(x−1) 2+(y+4) 2=0，根据非负数的性质得到 x=1,y=−4，最后求出答案． 【详解】解：∵x2−2x+ y2+8 y+17=0 ∴(x2−2x+1)+(y2+8 y+16)=0， ∴(x−1) 2+(y+4) 2=0 ∴x−1=0,y+4=0， ∴x=1,y=−4， ∴(x+ y) 2=(1−4) 2=9． 【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方． 题型八：整式化简-平方法 1 1 1.已知x+ =6，则x2+ =（ ） x x2 A．38 B．36 C．34 D．32 【答案】C 1 【提示】把x+ =6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求． x 1 1 1 【详解】解：把x+ =6两边平方得：（x+ ）2=x2+ +2=36， x x x2 1 则x2+ =34， x2 故选C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 1 1 2.已知x+ y=7且xy=12，则当x0， x y 1 1 1 所以 − = ， x y 12 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 题型九：整式化简-特殊值法 1.若(√2−x) 3=a +a x+a x2+a x3 ，则(a +a ) 2−(a +a ) 2 的值为 ． 0 1 2 3 0 2 1 3 【答案】1 【分析】把x=1代入已知计算得到a +a +a +a =(√2−1) 3 ；把x=−1代入已知计算得到 0 1 2 3 a −a +a −a =(√2+1) 3 ；再利用平方差公式即可求解． 0 1 2 3 【详解】解：由(√2−x) 3=a +a x+a x2+a x3 ， 0 1 2 3 若令x=1，则a +a +a +a =(√2−1) 3 ； 0 1 2 3 若令x=−1，则a −a +a −a =(√2+1) 3 ， 0 1 2 3 所以 (a +a ) 2−(a +a ) 2=(a +a +a +a )(a +a −a −a )=(√2−1) 3 (√2+1) 3=[(√2−1)(√2+1)] 3=1． 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要 先化简再求值． 1 1 2.已知实数a，b满足a⋅b=1，那么 + 的值为（ ） a2+1 b2+1 1 1 A． B． C．1 D．2 4 2 【答案】C 【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解． 【详解】方法一（平方法）：解：∵a•b=1，∴a2b2=(ab) 2=1，∴ a2+b2+2 = =1．故选：C． 1+b2+a2+1 1 1 方法二（特殊值法）：解：∵a•b=1，所以令a=1，b=1，带入代数式中得原式= + =1 2 2 ．故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到， 分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 题型十：整式化简-设参法 a b c a+b 1.已知 = = ≠0,则 的值为( ) 2 3 4 c 4 5 1 A． B． C．2 D． 5 4 2 【答案】B a b c 【详解】试题解析：设 = = =k，则a=2k，b=3k，c=4k． 2 3 4 a+b 2k+3k 5 所以 = = ， c 4k 4 故选B． a 2 b−a 2.已知 = ，那么代数式 的值是 ． b 3 a+b 1 【答案】 /0.2 5a 2 b−a 【提示】已知 = ，则设a=2k，b=3k，把a和b的值代入代数式 化简即可． b 3 a+b a 2 【详解】解：∵ = ， b 3 设a=2k，b=3k(k≠0)， ∴ 1 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查了比例的性质，根据已知设出a=2k，b=3k是解题的关键． 题型十一：整式化简-利用根与系数关系求值 1.已知a，b是一元二次方程x2−2x−1=0的两个实数根，则a+b+ab的值为 ． 【答案】1 【提示】根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=−1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得a+b=2，ab=−1， 所以a+b+ab=2+(−1)=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则 1 2 b c x +x =− ,x x = ． 1 2 a 1 2 a 2.已知x ，x 是关于x的方程 的两实数根，且x +x =−2，x ⋅x =1，则a的值为 1 2 1 2 1 2 ，ba的值是 ． 1 【答案】 2 /0.25 4 【提示】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵x ，x 是关于x的方程 的两实数根， 1 2 ∴ ，x ⋅x =−2b， 1 2 ∵x +x =−2，x ⋅x =1， 1 2 1 2 ∴a=2,−2b=1， 即 ，∴ba= ( − 1) 2 = 1 ． 2 4 1 故答案为：2； 4 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x ，x 是一元二次方程 1 2 b ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x +x =− ， 是解题的关键． 1 2 a 1 1 3.已知一元二次方程x2−5x−6=0的两根分别为a，b，则 + 的值为（ ） a b 1 1 5 5 A．− B． C． D．− 6 6 6 6 【答案】D 1 1 【提示】根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=5，ab=−6，然后对 + 变形后整体代入计算 a b 即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程x2−5x−6=0的两根分别为a，b， ∴a+b=5，ab=−6， 1 1 a+b 5 5 ∴ + = = =− ． a b ab −6 6 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 b c x ,x ，那么x +x =− ，x x = ． 1 2 1 2 a 1 2 a 题型十二：整式化简-消元法求值 a a2−ab+b2 1..如果 =2，则 = ( ) b a2+b2 4 3 A． B．1 C． D．2 5 5 【答案】C a2−ab+b2 4b2−2b2+b2 3b2 3 【详解】由题意可知，a=2b，因此 = = = ，故选C a2+b2 4b2+b2 5b2 52a2+3b2+7c2 2.若a+2b=9c，a−2b=5c，则 = ． a2−4b2+9c2 【答案】2 【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a、b和c的关系式；再通过分式性质运算，即可 得到答案． {a+2b=9c {a=7c 2(7c) 2+3c2+7c2 108c2 【详解】∵ ，∴ ∴ = =2 a−2b=5c b=c (7c) 2−4c2+9c2 54c2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程 组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解． 题型十三：整式化简-倒数法求值 2 1 1 1.若 的值为 ，则 的值为( )． 2y2+3 y+7 4 4 y2+6 y−1 1 1 A．1 B．－1 C．- D． 7 5 【答案】A 1 2 1 【详解】解:设3x2+4x= y ，∵ 的值为 , ∴ = ,计算得出y=1, ∴ 4 y+7 4 1 1 = =1 .所以A选项是正确的. 6x2+8x−1 1×2−1 点睛：本题主要考查了计算分式的值，设3x2+4x= y是解题关键，注意整体代入思想的运用. x 1 x2 = 2.已知 ，求 的值． x2+1 3 x4+1 1 【答案】 7 x 1 x2+1 1 【分析】由 = 可得x≠0，再取倒数可得： =3，即x+ =3，再求解原代数式的倒数 x2+1 3 x x x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2,从而可得答案. x2 x2 x x 1 【详解】解：由 = 知x≠0， x2+1 3x2+1 1 所以 =3，即x+ =3． x x 所以 x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7． x2 x2 x x2 1 故 的值为 ． x4+1 7 【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2是解题的关键. x2 x 考点五：因式分解 题型一：判断因式分解 1.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A．(a+3) 2=a2+6a+9 B．a2−4a+4=a(a−4)+4 C． D． 【答案】C 【提示】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、(a+3) 2=a2+6a+9，属于整式的乘法，故不符合题意； B、a2−4a+4=a(a−4)+4，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、 ，属于因式分解，故符合题意； D、因为(a−2)(a+4)=a2+2a−8≠a2−2a−8，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 2.下列因式分解正确的是（ ） A．ax+ay=a(x+ y)+1 B．3a+3b=3(a+b) C．a2+4a+4=(a+4) 2 D．a2+b=a(a+b) 【答案】B 【提示】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误；B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、a2+4a+4=(a+2) 2，选项计算错误； D、a2+b不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的 方法是解题关键． 题型二：提公因式法分解因式 1.因式分解：x2+x= ． 【答案】x(x+1) 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出 来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提 取公因式x即可． 【详解】解：x2+x=x(x+1) 2.2a2与4ab的公因式为 ． 【答案】2a 【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即 可解答． 【详解】解：根据确定公因式的方法，可得2a2与4ab的公因式为2a， 故答案为：2a． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键． 3.因式分解：x(y−1)+4(1−y)= ． 【答案】(y−1)(x−4) 【分析】将整式x(y−1)+4(1−y)变形含有公因式(y−1)，提取即可． 【详解】解：x(y−1)+4(1−y) =x(y−1)−4(y−1) =(y−1)(x−4) 故答案为：(y−1)(x−4)． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因 式． 4.因式分解：x2+xy−xz−yz= ． 【答案】(x+ y)(x−z) 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：x2+xy−xz−yz= x(x+ y)−z(x+ y)=(x+ y)(x−z)， 故答案为：(x+ y)(x−z)． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型三：运用公式法分解因式 1.下列因式分解正确的是（ ） A．2a2−4a+2=2(a−1) 2 B．a2+ab+a=a(a+b) C．4a2−b2=(4a+b)(4a−b) D．a3b−ab3=ab(a−b) 2 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、2a2−4a+2=2(a2−2a+1)=2(a−1) 2，故本选项正确，符合题意； B、a2+ab+a=a(a+b+1)，故本选项错误，不符合题意； C、4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，故本选项错误，不符合题意； D、a3b−ab3=ab(a2−b2)=ab(a+b)(a−b)，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、 十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 2.分解因式：4+4m+m2= ． 【答案】(2+m) 2 【分析】直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：4+4m+m2=(2+m) 2． 故答案为：(2+m) 2． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 3.因式分解：x(x−2)+1= ． 【答案】(x−1) 2 /(1−x) 2 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：x(x−2)+1=x2−2x+1=(x−1) 2；故答案为：(x−1) 2． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 4.若k为任意整数，则(2k+3) 2−4k2的值总能（ ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解：(2k+3) 2−4k2 =(2k+3+2k)(2k+3−2k) =3(4k+3)， 3(4k+3)能被3整除， ∴(2k+3) 2−4k2的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多 项式分解成若干个整式乘积的形式． 题型四：选用合适的方法因式分解 1.若k为任意整数，则 的值总能（ ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【提示】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： =(2k+3+2k)(2k+3−2k) =3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴ 的值总能被3整除，故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a2−b2=(a−b)(a+b)通过因式分解，可以把多 项式分解成若干个整式乘积的形式． 2.因式分解：x2+xy−xz−yz= ． 【答案】 【提示】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．【详解】解：x2+xy−xz−yz=x(x+ y)−z(x+ y)=(x+ y)(x−z)， 故答案为：(x+ y)(x−z)． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 3.因式分解：x(y−1)+4(1−y)= ． 【答案】(y−1)(x−4) 【提示】将整式 变形含有公因式(y−1)，提取即可． 【详解】解： =x(y−1)−4(y−1) 故答案为：(y−1)(x−4)． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因 式． 4.分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ． 【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2） 【提示】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可． 【详解】解：a4﹣3a2﹣4 ＝（a2+1）（a2﹣4） ＝（a2+1）（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）． 【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查． 5.因式分解：4x2−y2+2y−1= ． 【答案】(2x+ y−1)(2x−y+1) 【提示】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可. 【详解】解：4x2−y2+2y−1=4x2−(y2−2y+1)=4x2−(y−1) 2=(2x+ y−1)(2x−y+1) 故答案为：(2x+ y−1)(2x−y+1) 【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运 用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键. 题型五：与因式分解有关的探究题 1.嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下 提示： 嘉淇的提示：258=2×100+5×10+8=2×(99+1)+5×(9+1)+8 =2×99+2+5×9+5+8=(2×99+5×9)+(2+5+8) =3(2×33+5×3)+3×5 ∵2×33+5×3为整数，5为整数， ∴3(2×33+5×3)能被3整除，3×5能被3整除，∴258能被3整 除． (1)通过计算验证258能否被3整除； (2)用嘉淇的方法证明4374能被3整除； (3)设abcd是一个四位数．a，b，c，d分别为对应数位上的数字，请论证“若a+b+c+d能被3整除，则 这个数可以被3整除”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【提示】（1）根据整数的除法计算即可； （2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论； （3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论． 【详解】（1）解：∵258÷3=86 ∴258能被3整除； （2） 4374=4×1000+3×100+7×10+4=4×(999+1)+3×(99+1)+7×(9+1)+4=4×999+4+3×99+3+7×9+7+4=(4×999+3×99+7×9)+(4+3+7+4)=3×(4×333+3×33+7×3)+3×6 ∵4×333+3×33+7×3为整数，6为整数， ∴3×(4×333+3×33+7×3)能被3整除，3×6能被3整除， ∴4374能被3整除． （3）证明： abcd=1000a+100b+10c+d=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)， ∵3(333a+33b+3c)能被3整除， ∴若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除； 【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键． 2.发现两个相邻奇数中，较大奇数与较小奇数的平方差一定是8的倍数． 验证计算52−32的值，并求这个值是8的几倍． 探究设“发现”中较小的奇数为2n+1,请论证“发现”中的结论正确． 【答案】2；见解析【提示】求出52−32=16=2×8,即可得出结果． 设“发现”中较小的奇数为2n+1,则最大的数为2n+3,n为正整数，由平方差公式得出 (2n+3) 2−(2n+1) 2=(2n+3+2n+1)(2n+3−2n−1)=8(n+1)即可得出． 【详解】解：52−32=16=2×8, 故52−32的值是8的2倍． 探究设“发现”中较小的奇数为2n+1,则最大的数为2n+3,n为正整数． ∴(2n+3) 2−(2n+1) 2=(2n+3+2n+1)(2n+3−2n−1)=8(n+1), 8(n+1) ∵ =n+1,且n为正整数， 8 ∴“发现”中的结论正确． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 3.问题情景：将下列完全平方式进行因式分解，将结果直接写在横线上． x2+2x+1=(x+1) 2；4x2−4x+1=(2x−1) 2；9x2−30x+25=__________； 探究发现：观察以上多项式，发现：22=4×1×1；(−4) 2=4×4×1；(−30) 2=4×9×25； 归纳猜想：若多项式ax2+bx+c(a>0,c>0)是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为 ； 验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程； ax2+bx+c(a>0,c>0) =a ( x2+ b x ) +c a =a(x+__________) 2+__________ ∵ax2+bx+c是完全平方式， ∴__________，即 ． 解决问题： ①若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，求n的值； ②若多项式9 y2+4加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的 单项式．【答案】问题情境：(3x−5) 2； b b2 b2 验证结论： ；c− （或 ）；c− =0（或4ac−b2=0） 2a 4a 4a 81 解决问题：①n=3；②12y，−12y或 y4 16 【提示】问题情境：根据完全平方公式分解因式即可； 验证结论：利用配方法进行验证即可； 解决问题：①利用题目中得出的结论列出关于n的方程，解方程即可； ②分两种情况进行讨论，写出所有满足条件的单项式即可． 【详解】解：问题情境：9x2−30x+25=(3x) 2−2×5×3x+52=(3x−5) 2， 故答案为：(3x−5) 2． 验证结论：ax2+bx+c(a>0,c>0)=a ( x2+ b x ) +c=a ( x2+ b x+ b2 ) +c− b2 =a ( x+ b ) 2 +c− b2 a a 4a 4a 2a 4a ∵ax2+bx+c是完全平方式， b2 ∴c− =0，即 ． 4a b b2 b2 故答案为： ；c− （或 ）；c− =0（或4ac−b2=0）； 2a 4a 4a 解决问题：①∵多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式， 2 ∴[−(2n+6)] =4(n+1)(n+6)， 解得：n=3； ②当添加的含字母y的单项式为中间项时， ∵9 y2±12y+4=(3 y±2) 2， ∴此时需要添加的单项式为12y或−12y； 当添加的含字母y的单项式为平方项时， ∵ 81 y4+9 y2+4= (9 y2+2 ) 2 ， 16 481 ∴此时需要添加的单项式为 y4 ； 16 81 综上提示可知，需要添加的含y的单项式为12y，−12y或 y4 ． 16 【点睛】本题主要考查了应用完全平方公式分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， a2±2ab+b2=(a±b) 2． 4.【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方减去1后都一定是8的倍数吗？” （1）【解决问题】计算：32−1=______；52−1=______；72−1=______；以上计算结果均______（填 “是”或“不是”）8的倍数； （2）设奇数为2n+1（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论； （3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数． 【答案】（1）8，24，48，是；（2）见解析；（3）2 【提示】（1）计算出结果，即可得出结论； （2）设这个奇数为2n+1，计算(2n+1) 2−1的结果即可； （3）设这个奇数为2n+1，计算(2n+1) 2+1的结果即可． 【详解】解：（1）32−1=8；52−1=24；72−1=48； 8=8×1；24=8×3；48=8×6； 所以，以上计算结果均是8的倍数； 故答案为：8，24，48，是； （2）设这个奇数为2n+1， 则有(2n+1) 2−1=2n(2n+2)=4n(n+1)， 又因为n，n+1为两个连续整数， 故其中必有一个是2的倍数， 所以，(2n+1) 2−1能被8整除； （3）设这个奇数为2n+1， 则有(2n+1) 2+1=2(2n2+2n+1)， 所以，任意奇数的平方加上1后都一定是2的倍数． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．题型六：数式规律探究 1.在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动： 对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串m，n，n−m； 第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m； 第3次操作后… 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活 动命名为“回头差”游戏． 则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ） A．m+n B．m C．n−m D．2n 【答案】D 【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为： m+n+n−m−m−n−n+m=0，结合2023÷4=505⋅⋅⋅3，从而可得答案． 【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，n−m； 第2次操作后得到整式串m，n，n−m，−m； 第3次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n； 第4次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m； 第5次操作后得到整式串m，n，n−m，−m，−n，−n+m，m； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 归纳可得：以上整式串每六次一循环， ∵2023÷6=337⋅⋅⋅1， ∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等， ∴这个和为m+n+n−m=2n， 故选D 【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活 运用是解本题的关键． 2.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b) n展开式的 系数规律． 1 (a+b) 0=1 1 1 (a+b) 1=a+b1 2 1 (a+b) 2=a2+2ab+b2 1 3 3 1 (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ） A．2 B．−4 C．2或4 D．2或−4 【答案】C 【分析】由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，令a=x，b=−3，可得(x−3) 4=1，再解 方程即可． 【详解】解：由规律可得：(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， 令a=x，b=−3， ∴(x−3) 4=x4−12x3+54x2−108x+81， ∵x4−12x3+54x2−108x+81=1， ∴(x−3) 4=1， ∴x−3=±1， ∴x=4或x=2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是从题干信息中总结规律，一元二次方程的解法，灵活的应用规律解题是关键． 3.观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，…． (1)尝试：132−112=8×___________． (2)归纳：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8×___________（用含n的代数式表示，n为正整数）． (3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的． 【答案】(1)6 (2)n (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果； （2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案； （3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：∵32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，∴112−92=8×5，132−112=8×6， 故答案为：6； （2）由题意得：(2n+1) 2−(2n−1) 2=8n， 故答案为：n； （3）(2n+1) 2−(2n−1) 2 =(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1) =4n×2 =8n． 【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意， 发现式子的变化特点是解题的关键． 4.观察等式：2+22=23−2；2+22+23=24−2；2+22+23+24=25−2；…已知按一定规律排列的一组数： 2100,2101,2102,⋯,2199,2200，若2100=S，用含S的式子表示这组数据的和是( ) A．2S2−S B．2S2+S C．2S2−2S D．2S2−2S−2 【答案】A 【分析】由题意得出2100+2101+2102+⋯+2199+2200=2100 (1+2+⋯+299+2100 )，再利用整体代入思想即 可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： 2100+2101+2102+⋯+2199+2200 =2100 (1+2+⋯+299+2100 ) =2100 (1+2101−2) =2100 (2101−1) =2100 (2100×2−1) ∵2100=S， ∴原式=S(S×2−1)=2S2−S, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的 关键是正确找到本题的规律：2+22+23+⋯+2n−1+2n=2n+1−2，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 题型七：数式中的新定义问题探究 1.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优 数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究．若将智 慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 57 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当m=3，n=1，则第1个一个智慧优数为32−12=8 当m=4，n=2，则第2个智慧优数为42−22=14 当m=4，n=1，则第3个智慧优数为42−12=15， 当m=5，n=3，则第4个智慧优数为52−32=16， 当m=6，n=4，则第5个智慧优数为 62−42=20 当m=5，n=2，则第6个智慧优数为52−22=21 当m=5，n=1，则第7个智慧优数为52−12=24 …… m=6时有4个智慧优数，同理m=7时有5个，m=8时有6个， 列表如下， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 8 4 15 12 5 24 21 16 6 35 32 27 20 7 48 45 40 33 24 8 63 60 55 48 39 28 9 80 77 72 65 56 45 32 10 99 96 91 84 75 64 51 3611 120 117 112 105 96 85 72 57 40 观察表格可知当m=12时，n=10时，智慧数为44， m=13,n=11时，智慧数为48， m=14，n=12时，智慧数为52， m=15，n=13时，智慧数为56， 第1至第10个智慧优数分别为：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32， 第11至第20个智慧优数分别为：33，35，36，39，40，44，45，48，51，52， 第21个智慧优数55，第22个智慧优数为56，第23个智慧优数为57 故答案为：15，57． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． x y 2.定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b= + ．若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是 a b ． 2 【答案】− 3 【分析】先根据2※(−2)=1可得一个关于x,y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵2※(−2)=1， x y ∴ + =1，即x−y=2， 2 −2 x y x−y 2 ∴(−3)※3= + =− =− ， −3 3 3 3 2 故答案为：− ． 3 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 3.定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2=−1），a称为复数的实部， b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如 (1+3i) 2=12+2×1×3i+(3i) 2=1+6i+9i2=1+6i−9=−8+6i，因此，(1+3i) 2的实部是﹣8，虚部是 6．已知复数(3−mi) 2的虚部是12，则实部是（ ） A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9- m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．【详解】解：∵(3−mi) 2=32−2×3×mi+(mi) 2=9−6mi+m2i2=9−m2−6mi ∴复数(3−mi) 2的实部是9−m2，虚部是−6m， ∴−6m=12， ∴m=−2， ∴9−m2=9−(−2) 2=9−4=5． 故选C． 【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键． 4.阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指 数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地．若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数， 记作x=log N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 9可以转化为指数式 a 2 3 32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： log (M⋅N)=log M+log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下： a a a 设log M=m,log N=n，则M=am,N=an． a a ∴M⋅N=am ⋅an=am+n．由对数的定义得m+n=log (M⋅N) a 又∵m+n=log M+log N a a ∴log (M⋅N)=log M+log N． a a a 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①log 32=___________；②log 27=_______，③log l = ________； 2 3 7 M （2）求证：log =log M−log N(a>0,a≠1,M>0,N>0)； a N a a （3）拓展运用：计算log 125+log 6−log 30． 5 5 5 【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明； M （3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga =logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为： N 125×6 log ，计算可得结论． 5 30 【详解】解：（1）①∵25=32，∴log 32=5， 2 ②∵33=27，∴log 27= 3， 3③∵70=1，∴log 1= 0； 7 （2）设logaM=m，logaN=n， ∴am=M，an=N， M ∴am÷an=am−n= ， N M ∴log =m−n， a N M ∴log =log M−log N； a N a a （3）log 125+log 6−log 30 5 5 5 125×6 =log 5 30 =log 25 5 =2． 【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定 义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．