易错点 07 平面向量
易错题【01】确定向量夹角时忽略向量的方向
在判断两向量的夹角大小时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误．特别要
注意在△ABC中， 的夹角不是角B，而是角B的补角， 夹角是角B。
易错题【02】不会通过建立坐标系把向量问题转化为代数问题
平面向量中有很多与平面几何交汇的问题，当所给平面图形为等腰三角形、直角三角形、
矩形、直角梯形时常通过建立坐标系，把平面向量问题转化为代数问题求解，特别是求平
面向量有关的最值与范围问题，常通过建立坐标系，转化为函数求最值，或利用基本不等
式求最值。另外若题中有互相垂直的单位向量，也可建立坐标系，利用向量的坐标运算把
向量问题转化为代数问题。
易错题【03】忽略向量共线致误
在解决两向量夹角问题时,一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角
⇔a·b>0且a,b不同向，特别提醒：不要忽略a,b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角
⇔a·b<0且a,b不反向，特别提醒：不要忽略a,b不反向。
易错题【04】对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理
解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共
线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条
件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本
定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λe ＋λe(λ,λ∈R,e,e 为同一平面内不共线的两个
1 1 2 2 1 2 1 2
向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果 e,e 是同一平面内的一组基底,且λe ＋
1 2 1 1
λe＝0(λ,λ∈R),那么λ＝λ＝0.
2 2 1 2 1 2
01
已知等边△ABC的边长为1,则BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝________.
_______.
【警示】本题出错主要原因是误以为向量AB、BC、CA间的夹角均为60°.得出BC·CA＝
CA·AB＝AB·BC＝的错误结论.【答案】
【问诊】BC与CA的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|BC|＝|CA|＝|
AB|＝1,所以BC·CA＝|BC||CA|cos 120°＝－.同理得CA·AB＝AB·BC＝－.故BC·CA＋CA·AB
＋AB·BC＝－.
【叮嘱】在判断两向量的夹角时,一定要注意向量的方向
1．(2022届陕西省西安高三上学期月考)已知 ， ， ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以 .故选C
2. 在 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 ,则科网
等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (( ( )
A． B. C. D. ((((((((
【答案】A
【解析】由 知, P 为△ABC 的重心,根据向量的加法, 则
,
= 故选A.
02(2020届山东卷T7)已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【警示】本题主要失误原因是没有建立坐标系的意识，导致解题受阻。
【答案】A
【问诊】如图，建立平面直角坐标系 ，由题意知 ， ， ，
，设 ，则 ，∵ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
【叮嘱】平面向量的坐标运算可把几何图形中的向量问题转化为代数问题求解。
1、(2022届重庆市九龙坡区高三上学期期中)已知 ， ，
， ，则 的取值范围( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，四边形 为矩形，构建以 为原点的直角坐标系，如下图，若 ，则 ，设 ，
∴ ， 且 ，
又 ，
∴ ，即 .故选B
03
已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【警示】本题易错之处是误以为θ为锐角 cos θ>0，忽略共线的情况
【答案】
【问诊】∵θ为锐角,∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝＝,
∴0<且≠1,∴,解得
∴λ的取值范围是.
【叮嘱】利用向量共线求参数的值或范围，要注意排除共线情况。
1.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”高三上学期12月联考)已知向量 ，
则下列说法不正确的是( )
A．若 ，则 的值为 B．若 ，则 的值为2
C． 的最小值为1 D．若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围
是
【答案】D【解析】A选项，若 ，则 ，A选项说法正确.
B选项，若 ，两边平方并化简得 ，即 ，B选项说法正
确.
C选项， ，当 时，有最小值为 ，C选项说法正确.
D选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，D选项说法不正
确.故选D
2.(多选题)(2022届福建省泉州高三上学期期中)已知平面向量 ， ，
，下列说法正确的是( )
A．若 // ，则
B．若 ⊥ ，则
C．若 ，则
D．若向量 与向量 夹角为锐角，则
【答案】BC
【解析】 ， ， ,
若 // ， ，故A不正确；
若 ⊥ ， ，故B正确；
若 ，则 ， ， ， ，
故C正确；若向量 与向量 夹角为锐角, 则若向量 与向量 平行，则 ， ，故向量 与向量 夹角为锐角时 且 .
故D不正确；故选BC
04
给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,
只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则
且 存在且唯一；(4) λa＋μb＝λa＋μb,则λ＝λ,μ＝μ.其中真命题的个数为
1 1 2 2 1 2 1 2
A.1 B. 2 C.3 D.4
【警示】本题出错主要原因是对平面向量基本定理理解不准确，导致判断失误
【答案】A
【问诊】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于
(3),当a,b均为零向量时 可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时 不存在,(3)是假
命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
【叮嘱】注意平面向量基本定理中的基底是两个不共线的向量
1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ ＝0(λ为实数)，则
λ必为零；③λ，μ为实数，若λ ＝μ ，则 与 共线.其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当 ＝0时，不论λ
为何值，λ ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λ ＝μ ＝ ，此时， 与 可以是任意向量.
故错误的命题有3个.故选D(2022届上海市嘉定区高三上学期质量检测)下列各组向量中.可以作为基底的是()
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 ，因为 ， 与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故 错
误；对于 ，因为 ，两向量共线，不能做基底，故 错误；对于 ，因为 ，
两向量共线，不能做基底，故 错误；故选 ．
错
1．(2022届广东省江门市高三上学期调研)在边长为3的等边 中，若 ，则
( )
A． B． C．3 D．6
【答案】D
【解析】
如图，由 可得 ，
又 ， 为等边三角形，
所以 .故选D
2．(2022届四川省攀枝花市高三统一考试)在△ 中， ， ， ，，且点 是 的中点，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，
，
，
∴ ，又 ，
∴ .故选A
3．(2021届宁夏中卫市高三联考)已知 ，且 ， 的夹角为 ，若向量 ，
则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ， ， ，且 ，
因为 ，所以 ，设 ， ，， ，所以 ，
由于 ，故 ．故选D．
4．已知 ， 是以 为直径的圆 上的动点，且 ，则 的最大值是( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以圆心 为原点，直径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
∴ ，
∴
，
设 ，则 ，
即 的最大值是2.故选A.
5．(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)下列说法中正确的是( )
A．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是B．向量 ， ，可以作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 和 ，满足 ，且两个向量是同向，则
D．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为30°
【答案】D
【解析】 ，因为 与 的夹角为锐角，所以
，解得： 且 ，故A
错误； ，所以 ∥ ，不能作为平面内所有向量的一组基底，B错误；两个向量的
模长可以比较大小，但两个向量是不能比较大小的，故C错误；不妨令
则 ，所以 ，则
，所以
∴
因为 ，所以 ，D选项正确.故选D
6．(多选题)(】河北省邢台市高三上学期联考)已知点 为 所在平面内一点，且满足
，则( )
A．当 在 内部时， B．当 在 外部时，C．当 时，直线 一定过 的重心D．当且仅当 时，
【答案】ACD
【解析】对A，取边BC上的点D，且满足 ，当 在 内部时， .因为
三点共线，所以存在唯一实数对 ，使得 ，于是
，则 .A正确；
对B，取边BC的中点E，则 ，设 ，易知点P在三角形外部，所以
，则 .B错误；对C， 时， ，由答案B中的
推理，点 重合，则直线 一定过 的重心.C正确；由题意，对D，
，则 .故选ACD.
7．(多选题)(2022届江苏省镇江市高三上学期期中)已知向量 ， ，则
下列说法正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最小值为6 D．若 与 的夹角为锐角，则
【答案】BC
【解析】A：若 ，故可得 ，解得 或 ，故A错误；
B：当 时， ，此时 ，则 ，故B正确；
C： ，故 ，当 时，取得最小值，故C正
确；D：若 与 的夹角为锐角，则 ，解得 ；当 与 共线时， ，解得 ，故 ，故D错误；
综上所述，正确的选项是 .故选BC.
8．(2022届江苏省无锡市高三上学期期中)已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，角A
为直角，点P为平面ABC上的一点，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】以A为原点，AC, AB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，C(1,0)，设
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
9．(2022届河北省石家庄市高三上学期质量检测)已知等腰三角形 的顶角 ，
， ， ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】因为等腰三角形 的顶角 ， ，故 .
故 .10．(2022届黑龙江省桦南县高三上学期期中)已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心
的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则 的最大值是________．
【答案】8
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ，易知圆半径为
，圆方程为 ，设 ，则 ，
，设 ，则 ，代入圆方程并整理得
，此方程有实数解，所以 ， ，所以
的最大值是2，所以 的最大值是8．
