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专题 07 平面向量
易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线
性运算）
1．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量 的大小，也就是向量 的长度，记作 ．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定： 与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
加法 求两个向量 b b a+b
和的运算
a a ②结合律三角形法则平行四边形法则
求 与 的 b a-b
相反向量 的
减法
和的运算叫做 a
与 的差
三角形法则
（1）
求实数 与
（2）当 时， 与 的方向相
数乘 向量 的积的运
同；当 时， 与 的方向相同；
算
当 时，
共线向量定理
向量 与 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 .
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量 ， ，若存在实数 ，使 ，则 与 共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
平面向量线性运算问题的求解策略：
(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，
三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式
等变形手段在线性运算中同样适用．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果.
解决向量的概念问题应关注以下七点：
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．
(6)非零向量 与 的关系： 是 方向上的单位向量．
(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小
易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成 ，而不能写成0．
（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或
重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．
（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须
重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首
尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如： ， ，
.
例 ．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若 ，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若 ，则可知C．若Q为 的重心，则
D．非零向量 ， ， 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 ， ， 必共面
变式2：如图所示，在平行四边形ABCD中， ， ， ．
(1)试用向量 来表示 ;
(2)AM交DN于O点，求 的值．
变式3：如图所示，在矩形 中， ， ，设 ， ， ，求 .
1．已知 、 为不共线的向量， ， ， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则 等于
（ ）
A． B．C． D．
3．在四边形 中，若 ，则（ ）
A．四边形 是平行四边形 B．四边形 是矩形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是正方形
4．已知 分别为 的边 上的中线，设 ， ,则 ＝（ ）
A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
5．如果 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
① 可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量 ，使 的实数对 有无穷多个；
③若向量 与 共线，则
④若实数λ、μ使得 ，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
6．给出下列各式：① ，② ，③ ，④ ，
对这些式子进行化简，则其化简结果为 的式子的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．已知平面向量 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ，则
8．设 与 是两个不共线的向量， ，若A，B，D三点共线，则
k的值为（ ）
A．－ B．－ C．－ D．－
9．在 中，已知 ，P是AB的垂直平分线l上的任一点，则 （ ）
A．6 B． C．12 D．
10．已知抛物线C： 的焦点为F，准线为l，点 ，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂
线，垂足为H，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列各式中结果为零向量的为（ ）
A． B．
C． D．
易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）
1．平面向量基本定理和性质
（1）共线向量基本定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 ．
（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）平面向量基本定理如果 和 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 ，都存在唯一的一对
实数 ，使得 ，我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
为 ， 叫做向量 关于基底 的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量 与 不共线，平面内的任一向量 都可以分解成形如
的形式，并且这样的分解是唯一的． 叫做 ， 的一个线性组合．平面向量基本
定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若 ，则 ．
推论2：若 ，则 ．
（3）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在 中，若点 是边 上的点，且 （ ），则向量 ．
在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议
熟练掌握．
A
B C
D
（4）三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ， 为
平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数 ，使得 ；
存在唯一的实数 ，使得 ；存在唯一的实数 ，使得 ；
存在 ，使得 ．
（5）中线向量定理
如图所示，在 中，若点D是边BC的中点，则中线向量 ，反之亦正确．
A
B C
D
2．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
叫做向量 的坐标，记作 ．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量 向量 点 ．
（3）设 ， ，则 ， ，即两个向量的和
与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若 ， 为实数，则 ，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相
应坐标．
（4）设 ， ，则 = ，即一个向量的坐标等于该向量的有
向线段的终点的坐标减去始点坐标．
3．平面向量的直角坐标运算
①已知点 ， ，则 ，②已知 ， ，则 ， ，
， ．
，
向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向
量为 （ ），然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 ，
，则 的充要条件是 ”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于 与 共线．
4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角
恒等变换求解．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向
量的运算．
（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向
量表达式．
向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．
两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
易错提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出
来．
（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似
等。例 ．已知向量 =（2，1）， ，则（ ）
A．若 ，则 B．向量 在向量 上的投影向量为
C． 与 的夹角余弦值为 D．
变式1．下列说法中错误的为（ ）
A．已知 ， 且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B．向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量 ， ，满足 且 与 同向，则
D．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为
变式2．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，且 与 共线，则
B．若 ，且 ，则 与 不共线
C．若A，B，C三点共线．则向量 都是共线向量
D．若向量 ，且 ，则
变式3．已知 是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使 ，则
B．平面内任意一个向量 都可以表示成 ，其中m，n为实数
C．对于m， ， 不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量 ，存在两对以上实数m，n，使
1．在梯形 中， ， ， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于 ，设
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点 ， ，向量 ， ∥ ，则（ ）
A． 时 与 方向相同
B． 时， 与 方向相同
C． 时 与 方向相反
D． 时， 与 方向相反
3．已知点 向量 则（ ）
A． 时 与 方向相同
B． 时 与 方向相同
C． 时 与 方向相反
D． 时 与 方向相反
4．如果 是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A． 可以表示平面 内的所有向量
B．对于平面 内任一向量 ，使 的实数对 有无穷个C．若向量 与 共线，则有且只有一个实数 ，使得
D．若存在实数 使得 ，则
5．已知平面内平行四边形的三个顶点 则第四个顶点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过下顶点A和右焦点 的直线与E交于另一点
B， 与y轴交于点P，则（ ）
A． B．
C． 的内切圆半径为 D．
△
7．设 ，非零向量 ， ，则（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在 ，使 D．若 ，则
8．已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
9．如图，在 中， 是 的三等分点，则（ ）A．
B．若 ，则 在 上的投影向量为
C．若 ，则
D．若
10．已知 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最小值为5 D．若向量 与向量 的夹角为钝角，则
11．已知空间向量 =（1，－1，2），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．向量 与向量 =（2，2，－4）共线
C．向量 关于x轴对称的向量为（1，1，－2）
D．向量 关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）
易错点三：忽视数量积不满足结合律（平面向量的数量积及其应用）
1．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），
记作 ，即 = ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影： 叫做向量 在 方向上的投影数量，当 为锐角时，它是正数；当 为钝角时，
它是负数；当 为直角时，它是0．
② 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上射影 的乘积．
2．数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；
② ；
③ ．
3．数量积的性质
设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
4．数量积的坐标运算
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
（当
且仅当 时等号成
立）
的关系
1．平面向量数量积的类型及求法：
（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式 ；二是坐标公式
．
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
2．平面向量数量积主要有两个应用：
（1）求夹角的大小：若 ， 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 （夹角公式），
所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
（2）确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的
两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．
3．向量与平面几何综合问题的解法与步骤：
（1）向量与平面几何综合问题的解法
①坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算
和向量运算，从而使问题得到解决．
②基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
（2）用向量解决平面几何问题的步骤
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．
4．利用向量求解三角函数问题的一般思路：
（1）求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系
式及三角函数中常用公式求解．
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角．
（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算
把问题转化为三角函数问题．
（4）解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角
和定理或正、余弦定理解决问题．
5．用向量法解决实际问题的步骤如下：
第一步：抽象出实际问题中的向量，转化为数学问题；
第二步：建立以向量为主体的数学模型；
第三步：利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
第四步：用数学模型中的数据求解问题．
6．常见的向量表示形式：
（1）重心．若点G是 的重心，则 或 （其中P为平面内任
意一点）．反之，若 ，则点G是 的重心．
（2）垂心．若H是 的垂心，则 ．反之，若
，则点H是 的垂心．
（3）内心．若点I是 的内心，则 ．反之，若
，则点I是 的内心．
（4）外心．若点O是 的外心，则 或
．反之，若 ，则点 是 的外心．
题型：平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式 ，或坐标公式 的应用，
另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：
①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；
②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．
（3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用．
易错提醒：（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且 ．
（2）当 时，由 不能推出 一定是零向量，这是因为任一与 垂直的非零向量 都有 ．
当 时，且 时，也不能推出一定有 ，当 是与 垂直的非零向量， 是另一与 垂直的
非零向量时，有 ，但 ．
（3）数量积不满足结合律，即 ，这是因为 是一个与 共线的向量，而 是一
个与 共线的向量，而 与 不一定共线，所以 不一定等于 ，即凡有数量积的结合律形式的
选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当 且 （或 ，且 .
例 ．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量 与 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．两个非零向量 ，若 ，则 与 共线且反向
D．已知向量 ，若 与 的夹角为锐角，则
变式1．给出下列命题,其中正确的有（ ）A．已知向量 ,则
B．若向量 共线,则向量 所在直线平行或重合
C．已知向量 ,则向量 与任何向量都不构成空间的一个基底
D． 为空间四点,若 构成空间的一个基底,则 共面
变式2．设 均为单位向量，对任意的实数 有 恒成立，则（ ）
A． 与 的夹角为 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
变式3．已知抛物线 的焦点为 ， 在抛物线上，延长 交抛物线于点 ，抛物线准线与
轴交于点 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．点 的坐标为
C． D．在 轴上存在点 ，使得 为钝角
1．如图，在三棱柱 中，M，N分别是 ， 上的点，且 ， ．设
， ， ，若 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
2．设 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）下列各命题中，正确的命题为（ ）
A． B．
C． D．
4．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
B．若对空间中任意一点 ，有 ，则 、 、 、 四点共面
C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D．已知向量 ， ，则 在 上的投影向量为
5．设向量 ， ，则下列叙述错误的是( )
A．若 时，则 与 的夹角为钝角 B． 的最小值为C．与 共线的单位向量只有一个为 D．若 ，则 或
6．设F为抛物线C： 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量 ，其中 均为正数，且 ，下列说法正确的是
（ ）
A． 与 的夹角为钝角
B．向量 在 方向上的投影为
C．
D． 的最大值为2
8．已知 所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则点O是 的外心
B．若 ，则点N是 的重心
C．若 ，则点P是 的垂心
D．若 ，且 ，则 为直角三角形
9．如图，在平行六面体 中， 与 交于 点，且 ，
， .则下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D．
10．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为30°
B．若 ，则 的夹角为锐角
C．若 ，则 ABC一定是直角三角形
D． ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若 =2 ，且| |=| |，则向量 在向量
方向上的投影数量为
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若 是 内一点，且 ，则 为 的垂心
B．若 是 内一点，且 ，则 为 的外
心
C．在四边形 中，若 ，则四边形为菱形
D．若 是 内一点，且 ，则 为 的内心
