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押天津卷 14~15 题
平面向量线性运算、函数性质综合应用
考点 2年考题 考情分析
近两年高考对于平面向量的线性运算考察难度较大，主要考
平面向量 2023年天津卷第14题 察平面向量基本定理以及平面向量的数量积运算，而且近两
年高考对于数量积运算考察时都结合了基本不等式的内容。
线性运算 2022年天津卷第14题 整体来看综合性较强，难度较大，可以预测24年高考很可
能仍会结合基本不等式和数量积运算来考察。
高考对于函数性质的综合考察难度较大，需要考生熟练掌握
函数图像与性质，常考察分段函数，零点问题，参数范围问
函数性质 2023年天津卷第15题
题，考查形式较多，并在解题过程中大多涉及数学中重要的
综合应用 2022年天津卷第15题 分类讨论思想，整体综合性较强，属于填空压轴题。
题型一平面向量线性运算
14．（5分）（2023•天津）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若
设 ， ，则 可用 ， 表示为 ；若 ，则 的最大值为 ．
14．（5分）（2022•天津）在 中， ， ， 是 中点， ，试用 ， 表示
为 ，若 ，则 的最大值为 ．
一、平面向量共线定理
已知 ，若 ，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点P在直线AB上或者在平行
于AB的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和
线.
（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；
（2）当等和线在O点和直线AB之间时， ；
（3）当直线AB在点O与等和线之间时， ；
（4）当等和线过O点时，k=0；
（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、平面向量中的最值（范围）问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．
其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根
据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
四、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明： ，① ，②
将两式相减可得 ，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ， ，则
，由 ，得 ．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由
变形为 ，得 ，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们
从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量
与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
五.基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若 R，则 a2 +b2 ≥2ab ，当且仅当a=b时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（2）其他变形：① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
六.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
1．平面四边形 中， ， 为 的中点，用 和 表示 ；
若 ，则 的最小值为 ．
2．在平行四边形 中、 是线段 的中点，点 满足 ，若设 ， ，则 可
用 ， 表示为 ；点 是线段 上一点，且 ．若 ，则 的最大值为
．
3．如图，在平行四边形 中， ， 为 的中点， 为线段 上一点，且满足，则 ；若 的面积为 ，则 的最小值为 ．
4．在 中， 是 边的中点， ， ， ，则 设 为平面上一点，
且 ，其中 ，则 的最小值为 ．
5．已知平行四边形 的面积为 ， ，且 ．若 为线段 上的动点，且
，则实数 的值为 ； 的最小值为 ．
6．如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在边 上，
交 于点 ，设 ，则 ；点 是线段 上的一个动点，则
的最大值为 ．
7．如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的直线 与直线 相交于
点，与直线 相交于 点 ， 交两点不重合）．若 ，则 ，若
，则 的最小值为 ．8．在平面四边形 中， ， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则
；若 ，点 为线段 上的动点，则 的最小值为 ．
9．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图
2 是 从 窗 花 图 中 抽 象 出 的 几 何 图 形 的 示 意 图 ． 如 图 2 ， 正 八 边 形 中 ， 若
，则 的值为 ；若正八边形 的边长为2， 是正八边形
八条边上的动点，则 的最小值为 ．
10．在平面四边形 中， ， ， ，若 ，
则 ；若 为边 上一动点，当 取最小值时，则 的值为 ．
11．在 中， ， ， ， ，则 ，若动点
在线段 上，则 的最小值为 ．12．已知向量 满足 分别是线段 ， 的中点，若
，则 ；若点 为 上的动点，且 ，则 的最小值为
．
13．在 中， 为 的中点， ，过点 任作一条直线，分别交线段 、 于 、 两
点，设 ， ，若用 、 表示 ，则 ；若 ， ，则
的最小值是 ．
14．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，则 的值
为 ；若 的面积为 ， 的最小值为 ．
15．在梯形 中， ，且 ， ， 分别是 和 的中点，若 ， ，
用 表示 ，若 ，则 余弦值的最小值为 ．
题型二 函数性质的综合应用
16．（5分）（2023•天津）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
17．（5分）（2022•天津）设 ，对任意实数 ，记 ， ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为 ．1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在
区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2.解决嵌套函数形如f (g(x))零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质
1．函数 若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值
范围为 ．
2．已知函数 有且仅有2个零点，则实数 的取值范围为
3 ． 函 数 ， 函 数 ， 若 函 数
恰有2个零点，则实数 的取值范围是 ．
4．已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，则 的取值
范围是 ．
5．函数 ， ， ，其中 ， ， 表示 ， ， 中的最小者．若函数有12个零点，则 的取值范围是 ．
6．已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， 若关于 的方程
， 有且仅有6个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ．
7．已知函数 ，则函数 的各个零点之和为 若方程 恰有四个实根，
则实数 的取值范围为 ．
8．设 ，函数 与函数 在区间 ， 内恰有3个零点，则
的取值范围是 ．
9．设 ，对任意实数 ，记 ， ．若 有三个零点，则实数 的取
值范围是 ．
10．若函数 ，函数 有两个零点，则实数 的取值是
11．已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ．满足 ，且
，则 ， 的取值范围是 ．
12．已知函数 ，若关于 的方程 恰有5个不同的实数
解，则实数 的取值集合为 ．
13．记 ，若 ， 有三个不等实根 ，若 ，则实数 ．
14．设 ，函数 若 恰有两个零点，则 的取值范围是 ．
15．已知 ，且函数 恰有3个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
16．定义函数 ，设 ， ，
若 含有3个不同的实数拫，则实数 的取值范围是 ．
