文档内容
10.2 平面向量的数量积（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 平面向量的坐标运算
【例1】（2022·广州模拟）（多选）已知向量 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【解析】 ，A符合题意； ，B符合题意；
，则 ，C符
合题意； ，D不符合题意.故答案为：ABC.
【一隅三反】
1．（2022·浙江省淳安中学高三开学考试）已知向量 ，则 在 方向上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ， ，则 ，
在 方向上的投影向量为 ，故选：B.
2．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）（多选）已知向量 ，则下列说法正
确的是（ ）
A．若 ，则 的值为
B．若 则 的值为
C．若 ，则 与 的夹角为锐角
D．若 ，则
【答案】AB
【解析】对于A：若 ，则 ，解得 ，故A正确；
对于B：若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于C：当 时 与 同向，此时 与 的夹角为 ，故C错误；
对于D：若 ，则 ，即 ，即 ，解得 ，
当 时 ， ， ，显然 ，
当 时 ， ， ，此时 ，故D错误；
故选：AB
3．（2022·福建·三明一中模拟预测）（多选）已知向量 ， ，其中 ，下列说法
正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 与 的夹角为钝角，则 D．若 ，向量 在 方向上的投影为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若 ，则 ，解得 ，A对；
对于B选项，若 ，则 ，
所以， ，B对；
对于C选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，可得 ，
且 与 不共线，则 ，故当 与 的夹角为钝角，则 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，所以，向量 在 方向上的投影为 ，D对.故选：ABD.
考点二 平面向量的数量积
【例2-1】（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则
（ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知条件可得 ， ，即 ，解得
， 故答案为：C
【例2-2】（2022·陕西模拟）已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 ， ，
，所以 ．故答案为：B．【例2-3】（2022·新疆三模）如图在△ABC中， ，F为AB中点， ， ，
，则 （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【解析】因为 ，
，所以
. 故答案为：A
【一隅三反】
1．（2022·安徽蚌埠·一模）若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由平面向量 两两的夹角相等, 得夹角为 或 ,当夹角为 时,
当夹角为 时,
故选：A
2．（2022·云南·高三阶段练习）在 中， ， ， ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】D
【解析】在 中， ，则 ，
又 ， ，所以 ，
因为点 是 的中点，所以 ，
所以
，故A，B，C错误.
故选：D．
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））△ 中， 边上的点 满足 ， ，点
在三角形内，满足 ，则 的值为（ ）A． B．3
C．6 D．12
【答案】C
【解析】 ，故 ,所以 ,由
是 的重心，所以 ,因此
故选：C．
考点三 巧建坐标
【例3】（2022·淄博模拟）如图在 中， ， 为 中点， ， ，
，则 （ ）
A．-15 B．-13 C．13 D．14
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
又 ， ， ，
则 ，
即 ，即 ，
则 ，
则 ， ，
则 ；
故答案为：C．
【一隅三反】
1．（2022·四川南充·三模（理））在 中， ， ， ， ，
，CN与BM交于点P，则 的值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】建立如图直角坐标系，则 ,
得 ,
所以 ，
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）如图，点 位于以 为直径的半圆上（含端点 ， ），
是边长为2的等边三角形，则 的取值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】BC
【解析】如图所示，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，， .
令 ，其中 ，则 ， ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：BC.
3．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知向量 满足 ，则可
能成立的结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A、B，由题意 ， ， ，设 ， ， ，
不妨设 ，如图，动点A在以原点为圆心2为半径的圆O上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足 ，
圆C方程是
当B在圆C上运动时，由 ，得 ，当且仅当O，A，B三点共线时取等号，又由图易
知 ，
即 ，故选项A不满足，选项B满足；
对于选项C、D，设 ，则 ，
由 ，解得 ， ，
又 即
，选项C，D满足.
故选：BCD
考点四 取值范围
【例4-1】（2022·天津市模拟）如图，在菱形ABCD中 ，E、F分别为BC、CD上的
点. ，点M在线段EF上，且满 ，则 ；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为 .
【答案】 ；
【解析】由题意得 ， ，
所以 ， 分别是以 ， 的一个三等分点， ， ，
设 ，则
，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ；
设 ， ， ， ，
所以 ，
，
所以
，因为 ， ，所以 ， ，
故答案为： ； ， ．
【例4-2】（2022·湖北模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．
在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿
望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形
的边长为4，中心为 ，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点（如图2）．若点 在四
个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以 原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示因为正方形 的边长为4，所以
，
设 的中点为 ，则 ，
是半圆 上的动点，设点 ，
， 的取值范围是
同理可知，当 在右侧圆弧上运动时，
， 的取值范围是
综上可知， 的取值范围是
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2022·浙江模拟）已知平面向量 、 、 、 ，满足 ， ， ， ，若
，则 的最大值是 .
【答案】【解析】因为 ，即 ，可得 ，
设 ， ，则 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 ， ，则 或 ，
因为 ，则 或 ，
令 ，则 或 ，
根据对称性，可只考虑 ，
由 ，
记点 、 、 ，则 ， ，
所以， ，
当且仅当点 为线段 与圆 的交点时，等号成立，
所以，
.故答案为： .
2．（2022·和平模拟）如图.在平面四边形 中， ，
；若点 为边 上的动点，则
的最小值为 .
【答案】2；
【解析】连接 ，因为 ，故 ，
在 中， ，
故 .
所以 ，所以 ，
所以 ，故 ，而 ，
所以 为等边三角形，故 且 ，
延长 交 的延长线于 ，则设 ，则 ，
故
，
，
其中 ，故当 时， 有最小值 .
故答案为： .
3．（2022·天津市模拟）在△ABC中， ， ， ， ，则
，若动点F在线段AC上，则 的最小值为 .
【答案】 ；-6
【解析】第一空： ，则 ，则 ，又
， ，故
，解得 ；
第二空：设 ， ，
，则
，当 时， 取得最小值-6.
故答案为： ；-6.
