文档内容
押北京卷 3 题
平面向量
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
垂直与平行 2019·北京卷13
纵观近几年的新高考试题，
高考中平面向量均是以小题的形式进行
分别考查了平面向量的基本
考查，难度较易或一般，可以预测2024
向量的模 2023·北京卷3 定理，平面向量的坐标运
年新高考命题方向将继续围绕平面向量
算，平面向量数量积与模的
数量积运算、坐标运算等展开命题.
运算.
数量积 2022·北京卷10
1．（2023·北京卷T3）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 .故选B
2.（2022·北京卷T10）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
3.（2019·北京卷T13）已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m= .
【答案】8.
【解析】向量
则 .
1.计算平面向量的数量积主要方法：
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a·b＝xx＋yy.
1 1 2 2 1 2 1 2
(3)活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积
3.向量的夹角
⃗a⋅ ⃗b x x +y y
cosθ= = 1 2 1 2
|⃗a|⋅| ⃗b| √x2 +y2 ⋅ √x2 +y2
1 1 2 2
4.向量的投影
⃗a⋅ ⃗b ⃗a⋅ ⃗b
⃗a在 ⃗b上的投影为|⃗a|⋅cosθ=|⃗a|⋅ =
|⃗a|⋅| ⃗b| | ⃗b|
⃗a⋅ ⃗b ⃗a⋅ ⃗b
⃗b在⃗a上的投影为| ⃗b|⋅cosθ=| ⃗b|⋅
=
|⃗a|⋅| ⃗b| |⃗a|
5.向量的平行关系
⃗a//⃗b⇔⃗a=λ⃗b⇔x y =x y
1 2 2 1
6.向量的垂直关系
⃗a⊥ ⃗b⇔⃗a⋅ ⃗b=0⇔x x +y y =0
1 2 1 2
7.求解平面向量模的方法
(1)利用公式|a|＝.(2)利用|a|＝.
1．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，所以 ，故选D．
2．已知平面向量 ， ，若向量 与 共线，则 （ ）
A．－2 B． C．2 D．5
【答案】B
【解析】因为向量 与 共线，所以 ，解得 ．故选B．
3．已知 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．2 B．8 C． D．【答案】B
【解析】由 与 的夹角为 ，可知 ，
则 .故选B.
4．向量 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， ，
，
所以 ，又 ，
所以 ，即 与 的夹角为 .
故选：B
5．已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，则 ，解出 .
故选：D.
6．已知向量 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于向量 ，
，故 ，则向量 与向量 的夹角为 ，
故选：C
7．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． 或 B．2或－1 C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ，
因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
当 时， ，
当 时， .
故选：A.
8．在 中，满足 ， ， ，则 （ ）
A．49 B．0 C．576 D．168
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 和 的夹角等于 ，
所以 ，
故选：A.
9．已知 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ，
故选：C．
10．已知向量 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
， .
故选：C.
11．已知向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A.
12．如图，在平行四边形 中， 为线段 的中点， ， ， ，则
（ ）A．20 B．22 C．24 D．25
【答案】B
【解析】由题意可得 ， ，
所以
因为 ， ， ，所以 ，
所以 .
故选：B
13．若向量 分别表示复数 ，则 = ．
【答案】
【解析】因为 ，又向量 分别表示复数 ，
所以 表示复数 ，
所以 .
14．已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 ．
【答案】
【解析】依题意： ，
所以 ，
15．设 是单位向量，若 ，则 与 的夹角为 .
【答案】
【解析】因 ，由 ，则 ，因 ，故 .
16．如图所示，点C在线段BD上，且BC=3CD，用 表示 ，则 = .
【答案】
【解析】依题意， ，
所以 .
17．设 ，向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】 /
【解析】由 ，则有 ，
即 ，
由 ，故 ，
故 ，即 .
18．已知向量 ， ，若 与 方向相反，则 ．
【答案】
【解析】由 与 方向相反，故存在 ，使 ，
即 ，解得 或 ，由 ，故 ，故 ， ，则 ，
.
19．已知正方形 的边长为2，点 满足 ，则 = ．
【答案】6
【解析】在正方形 中， ，且向量 的夹角为 ，
则有 ，
.
20．已知向量 ，向量 ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】因为向量 ，向量 ，
所以 ， ，
所以 ，当且仅当 与 同向时，等号成立．
