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易错点 07 平面向量
易错题【01】确定向量夹角时忽略向量的方向
在判断两向量的夹角大小时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误．特别要
注意在△ABC中， 的夹角不是角B，而是角B的补角， 夹角是角B。
易错题【02】不会通过建立坐标系把向量问题转化为代数问题
平面向量中有很多与平面几何交汇的问题，当所给平面图形为等腰三角形、直角三角形、
矩形、直角梯形时常通过建立坐标系，把平面向量问题转化为代数问题求解，特别是求平
面向量有关的最值与范围问题，常通过建立坐标系，转化为函数求最值，或利用基本不等
式求最值。另外若题中有互相垂直的单位向量，也可建立坐标系，利用向量的坐标运算把
向量问题转化为代数问题。
易错题【03】忽略向量共线致误
在解决两向量夹角问题时,一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角
⇔a·b>0且a,b不同向，特别提醒：不要忽略a,b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角
⇔a·b<0且a,b不反向，特别提醒：不要忽略a,b不反向。
易错题【04】对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理
解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共
线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条
件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本
定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λe ＋λe(λ,λ∈R,e,e 为同一平面内不共线的两个
1 1 2 2 1 2 1 2
向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果 e,e 是同一平面内的一组基底,且λe ＋
1 2 1 1
λe＝0(λ,λ∈R),那么λ＝λ＝0.
2 2 1 2 1 2
01
已知等边△ABC的边长为1,则BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝________.
_______.
【警示】本题出错主要原因是误以为向量AB、BC、CA间的夹角均为60°.得出BC·CA＝
CA·AB＝AB·BC＝的错误结论.【答案】
【问诊】BC与CA的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|BC|＝|CA|＝|
AB|＝1,所以BC·CA＝|BC||CA|cos 120°＝－.同理得CA·AB＝AB·BC＝－.故BC·CA＋CA·AB
＋AB·BC＝－.
【叮嘱】在判断两向量的夹角时,一定要注意向量的方向
1．(2022届陕西省西安高三上学期月考)已知 ， ， ，则
( )
A． B． C． D．
2. 在 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 ,则科网
等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (( ( )
A． B. C. D. ((((((((
02
(2020届山东卷T7)已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
【警示】本题主要失误原因是没有建立坐标系的意识，导致解题受阻。
【答案】A
【问诊】如图，建立平面直角坐标系 ，由题意知 ， ， ，
，设 ，则 ，∵ ，∴ ，
∴ 的取值范围是 ．【叮嘱】平面向量的坐标运算可把几何图形中的向量问题转化为代数问题求解。
(2022届重庆市九龙坡区高三上学期期中)已知 ， ， ，
，则 的取值范围( )
A． B．
C． D．
03
已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【警示】本题易错之处是误以为θ为锐角 cos θ>0，忽略共线的情况
【答案】
【问诊】∵θ为锐角,∴0
