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易错点 08 数列
易错题【01】利用 关系求 忽略
已知数列{a}的前n项和S,求通项a 与S 的关系中,a ＝S －S ,成立的条件是n≥2,求出的
n n n n n n n－1
a 中不一定包括a,而a 应由a＝S 求出,然后再检验a 是否在a 中,这是一个典型的易错点．
n 1 1 1 1 1 n
易错题【02】利用等比数列求和忽略 的情况
注意等比数列的求和公式是分段表示的： ，所以在利用等比数列求和
公式求和时要先判断公比是否可能为1，,若公比未知,则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错题【03】裂项求和剩余项出错
用裂项相消法求和时,裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩
下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩
余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项．
易错题【04】混淆数列与函数的区别
数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单
调性求解数列问题,要注意 的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。
01
(2021年高考全国乙卷理科)记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，
已知 ．
(1)证明：数列 是等差数列;
(2)求 的通项公式．
【警示】本题易错之处是在由 求 时忽略对 的讨论【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【问诊】(1)由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，所以 ,
由于 所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
, ,
当n=1时， (易错之处),
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ ．【叮嘱】 。
1.(2022届安徽省六安一中、阜阳一中、合肥八中等校高三上学期联考)数列 中的前n项
和 ，数列 的前n项和为 ，则 ( ).
A．190 B．192 C．180 D．182
【答案】B
【解析】当 时， ；当 时，
，
经检验 不满足上式，所以 ，
，则 ， .故选B.
2. 已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，其中 为常数.
(1)证明： ；
(2)是否存在实数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)证明：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
可得 .
又因为 ，可得 ，所以 ，故 .(2)由(1)知 ，当 时， ，
两式相减得 ，即
所以数列 从第二项起成等比数列，且公比 .
又由 ，即 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
若数列 是等比数列，则 ，可得 ，
经验证得 时，数列 满足 ，
所以当 时，数列 是等比数列.
02
【例4】求数列 的前n项和．
【警示】本题易错之处是忽略考虑 的情况
【答案】
【问诊】当 时,
；
当 时,由于 ,
[
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两式相减得=
.
所以
【叮嘱】利用等比数列前n项和公式求解数列问题，要注意判断公比是否可以为1
2．(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)等比数列 的前 项和为 ，若 ，
则 ( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；当 时，等比数列
前 项和公式 ，依题意
.故选A
2.(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期测试)已知数列 是公比为 的等比数列， 是
其前 和，若 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】当 时， ，符合题意；当 时， 恒
成立，当 时，不等式变形得， ，因为 ，此时符合题意；
当 时，不等式变形得， ，因为 ，此时符合题意；
当 时，若 为偶数，则不等式变形得， ，即 ，
若该不等式恒成立，则 ，即 ，所以设 ，
， ，
所以当 时， ，此时 ，
此时该不等式不可能恒成立；
当 时， ，若该不等式恒成立，只需 ，
解得 (舍去)或 ，综上， ；
若 为奇数，不等式变形得， ， 满足题意；
综上所述，实数 的取值范围是 ．
03
【例5】求和： ________．
【警示】本题错误解法是：
=
= .【问诊】错误原因是裂项相消后,忽略前面与后面各剩余2项．
正确解法是： =
= .
【叮嘱】裂项求和要注意相消后剩余哪些项，不熟练时可以多写几项，发现规律。
1．(2022届广东省仲元七校高三上学期11月月考)设数列 的前n项和
， ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项；
(2)数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和为 .
【解析】(1) ，当 时， ，当 时，
，∴
， ，
，由题知，
舍)或
，当n＝1时，也满足上式， ；
(2)由(1)知 ，∴
2. 在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中，并解答．已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ， 是 与 的等比中
项，______．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)选条件①．
设等差数列 的公差为 ，
则依题意得， ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 ；
选条件②．
设等差数列 的公差为 ，
则依题意得， ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
选条件③．因为 是 与 的等比中项，所以 ，
由 ，可得 ，
设等差数列 的公差为 ，
则依题意得， ，所以 ，得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
(2)
由(1)可得 ．
因为 ，所以 ，
.
04
已知 ,若数列 是递增数列,则 的取值范围是 .
【警示】本题易错之处是忽略正整数的不连续性，误用由二次函数的单调性，得出 ,
即 的错误结论。
【问诊】因为数列 是递增数列,所以 ,
所以 .
【叮嘱】求解数列问题可以利用函数性质，但要注意n是不连续的.1．(2022届山东省枣庄市滕州市高三上学期期中)已知数列 ， ，则下列说
法正确的是( )
A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是
C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是
【答案】B
【解析】令 ，则 ， 当 时， ，
当 时， ，由双勾函数的知识可得 在 上单调递增，在 上单调
递减所以当 即 时， 取得最大值，所以此数列的最大项是 ，最小项为 ，
故选B．
2. (2022届黑龙江省实验中学高三上学期月考)已知数列 的前 项和为 ，
，数列 满足 ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，若不等式 恒成立，求实数 的取
值范围．
【解析】(1)∵ ∴当 时， ，
当 时，由 ，得 ，
即 ， 数列 是公差为2的等差数列，由条件得 ，即数列 是公比为2的等比数
列，
；
(2)∵ ，则 ，
，
，
， 恒成立，
则 恒成立，
令 ，则 ，
，
，
，
故实数 的取值范围是 ﹒错
1．(2022届江苏省徐州市高三上学期期中)已知等比数列 的前 项和 ，数
列 的前 项和为 ，若数列 是等差数列，则非零实数 的值是( )
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为等比数列 的前 项和 ，则当 时，
，则 ，解得 ，
则 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，因为 是等差数列，则通项公式不能出现 次方
项，所以 ，解得 .故选C.
2．(2022届黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中)数列 的前 项和为 ，若 ，
，则( )
A．数列 是公比为2的等比数列 B．
C． 既无最大值也无最小值 D．【答案】D
【解析】由题意， 时， ，又 ，解得： ，
时， ，则 ，又 ，
所以数列 从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；
易得， ，则 ，B错误；
时， ， 时， ，而 是递减数列，
所以 时， .综上： 有最大值1.C错误；
时， ，满足题意； 时， ，于是，
.D正确.故选D.
3．(多选题)()若 是公比为 的等比数列，记 为 的前 项和，则下列说法
正确的是( )
A．若 ，则 为递减数列
B．若 ，则 为递增数列
C．若 ，则D．若 ，则 是等比数列
【答案】ABD
【解析】在等比数列中， ，
当 时，显然有 ，故数列为递减数列，故A正确；
当 ，显然有 ，故 为递增数列，故B正确；
若等比数列 满足 ，则 则 ，故C不正确；
设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，所以 是等比数列，
公比为 ，故D正确；故选ABD．
4．(多选题)(2022届江苏省新高考基地学校高三上学期联考)设数列 的前n项和为 ，
若 与 的等差中项为常数t( )，则( )
A．数列 是等比数列 B．
C．数列 是递增数列 D．当且仅当t<0时，数列{(n+1) }是递增
数列
【答案】ABD
【解析】 与 的等差中项为常数t( )， ，即 ，①
，② ① ②可得 ，
即 ，当 时， ，解得 ，A， 是以 为首项，公比为 的等比数列，故A正确；B， ，则 ，故B正确；
C， ，即 ，当 时，数列 是递减数列，故C错误；
D，令 ， ，当且仅当 ，则 ，
即 ， 当且仅当t<0时，数列{(n+1) }是递增数列，故D正确.故选ABD
5．(多选题)数列{a}的前n项和为S， ，则有( )
n n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n
【答案】ABD
【解析】依题意 ，当 时， ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
当 时， ；当 时， 符合上式，所以 .
，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.
故选ABD
6．(多选题)(2022届山东省聊城市高三上学期期中)已知等差数列 的公差为d，前n项
和为 ，若 ，则下列说法中正确的有( )
A．当 时，B．当 时， 取得最大值
C．当 时，
D．当 时，
【答案】AC
【解析】因为 ，所以 ，即 ，即
，所以 ，
所以 ，故A正确；
当 时， ，故C正确；
，当 时 时， 取得
最小值，当 时， 时， 取得最大值，故B错误；
， ，当 时， ，故D错误；
故选AC
7．(2022届上海市建平中学高三上学期月考)已知 ，满足对于任意的 ，
都有 ，设 ，若对于任意的 ， ，都有 成立，
则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵对于任意的 ，都有 ，∴函数 的对称
轴为 ，∴ ，∴,
对于任意的 ， ，都有 成立，
∴ ,解得 ，
即实数 的取值范围是
8.已知正项数列{a}的前n项和为S ，∀n∈N*,2S ＝a＋a.令b ＝，设{b}的前n项和为
n n n n n n
T，则在T，T，T，…，T 中有理数的个数为________．
n 1 2 3 100
【答案】9
【解析】∵2S＝a＋a，①
n n
∴2S ＝a＋a ，②
n＋1 n＋1
②－①，得2a ＝a＋a －a－a，
n＋1 n＋1 n
a－a－a －a＝0，(a ＋a)(a －a－1)＝0.
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
又∵{a}为正项数列，∴a －a－1＝0，
n n＋1 n
即a －a＝1.
n＋1 n
在2S＝a＋a 中，令n＝1，可得a＝1.
n n 1
∴数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数列．
n
∴a＝n，
n
∴b＝
n
＝
＝＝－，
∴T＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－，
n
要使T 为有理数，只需为有理数，
n
令n＋1＝t2，
∵1≤n≤100，
∴n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99，共9个数．
∴T，T，T，…，T 中有理数的个数为9.
1 2 3 100
9．(2022届四川省雅安市高三学业质量监测)已知数列 的前 项和是 ，且，等差数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)定义： 记 ，求数列 的前20项和 ．
【解析】(1)由题意，当 时， ．
两式相减，得 ，即 ．
是首项为3，公比为3的等比数列．
．
设数列 的公差为 ，
．
．
(2)由 ．
10．已知数列 的前 项和为 ， ， .
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 .
【解析】(1)当 时， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，
上述两式作差得 ，整理得 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 .
(2)由( )知 ，
所以 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 .
