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易错点 10 立体几何
易错题【01】确定点线面位置关系考虑不全面
确定空间中点线面位置关系,热点是线线、线面位置关系,空间中两直线位置关系的判定,主
要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利
用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,
往往利用线面垂直的性质来解决,确定位置关系时要考虑到所有可能,有时也可构造正方体等
模型,直观进行判断.
易错题【02】判断或证明线面平行忽略线在面外
判断或证明线面平行,可以利用线面平行的定义；也可以利用线面平行的判定定理,面面平行
的性质定理,在利用线面平行的判定定理判断或证明线面平行时一定要注意条件中是平面外
一条直线与平面内一条直线平行,才能推出平面外的该直线与平面平行,若仅有 , ∥ ,
推不出 ∥ ,因为b可能在 内.
易错题【03】证明垂直问题推理不严谨
在利用线面垂直的判定定理判断或证明线面垂直是要注意是一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直,尤其是“相交”这一条件不可缺少.
易错题【04】利用表面展开图求多面体表面上的最短距离考虑不全面
求多面体表面上的最短距离一般是把多面体表面展开成一个平面,利用平面上两点之间的最
短距离是连接两点的线段长,但是要注意展开图的所有可能情况,防止考虑不全面出错.
易错题【05】误认为两平面法向量的夹角就是二面角
设n,n 分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos
1 2
〈n,n〉|,二面角的平面角大小是向量n 与n 的夹角(或其补角)．所以不要认为向量n 与n
1 2 1 2 1 2
的夹角就是二面角,求解时要结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
01
已知A、B、C、D、E五点中,A、B、C、D共面,B、C、D、E共面,则A、B、C、D、E五
点一定共面吗？
【警示】本题错误解法是：因为A、B、C、D共面,所以点A在B、C、D所确定的平面内,
因为B、C、D、E共面,所以点E也在B、C、D所确定的平面内,所以点A、E都在B、C、
D所确定的平面内,即A、B、C、D、E五点一定共面．
【问诊】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件,实际上B、C、D三
点还可能共线．
【答案】(1)如果B、C、D三点不共线,则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面,所以点A在平面α内,因为B、C、D、E共面,所以点E在平面α内,所以点A、E都在平面α内,即
A、B、C、D、E五点一定共面．
(2)如果B、C、D三点共线于l,若A、E都在l上,则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上,则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上,则A、B、C、D、E五点可能不共面．
【叮嘱】在确定空间中点、线、面的位置关系时,如果对于条件所给的位置关系考虑不全面,
会出现遗漏情况,碰到此类问题要注意特殊情形,如点共线或点共面的情形,线共点的情形等.
1.(2021届陕西省渭南市高三质量检测)已知 是两条异面直线,直线 与 都垂直,则下列
说法正确的是( )
A．若 平面 ,则 B．若 平面 ,则
C．存在平面 ,使得 D．存在平面 ,使得
2．如图,在四面体ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,若AB与CD所成角的大
小为60°,则MN与CD所成角的大小为( )
A．30° B．60°
C．30°或60° D．15°或60°
02
如图,四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与
BE交于O点,G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.
【警示】本题错误解法是：证明 (1)连接EC,
∵AD∥BC,BC＝AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
【问诊】对于(1) 由FO∥AP证明AP∥平面BEF,没有指出FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,对于
(2) 由FH∥平面PAD.OH∥平面PAD,证明平面OHF∥平面PAD,没有指出FH∩OH＝H.
【答案】(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC＝AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
【叮嘱】证明线面平行常用线面平行的判定定理a α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α．
1.(2022届华大新高考联盟高三上学期质量测评)已知两条不同直线 和平面 ,下列判断
正确的是( )
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
2. (2022届北京市中央民族大学附属中学高三12月月考)如图,梯形ABCD所在的平面与等腰
梯形ABEF所在的平面互相垂直, , , ,
.
(1)求证： 平面BCE；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)线段CE上是否存在点G,使得 平面BCF？请说明理由.
03
在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中,E、F分别为DD 、DB的中点．求证：EF⊥BC.
1 1 1 1 1 1
【警示】本题错误解法是：∵AC⊥BD,又AC⊥DD,
1
∴AC⊥平面BDD ,∴EF⊥AC.
1
【问诊】推理论证不严谨,思路不清晰．
【答案】 ABCD－ABC D 为正方体⇒AB⊥面BCC B
1 1 1 1 1 1EF⊥BC.
1
【叮嘱】证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,根据线面平行、垂直关系的判定
⇒
和性质,进行相互之间的转化,证明线线垂直,分析问题时不能只局限在线上,要把相关的线归
结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上),通过证明线面的垂直达到
证明线线垂直的目的,但证明线面垂直又要借助于线线垂直,在不断的相互转化中达到最终目
的．解这类问题时要注意推理严谨,使用定理时找足条件,书写规范等．
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱 中,侧面 为正方形,
的
,E,F分别为 和 中点,D为棱 上的点．
(1)证明： ；
(2)当 为何值时,面 与面 所成的二面角的正弦值最小?
2.(2022届广西玉林市高三11月统考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,
PA=AB=2,PB= ,∠ABC=60°,且平面PAC⊥平面ABCD.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)若M是PC上一点,且BM⊥PC,求三棱锥M-BCD的体积.
04长方体的长、宽、高分别为3、2、1,从 到 沿长方体的表面的最短距离为________．
【警示】本题出错主要原因是只考虑一种可能
【问诊】根据题意,将长方体按照三种不同方式展开,如下图所示:
结合长方体的三种展开图,求得 的长分别是 ,所以最小值是 .
【叮嘱】求几何体表面上两点之间的最短距离一般要把几何体的侧面或表面展开,将问题转
化为平面图形中的距离问题,但要注意多于多面体来说,其展开方式可能有多种
1．在高为 的正三棱柱 中, 的边长为2, 为棱 的中点,若一只蚂蚁
从点 沿表面爬向点 ,则蚂蚁爬行的最短距离为( )
A．3 B． C． D．2
05
如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E
为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F－AB－P的余弦值．
【警示】本题错误解法是：(1)证明 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系如图,可得
B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)．由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)．
BE＝(0,1,1),DC＝(2,0,0),
故BE·DC＝0,所以BE⊥DC.
(2)解 BD＝(－1,2,0),
PB＝(1,0,－2)．
设n＝(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,
则即不妨令y＝1,
可得n＝(2,1,1)．
于是有cos〈n,BE〉＝＝＝,
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 .
(3)解 BC＝(1,2,0),CP＝(－2,－2,2),AC＝(2,2,0),AB＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上,设CF＝λCP,0≤λ≤1,
故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ,2－2λ,2λ)．
由BF⊥AC,得BF·AC＝0,
因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,解得λ＝,
即BF＝(－,,)．[9分]
设n＝(x,y,z)为平面FAB的一个法向量,
1
则 即
不妨令z＝1,可得n＝(0,－3,1)．
1
取平面ABP的法向量n＝(0,1,0),
2
则cos〈n,n〉＝＝＝－.
1 2
所以二面角F－AB－P的余弦值为－.
【问诊】忽略二面角为锐角
【答案】 (1)证明 依题意 ,以点 A 为原点建立空间直角 坐标 系如图 ,可得
B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)．由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)．
BE＝(0,1,1),DC＝(2,0,0),
故BE·DC＝0,所以BE⊥DC.
(2)解 BD＝(－1,2,0),
PB＝(1,0,－2)．
设n＝(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,
则即不妨令y＝1,
可得n＝(2,1,1)．
于是有cos〈n,BE〉＝＝＝,
所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)解 BC＝(1,2,0),CP＝(－2,－2,2),AC＝(2,2,0),AB＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上,设CF＝λCP,0≤λ≤1,
故BF＝BC＋CF＝BC＋λCP＝(1－2λ,2－2λ,2λ)．
由BF⊥AC,得BF·AC＝0,
因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,解得λ＝,
即BF＝(－,,)．[9分]
设n＝(x,y,z)为平面FAB的一个法向量,
1
则 即
不妨令z＝1,可得n＝(0,－3,1)．
1
取平面ABP的法向量n＝(0,1,0),
2
则cos〈n,n〉＝＝＝－.
1 2
易知,二面角F－AB－P是锐角,所以其余弦值为.
【叮嘱】利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向
量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点
的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
PABCD AB//CD
1. (2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,在四棱锥 中, ,
BAPCDP 90．(1)证明:平面PAB平面PAD;
(2)若 PA PD AB DC , APD90 ,求二面角 APBC 的余弦值．
2.如图所示的几何体是由棱台ABC－ABC 和棱锥D－AAC C拼接而成的组合体,其底面四
1 1 1 1 1
边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,BB⊥平面ABCD,BB=BC =1.
1 1 1 1
(1)求证：平面ABC⊥平面BBD；
1 1
(2)求二面角A-BD-C 的余弦值.
1 1
错
1．(2022届云南省三校高三联考)如图,在棱长为1的正方体 中,点 , ,
分别是棱 , , 的中点, 为线段 上的一个动点,平面 平面 ,则下列命题中
错误的是( )A．不存在点 ,使得 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．平面 截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面 截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
2．(2022届黑龙江省哈尔滨高三上学期期中)已知平面 , ,直线l,m,且有 , ,则正
确的命题是( )
A．若 ,则 B．若 ,则
C．若 ,则 D．若 ,则
3．(2022届云南省十五所名校高三11月联考)在立体几何探究课上,老师给每个小组分发了
一个正四面体的实物模型,同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线 平
面 ,直线 平面 ,F是棱BC上一动点,现有下列四个结论：
①若M,N分别为棱AC,BD的中点,则直线 平面 ；
②在棱BC上存在点F,使AF⊥平面 ；
③当F为棱BC的中点时,平面 平面 ；
④平面 与平面BCD所成锐二面角的正切值为 .
其中所有正确结论的编号是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线 平
面ABC的是( )A． B．
C． D．
5．(多选题)如图,已知正方体 的棱长为2,则下列结论错误的是( )
A．直线 与 为异面直线
B．直线 与平面 平行
C．将形状为正方体 的铁块磨制成一个球体零件,可能制作的最大零件的表
面积为
D．若矩形 是某圆柱的轴截面(过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面),则从 点出发
沿该圆柱的侧面到相对顶点 的最短距离是
6．(2021届内蒙古赤峰市高三大联考)正四棱柱 的外接球 的半径为2,当
该正四棱柱的侧面积最大时,一个质点从 出发移动到 ,则沿正四棱柱表面移动的最短距离与直接穿过球 内部移动的最短距离的比值是______.
7．(2022届浙江省杭州市高三上学期月考)如图,四棱锥 中, 是等边三角形,
底面 是直角梯形, , , , 分别是
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
8．(2022届陕西省宝鸡市高三上学期11月质量检测)如图,在四棱锥 中,底面
为菱形, 平面 , , 为 的中点, 为 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ,求二面角 的余弦值．
9．(2021届陕西省渭南市高三质量检测)如图,在三棱锥 中,平面 平面 ,
, ,
, , 分别为线段 , 上的点,且 , , .(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为 ,求平面 与平面 所成的二面角的大小.
