易错点 02 函数的性质
易错题【01】不理解函数概念
在函数f：A→B中 都是非空数集,且满足两允许,两不允许：允许B中有剩余元素,不允许
A中有剩余元素；允许多对一,不允许一对多.
易错题【02】研究函数单调性忽略定义域
研究函数的单调性切记定义域优先,分式形式的函数要保证分母不为零,对数型函数要保证底
数大于零且不等于1,真数大于零.
易错题【03】研究函数奇偶性与单调性忽略其等价形式的应用
1.注意与函数奇偶性有关的几个结论：
(1) 是偶函数x−1≤x−1 ；
(2) 是奇函数 ；
(3)若函数 在 处有意义,则 ；
(4) 是偶函数,则 , 是偶函数,则 .
2. 增函数与减函数的等价形式
(1) 若 , 且 ,
在 上是增函数；
在 上是减函数.
(2)若 ,且 ,则 是增函数.
易错题【04】不会利用对称性与奇偶性推导函数的周期性
(1)函数x n+[ x a n ]满足xn+1=[ xn+ 2 [ x a n ] ](= xn+[x 2 a n ]−1 >¿¿),若 xn+x 2 a n −2 ≥2√a 2 −2为奇函数,则其周期为=√a−1 ,若x n+[ x a n ]为偶函数,则其周期为xn+1=[ xn+ 2 [x a n ] ].
(2)函数=
xn+
2
[x a
n
]
>¿¿ 的图象关于直线=√a−1和 都对称,则函数[
xk+
2
[x a
k
]
]−xk≥0是以
xk+ 2 [x a k ] −xk≥0为周期的周期函数；函数[ x a k ]≥x k x a k 的图象关于两点 ¿[ x a k ]≥x k、 x k ≤√a
√a−1<x≤√a
k 都对称,则函数 是以 为周期的周期函数；函数 的图
象关于 和直线 都对称,则函数 是以 为周期的周期函数.
01
下列四个图像中,是函数图像的是( )
A．(1)(2) B．(1)(2)(3) C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)
【警示】本题出错的主要原因不明白函数不允许一对多.
【答案】C
【问诊】根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值,或者多个自变量值对应唯一一
个函数值,显然只有(2)不满足.故选C.
【叮嘱】注意区分函数图象与曲线的区别,曲线可以是一对多,但函数不允许一对多.
1.函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数( )
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
2. 下列四个图像中,不是函数图像的是( )A． B．
C． D．
02
(2022湖北省武汉市高三上学期月考)函数 在区间 上单调递增,则实
数 的取值范围为( )．
A． B．
C． D．
【警示】本题出错注意原因是忽略在 上 .
【答案】C
【问诊】设 ,可得 ,则 是减函数,
要使得函数 为 上的增函数,只需 为减函数,且满足
对于 恒成立,所以 ,解得： ,所以实数 的取值范围为 ,故选C.
【叮嘱】研究形如 的单调性一定要注意 .
1.函数 的单调递增区间为____________．
2.(2022届安徽省安庆市重点高中高三上学期月考)函数 在 单调
递增,求a的取值范围( )
A． B． C． D．
03
(2015新课标全国卷1)若函数 为偶函数,则 =
【警示】本题失分注意原因是不知道用 求a的值,直接利用定义又不知道
分子有理化.
【答案】1
【解析】因为 是偶函数,所以 =
,所以 .
【叮嘱】研究函数的奇偶性与单调性要注意等价形式的应用.
1．(2022届陕西省西安高三上学期期中)已知函数 ( ,
),且 ,则 ( )
A． B．2 C．1 D．
2．(2022届北京市通州区高三上学期期中)已知函数 的定义域为 , ,是偶函数, ,有 ,则( )
A． B． C． D．
04
(202全国卷甲卷理数12)设函数 的定义域为 , 为奇函数, 为偶函数,当
, 时, ．若 (3) ,则
A． B． C． D．
【警示】不会利对称性推导周期性是本题失分的主要原因
【答案】D
【问诊】 为奇函数, ,且 ,
偶函数, ,
,即 ,
．
令 ,则 ,
, ．
当 , 时, ．
(2) ,
,
又 (3) , ,解得 ,
, ,
当 , 时, ,
．故选 ．
【叮嘱】掌握由对称性推导周期性的结论
1．(2022届江西省赣州市十七校高三上学期期中联考)已如 的图像关于点对称,且对 ,都有 成立,当 时, ,则
( )
A． B．2 C．0 D．
2.(多选题)(2022届山东师范大学附属中学高三上学期月考)定义在 的奇函数 满足
,当 时 ,则以下结论正确的有( )
A． 的周期为6 B． 的图象关于 对称
C． D． 的图象关于 对称
错
1．(2022北京市朝阳区高三上学期期中届)若函数 为奇函数,则实数
( ).
A． B． C．0 D．1
2．(2022届广东省深圳实验学校、湖南省长沙市第一中学高三上学期联考)已知函数
,若不等式 在 上有解,则实数a的取值范围是(
)
A． B． C． D．
3．已知偶函数 的图象经过点 ,且当 时,不等式 恒
成立,则使得 成立的 取值范围为( )A． B． C． D．
4．(2022届新疆克拉玛依市高三第三次模拟)已知定义在R上的奇函数 满足
,当 时, ,若函数 的所有零点为
,当 时, ( )
A．20 B．24 C．28 D．36
5．(2022届重庆市涪陵实验中学校高三上学期期中)已知 的图象关于点 对
称,且对 ,都有 成立,当 时, ,则 ( )
A． B． C．0 D．2
6．(2022届吉林省长春市重点高中高三上学期月考)已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(－∞,a)
单调递减,则a的取值范围是( )
A．(－∞,－1] B．(－∞,2] C．[5,＋∞) D．[3,＋∞)
7．(多选题)(2022届决胜新高考名校交流高三联考卷) 是定义在 上的偶函数,对
,均有 ,当 时, ,则下列结论正确的是( )
A．函数 的一个周期为 B．
C．当 时, D．函数 在 内有 个零点
8．(2022届广东省普通高中高三上学期11月阶段性检测)已知定义在 上的函数 满足
,且 ,则( )
A． 为奇函数 B． 的图象关于 对称C． 为偶函数 D． 是周期为4的函数
9．函数 满足对任意 ,都有 成立,则 的
取值范围是____________．
