易错点16常用逻辑用语与复数-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

易错点 16 常用逻辑用语与复数 易错题【01】全称命题与特称命题否定出错 1.含有全称量词的命题叫做全称命题.符号表示: . 全称命题 x∈M,p(x)为真的含义是:对M中的每一个个体x,都具有或满足性质p(x),毫无例外. 含有特称量词的命题叫做特称命题.符号表示: 特称命题 x∈M,p(x)为真的含义:在M的个体中,至少有一个x 具有或满足性质p(x),而不是 0 0 0 0 所有的个体都不具有性质p(x). 3.对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词． ②对原命题的结论进行否定． 特 别 要 注 意 “ 对 ” 的 否 定 是 “ ” , 不 是 “ ”. 易错题【02】混淆“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q” 1.充分条件与必要条件的理解 充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之 必成立,无之未必不成立”. 必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立” 2.集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、 必要条件又可以叙述为 (1)若A B,则p是q的充分条件； (2)若A B,则p是q的必要条件； (3)若A＝B,则p是q的充要条件； (4)若A B,则p是q的充分不必要条件； (5)若A B,则p是q的必要不充分条件； (6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件． 3.判断充分条件、必要条件的注意点 (1)明确条件与结论. (2)判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题. (3)可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.4.一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别： ①p是q的充分条件,②p的充分条件是q. ①中是 ，②中是 易错题【03】对纯虚数的条件不明晰 1.复数的分类： 满足条件(a,b为实数) a＋bi为实数⇔b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 2.正确理解复数的概念,不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数,也不 要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a,b∈R),z为纯虚数⇔z为实数⇔b ＝0. 3.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把 复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部． 易错题【04】对复数运算法则理解不到位 1.复数的运算法则：设z＝a＋bi,z＝c＋di,a,b,c,d∈R 1 2 复数的代数运算多用于次数较低的运算,但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的 灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0,ω3＝1,其中ω＝－±i；(4)in＋in＋1＋ in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等． 2.在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当 z∈C时,不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m,n为分数)；(2)若zm＝zn,则m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0, 则z＝z＝0；(4) 1 2 3.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类 项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成 最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的 形式,再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为 a＋ bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答． (5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘 除,后算加减,有括号要先算括号里面的． 01 命题“对 , ”的否定为 . 【警示】本题常见错误是误认为命题“对 , ”的否定为“对 ” 【问诊】全称命题“对 ”的否定是“ ”,不是“ ”. 【答案】命题“对 , ”的否定为“ ” 【叮嘱】对全(特)称命题进行否定的方法：改变量词，并对原命题的结论进行否定． 1．(2022届云南省昭通市高三上学期开学考试)已知命题 ，则 是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 是 ，故选B 2.(2022届山东省潍坊市高三上学期抽测)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )A．所有奇数的立方都不是奇数 B．存在一个奇数，它的立方是偶数 C．不存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数 【答案】B 【解析】由于命题“所有奇数的立方是奇数”是一个全称命题，所以命题“所有奇数的立 方是奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方是偶数”.故选B 02 【例12】 的一个充分不必要条件是() A. B. C. D. 【警示】没有弄清谁是条件,谁是结论，误选C 【问诊】选项是 的充分不必要条件 【答案】B 【叮嘱】p是q的充分条件 ,p的充分条件是q . 1. (2022届河北省金科大联考高三上学期12月质量检测)已知“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得 ，解的 ，而当 时，“ ”是 ”的充要条件，所以 ，故选C. 2.关于 的不等式 对 恒成立的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． 或 D． 或 【答案】A【解析】关于 的不等式 对 恒成立，则 ，根 据题意知，选项能推出题干，题干推不出选项，故题干的范围是选项范围的子集，只有A 选项符合题意.故选A. 03 a  若复数 是纯虚数,则实数 ( ) 1 1 0 1 A. B. C. D. 【警示】本题常见错误解法是：由复数 是纯虚数,得 ,解得： ,故选A． 【问诊】忽略 . 【答案】B 【叮嘱】复数 为纯虚数的充要条件是 . 1. 设复数 (其中a， ，i为虚数单位)，则“ ”是“z为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由复数 ，当 时，复数 为纯虚数，所以充分性 不成立；反之：若复数 为纯虚数，则 成立，所以必要性成立，所以“ ”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B. 2. 已知 ， ( 为虚数单位)是纯虚数，则a，b应满足( ) A．b=-2a B．b=a C．ab=1 D．ab=0 【答案】A【解析】 ，因为 ( 为虚数单位)是纯虚数，所以 ，且b-2a≠0，解得：b=-2a.故选A. 04 (2021年高考全国甲卷理科)已知 ，则 ( ) . A B． C． D． 【警示】本题常见错误有：(1)误认为 ，(2)分母实数化是分子分母同时乘以分母的共 轭复数，不是同乘以分母。 【答案】B 【问诊】 ， ． 故选B． 【叮嘱】注意一些常见的结论，如 等。 .1．(2021年高考全国乙卷理科)设 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，则 ，则 ， 所以， ，解得 ，因此， ．故选C． 2.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设有下面四个命题 1 R p 1:若复数z满足 z ,则zR; p 2:若复数z满足z2R ,则zR;p z ,z z z R z  z p 3:若复数 1 2满足 1 2 ,则 1 2 ; 4:若复数zR,则zR． 其中的真命题为 ( ) p ,p p ,p p ,p p , p A． 1 3 B． 1 4 C． 2 3 D． 2 4 【答案】B 1 1 abi   R 【解析】令 z abi(a,bR) ,则由 z abi a2 b2 得 b0 ,所以zR, p 1正 确; z i z2 i2 1R iR p 当 时,因为 ,而 知, 2不正确; z  z i,z z 1R p 由 1 2 1 2 知 3不正确; p p 对于 4,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 4正确,故选B． 错 1．命题“ ， ”是真命题的一个必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】命题“ ， ”是真命题，则 ，因此，命题“ ， ”是真命题的一个必要不充分条件是 .故选A. 2．(2022届湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟高三上学期11月联考)已知命题： ， 则( ) A．该命题为假命题，其否定是 ， B．该命题为假命题，其否定是 ， C．该命题为真命题，其否定是 ， D．该命题为真命题，其否定是 ， 【答案】C 【解析】∵函数 的值域为 ，∴ ， ，故该命题是真命题， 其否定是 ， .故选C.3．(2022届广西南宁市高三12月月考)若 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ，所以 ，故选D 4．(2022届河北省沧州市高三上学期12月质量监测)已知 ， 是复数，则“ ”是 “ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设 ， ,当 ，即 时， ， ，所以 ，取 ， ， , ,则满足 ，但显然不满足 ，所以“ ”是“ ”的充 分不必要条件，故选A 5．(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期第三次模考)已知 ，i为虚数单位，则“ ”是“复数 是纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若复数 是纯虚数，则 ；若 ，则 是实数， 所以“ ”是“复数 是纯虚数”的必要不充分条件．故选B.6．(多选题)(2022届福建省厦门高三12月月考)函数 ，对于任意 ，当 时，都有 成立的必要不充分条件是( ) A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据题意，当 ，都有 成立时，函数 在定义域内为单 调减函数.所以 解得 ，反之也成立 即 是 时，都有 成立的充要条件 所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间 ，故选项CD正确. 故选CD. 7．(2022届山东省枣庄市高三上学期期中)下列说法正确的是( ) A．“ ， ”的否定形式是“ ， ” B．“ ”的一个充分不必要条件是“ ” C．两个非零向量 ， ，“ ，且 ”是“ ”的充分不必要条件 D． ， 【答案】BD 【解析】A，“ ， ”的否定形式是“ ， ”，错误； B，当“ ” 时，可得“ ”；反之，“ ”，则 或 ，所以“ ”的一个充分不必要条件是“ ”，正确；C，“ ，且 ”，可得“ 或 ”，反之，“ ”，则“ ，且 ”， 所以“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件，错误；D， ， ，正确.故选BD 8．已知实数a满足， (i为虚数单位)，复数 ，则( ) A．z为纯虚数 B． 为虚数 C． D． 【答案】ACD 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， ，所以 为纯虚数，故A正确； 为实数，故B不正确； ，故C正确； ，故D正确，故选ACD. 9．(2022届天津市部分区高三上学期期中)若命题 ， ，则 的否定为 ___________. 【答案】 ， 【解析】命题 为特称命题，该命题的否定为“ ， ”. 10．复数 在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为 ，又在复平面上对应的点位于第一象限，所以 .