文档内容
秘籍 07 函数性质
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
【题型三】 轴对称
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【题型五】 画图：类周期函数
【题型六】 恒成立和存在型问题
【题型七】 嵌套函数
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 函数图像的画法与零点问题
函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称
轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代
数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟
练于心，才能保证做题的速度与准确度。
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
若 f (x) 都可以唯一表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数 h(x) 之和，当 h(x) m 时，则 f (x) 关于
点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数 g(x) 向上平移了 m 个单位，即 f (x) f (x) 2 f (0) 2m ；
当 h(x) m 时， 则有 f (x) f (x) 2h(x) ．
推论 若 f (x) g(x) m ，则f (x) max ＋ f (x) min 2 f (0) 2m ．例（1）已知f (x)= ，则 ．
（2）已知f (x)= ，则 ．
（3）已知函数 ，则 ．
（4）已知函数 ，则 ．
注意 辨别奇函数 g(x) 和常数项 m 后直接用 f (x) f (x) 2 f (0) 2m 来破解．
变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于函数 有， ，则函数 关于直线 对称，
由 ，则函数 关于点 对称，
所以 ，所以得 ，
则 ，故函数 的周期为 ，且 ，故函数 为偶函数，
因为函数 在区间 上单调递增，则函数 的大致图象如下图：
由对称性可得 ，
所以 ，故A不正确；
由于 ， ，所以 ，故B正确；
又 ， ，所以
，故C正确；
，且 ，因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
变式2：（2024·广西·二模）已知定义在 上的函数 满足 .若 的图象
关于点 对称，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的周期为2
D．
【答案】ABD
【详解】对A，因为 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称，
故 的图象关于点 对称，故A正确；
对B， ，
，
又 ，故 .
即 ，故 的图象关于直线 对称，故B正确；
对C，由A， ，且 ，
又因为 ，故 ，
即 ，故 ，即 .
由B， ，故 ，故 的周期为4，故C错误；
对D，由 ， 的图象关于点 对称，且定义域为R，则 ， ，
又 ，代入 可得 ，则 ，
又 ，故 ， ， ，
，
又 的周期为4， .
则
.
即 ，则 ，故D正确.
故选：ABD
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
中心对称的数学语言：
若 满足 ，则 关于 中心对称
三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。
【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，若 ，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【详解】由条件知 ，令 ，
则 ，
易知 ，即 为奇函数，
又 ，
易知 在 时单调递减，
由复合函数的单调性及奇函数的性质得 在R上单调递减，
对于 ，
所以 .故答案为： .
【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，那么（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【答案】BC
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
因为 ，
即 ，所以 为奇函数，
所以 为非奇非偶函数，A错误；
，所以 为奇函数，B正确；
，所以 是奇函数，C正确；
令 ， ， 为偶函数，D错误.
故选：BC．
【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意
非零实数 ，函数 满足： ，且 在 上单调
递减， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 在定义域内单调递减 D． 为奇函数
【答案】BC
【详解】对于 ，令 ，则 ，
因 ，故得 ，故A正确；
对于 由 ，
令 ，则 ，
则 ，即 ，故 是以 为首项，2为公比的等比数列，
于是 ，故B错误；
对于 ，由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，则 ①，
把 都取成 ，可得 ②，
将②式代入①式，可得 ，
化简可得 即 为奇函数，故D正确；
对于C， 在 上单调递减，函数为奇函数，可得 在 上单调递减，
但是不能判断 在定义域上的单调性，例如 ，故C错误.
故选：BC.
【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递
减，若方程 在 上有实数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
A．28 B．16 C．20 D．12
【答案】A
【详解】由 知函数 的图象关于直线 对称，
∵ ， 是R上的奇函数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周期为4，
考虑 的一个周期，例如 ，
由 在 上是减函数知 在 上是增函数，
在 上是减函数， 在 上是增函数，
对于奇函数 有 ， ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
因为方程 在 上有实数根，
函数 在 上是单调函数，则这实数根是唯一的，
所以方程 在 上有唯一的实数根，
则由于 ，函数 的图象关于直线 对称，
故方程 在 上有唯一实数根，
因为在 和 上 ，
则方程 在 和 上没有实数根，
从而方程 在一个周期内有且仅有两个实数根，
当 ，方程 的两实数根之和为 ，
当 ，方程 的所有4个实数根之和为
.
故选：A.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知： 的定义域为R，关于原点对称，
且 ，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
当 时， ，所以 ，排除D；
当 时， ，所以 ，排除C．
故选：B．
【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
在 中任取一个实数 ，都有 ，并且 .
因此， 是奇函数.
（2） 等价于 即 在 上有解.
记 ，因为 在 上为严格减函数，
所以， ， ，
故 的值域为 ，因此，实数 的取值范围为 .
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。
2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它
与坐标轴交点，或则别的合适的点
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的图像关于点 中心对称．
（当且仅当
时等号成立）．因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增．
由 ，得 ．
由 可得 ，即 ，
所以 ，解得 ．
故选：D．
【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 满足 ， ，当
时， ，则函数 在 内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】根据题意，函数 的周期为8，图象关于点 对称，
又 ，
所以函数 的图象也关于点 对称，
由 ， ，
， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
在同一个坐标系中，作出函数 与 的图象，如图，
由图可得，函数 与 在 上有两个交点，
因为函数 与 图象均关于点 对称，
所以函数 与 在 上有两个交点，又 ，
所以函数 在 内的零点个数为5.
故选：C.【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C．不等式 无解 D． 的最大值为
【答案】BD
【详解】对于选项A: 不是 的周期，故A错误;
对于选项B: 关于 对称，故B正确；
对于选项C: 有解，故C错误；
对于选项D: ，若 ，则 ，
若 则 ，
当且仅当 ，即 时，原式取等，故D正确.
故选:BD.
【变式2】（2024·河南·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .且
， ，当 ， ，则 .（用数字
作
答）
【答案】1012
【详解】由 可得 ，即 ①
又由 可得 ，即 ，从而 ，
故 ( 是常数)，因当 时 ，则 ,即得 ②，
由② 可得 ，又由① 得 ，即 ，故函数 为周
期函数，周期为4.
由 ， 可知 ，因 是R上的奇函数， ,则由 可得
，
， ，
则 ，于是故答案为：1012.
【题型三】 轴对称
数学语言：
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特
别地当 时，函数 关于直线 对称；
2.如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.
3. 与 关于直线 对称。
常见的偶函数：
【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且
为偶函数，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． D．
【答案】BCD
【详解】令 ， ，则有 ， 故 ，即 ，
令 ， 则 ，
即 恒成立，故 ，
又函数 的定义域为 ，故 为奇函数，故B正确；
则 ，又 为偶函数，
故 ，则 ，故A错误； ，故C正确；
，则 ，故函数 的周期为 ，
，则 ，故D正确.
故选：BCD.
【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时，恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 恒成立，
即当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 为偶函数，即 ，所以函数 关于 对称，
则函数 在 上单调递减，
所以
因为 ，所以
所以 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
【例3】（2024·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数.若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 为奇函数，得 ，
得 的图象关于点 对称，所以 .
又因为 是定义域为 的偶函数，所以 ， ，
所以 的周期为4，
所以
.
故选：A.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且
，则下列结论错误的是（ ）A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 是奇函数
【答案】C
【详解】由 ，所以
又 ，所以 ，且 ，
所以 ，故A正确
由A可得， ，所以 的图象关于直线 对称，故B正确
由A可得， 是周期为8的函数， ，
又由 ，得 ，所以 ，故C错误
对于D，由 的图象关于点 对称，
所以 的图象关于原点对称，故D正确，
故选：C.
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数，且 ，当
时， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为2 D．
【答案】ABD
【详解】对A：因为 为偶函数，则 ，
即 ，所以 是奇函数，
所以 的图象关于点 对称，故A正确；
对B：因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对C：因为 ， ，
则 ，则 ，
所以 的最小正周期为 ，故C错误；
对D：因为当 时， ，所以 ， ，
因为 的图象既关于点 对称，又关于直线 对称，
所以 ， ，
因为 的最小正周期为4，
所以 ，所以 ，所以
，故D正确．
故选：ABD．
【变式3】（多选）（2024·河北邢台·一模）已知函数 和函数 的定义域均为 ，若 的
图象关于直线 对称， ， ，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C．若 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为
D．
【答案】AD
【详解】由 的图象关于直线 对称,可知 即 所
以 图象关于 轴对称,故A正确.
由 可得 又 ,
所以 可知 的图象关于 对称，
所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，
则 故B错误.
当 时,
又因为
所以
即 在区间 上的解析式为 故C错误.
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .故D正确.
故选：AD.
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
【例1】（2023·浙江·一模）设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，当
时， ，则 .
【答案】
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，
则 ， ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，也关于点 对称，
所以， ， ，
所以， ，则 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
当 时， ，则 ， ， ，
， ， ，
， ，
所以， ，
又因为 ，所以， .
故答案为： .
【例2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 满足 ， .则
.
【答案】 .
【详解】由函数 满足 ，
取 ，可得 ，
令 ，可得 ，
即
则.
故答案为： .
【例3】（多选）（2023·江西·模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶
函数，当 时， ．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由 为奇函数，
得 关于 对称，且满足 ；
由 为偶函数，
得 关于直线 对称，且满足 .
故 ，
所以 是周期函数，且周期 .
对选项A，由 ，
令 ，解得 ，故A错误；
对选项B，已知当 时， ，
则 ，
故当 时， .
则 ，故B错误；
对选项C， ， ，
， ，且 周期 .
则 ，故C正确．
对选项D，
，故D正确．
故选：CD．
【变式1】（多选）（2024·吉林白山·二模）已知函数 的定义域为 ，其图象关于 中心对称，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 的图象关于 中心对称，则 ,故A正确；
由 ，可得 ，则 ，取 得
，
在 中取 可得 ，则 ，
由 ，得 ，故B错误；
由 ，得
① ②，
②-①得 ，又 ，故C
正确；
又由① ，故D正确.
故选：ACD.
【变式2】（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为
，且 ， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
【答案】ACD
【详解】由 ，得 ①，
②，得 ③，
由①②③，得 ，所以函数 图象关于直线 对称，故A正确；
由 ，得 ，令 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ④，
又 ⑤，令 ，得 ，故B错误；
④⑤两式相加，得 ，得 ，所以 ，即函数 的周期为4，故C正确；
由 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 的图象关于点 对称，
，且当 时， ．若 ，则实数m的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 的图象关于点 对称可得 ．
由 ，可得 ，
故函数 的图象关于直线 对称，
且 ，得 的周期为2．
当 时， ，
单调递增，且 ，则 ， ，
画出 在一个周期内的大致图象如图所示：
当 时，结合图象可得 ，即 ．
故实数m的取值范围为 ．
故选：A.
【题型五】 画图：类周期函数
基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【例1】定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，
则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数”
B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间
[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【答案】AD
【详解】A．设一次函数为 ，则 ，其中 ，
A
正确；
B．设二次函数为 （ ），
，
若 是“k距周期函数”，则 ，则 ，不满足新定义，B错误；
C．设 ，则 是“1距周期函数”，且类周期为1， ，C错；
D．设 ，则 ，即 ，
则 ，D正确．
故选：AD．
【变式1】定义“函数 是 上的 级类周期函数” 如下: 函数 ，对于给定的非零常
数 ，总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实数 都有 恒成立，此时 为
的周期. 若 是 上的 级类周期函数，且 ，当 时， ,且 是
上的单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 时, ，
∴当 时, ；当 时, ，
即 时, ，
∵ 在 上单调递增，
∴ 且 ，
解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
故选：C.
【变式2】（多选）（2023·山东济南·模拟预测）已知函数 定义域为R，满足 ，当
时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，
， ，(其中 表示不超过 的最大整数)，则（ ）
A． 是偶函数 B． C． D．
【答案】BC
【详解】函数 ，显然 ，而 ，即 ，因此 不
是偶函数，A错误；
函数 定义域为 ，满足 ，当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
当 时， ， ，
当 时， ，
，
因此当 时，函数 在 上递减，
在 上递增，当 时， 取得最大值 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
当 时， ， ，
因此当 时，函数 ，
在同一坐标平面内作出函数 的部分图象，如图，
当 时，函数 的图象有唯一公共点 ，
因为 ，因此 ， ，而满足 的整数有 个，即
，B正确；
显然 ，
所以 ，C正确；
，数列 是首项为 ，公比为 的
等比数列，
所以 ，D错误.
故选：BC
【题型六】 恒成立和存在型问题
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；【例1】（2024·上海黄浦·二模）设函数 ，若 恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 恒成立，即 恒成立，
当 时，上式成立；
当 ， ，明显函数 在 上单调递增，
所以 ，所以 ；
当 时， 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
又 开口向下，对称轴为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 ，
综上：实数a的取值范围是 .
故选：D.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 对任意 恒有 ，且当
时， ．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】法一：令 ，得 ，所以 ；
令 ，则有 ，即 ，则 ，
故 是定义在 上的奇函数．设 ，则 ，又当 时， ，
则有 ，即 ，
则 ，故 在 上单调递增．
所以当 时， ．
又因为存在 ，使得 成立，
所以 ，解得 ．故选D．
法二：令 ，则 ．因为 ，
当 时， ，所以 ，即函数 在 上单调递增．
因为存在 ，使得 成立，
所以 为 在区间 上的最大值．
因为 在 上单调递增， ，所以 ，
所以 ．解得 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：D．
【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
又因为函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， .
综上可得函数 的最小值为 .
因为 ，使得 成立，
所以 ，解得： 或 .
故选：C.【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足：对任意x， ，
恒成立，且 ，则（ ）
A．函数 的图象过点
B．函数 的图象关于原点对称
C． 的图象关于点 对称
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，令 ，则 ，因为 ，所以 ，故
A正确；
对于B，用 代替y，得 ，
又 ，整理得 ，所以 为偶函数，且 ，故B不正确；
对于C，用 代替x， 代替y，得 ．
又 ，所以 ，即 ，
进一步可得 ．
又 ， ，故 ，
所以 ，由此规律可得
．
用2x代替x，0代替y，得 ①．
代替x，0代替y，得 ②，
由①+②得 ．
又 为偶函数，所以 ，
所以函数 的图象关于点 对称，故C正确；对于D，由对C选项的分析知， ，故D正确，
故选：ACD．
【变式2】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为 的函数 ，其图象是连续的曲线，且存在定义
域也为 的导函数 .
(1)求函数 在点 的切线方程；
(2)已知 ，当 与 满足什么条件时，存在非零实数 ，对任意的实数 使得
恒成立？
(3)若函数 是奇函数，且满足 .试判断 对任意的实数 是否
恒成立，请说明理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)恒成立，理由见解析
【详解】（1）由题可知， ，
所以切线的斜率为 ，
且 ，
所以函数在点 的切线方程为 ，即 ；
（2）由题可知 ，
又因为定义域上对任意的实数 满足 ，
所以 ，即 ，
当 且 时， ，
当 时， ，
当 时， ；
（3）因为函数 在定义域 上是奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是偶函数，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是周期为 的函数，
所以 ，
所以 .【变式3】（21-22高三上·全国·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，使得 能成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【详解】（1）依题意，得 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ；
综上，不等式 的解集为 或 ．
（2）依题意， ，
又 ，故 ，
令 ， ，
结合 的图象知， ，故 ，
∴m的取值范围为 ．
【题型七】 嵌套函数
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调
用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．
一 嵌套函数解析式问题的解题方法：
换元法：将被嵌套的部分换为一个主元t，即求出 y f (t)解析式，属于通法．
待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可．
二 不动点与稳定点不动点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f (x) x 的解 x 称为函数f (x)的不动点，即 y f (x)与y
x图象交点的横坐标．
例如：函数f (x) 2x 1有一个不动点为1，函数 的不动点．有两个不动点 ，1．
稳定点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f [ f (x)] x的解x称为函数f (x)的稳定点，即y f [ f (x)]
与y x 图象交点的横坐标。很显然，若 为函数 y f (x) 的不动点，则 必为函数 y f (x) 的稳定
点．
证明：因为f ( ) ，所以f ( f ( )) f ( ) ，故 也是函数 y f (x) 的稳定点．
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，
若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ， ，
令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，当 趋近于 时， 趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数 的图象如图所示．
令 ，则 ，数形结合可知要使 有6个零点，
则 有两个不相等的实数根 、 ，不妨令 ，有如下两种情况：
若 ，但 ，故排除此种情况，
若 ，对于二次函数 开口向上，又 ，则 ，得 ，综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A
【例2】（2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点
定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续
函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称 为“不动点”函数．若 存在 个点
，满足 ，则称 为“ 型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，令 ，即 ．
因为 满足 ，所以 在区间 上单调递增，
所以 不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令 ，即 ．
易判断 在区间 上单调递增，
所以 不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由 ，得 ，
易知当 时， 单调递减，且 ，所以当 时， 的图象与直线
有且只有一个交点；
当 时， 单调递减，且 ；
当 时， 单调递增．令 ，得 ，解得 ，此时 ，所以
直线 与曲线 相切于点 ．
所以直线 与曲线 共有两个交点，所以 为“2型不动点”函数，故C错误；对于D， ，作出 的图象，如图所示．易知其与直线 有且只
有三个不同的交点，
即 有三个不同的解，所以 为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
【例3】（2023·浙江温州·二模）定义：对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若
，则称 为 的“稳定点”.函数 的“不动点”和“稳定点”集合分别记为 和 ，即
.
(1)证明下面两个性质：
性质1： ；
性质2：若函数 单调递增，则 ；
(2)已知函数 ，若集合 中恰有1个元素，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 或
【详解】（1）不妨设 ，则由题知 ，则 ，故 ，所以 ，
所以性质1得证；
设 ，则 ，因为函数 单调递增，所以存在唯一 ，使 ，若 ，则
，得到 ，与 矛盾；
若 ，则 ，得到 ，与 矛盾，
故必有 ，所以 ，即 ，又由性质（1）知 ，
所以，当函数 单调递增， ，故性质2得证.（2）由题设可得 在 上有且只有一个实数解，
故 在 上有且只有一个实数解，
因为 ，故 在 上有且只有一个实数解，
即 在 上有且只有一个实数解，
故 在 上有且只有一个实数解，
若 ，则 在 上有且只有一个实数解 ，符合题意.
若 ，则 ，故 ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，
故 在 上的解即为 上的解.
由题设， 在 上仅有一个实数解，
设 ，则 ，
当 时， ，故 ，
故 在 上为增函数，故 ，不合题意，舍.
当 时， 时， ， 时， ，
故 在 上为减函数，在 为增函数，
故 ，
若 即 ，则 在 上仅有一个实数解，符合题意.
若 即 ，此时 ，
而 ，设 ，
则 ，故 在 上为增函数，故 ，
故此时 在 上仅有两个实数解，不符合题意.
当 时， 设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
（i） ， ，
则 ，所以 单调递减，
又 无限趋向于0时，函数 无限趋向于正无穷大，且 ，
所以 只有1个零点，即集合 中恰有1个元素，
（ii） ，则 ，
又当 时，易知函数 在 单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，即 ， ，
又 ，所以 ，
，
又 ， ，
所以存在 ， ，有 ，
时， ， ， 单调递减，
时， ， ， 单调递增，
时， ， ， 单调递减，
， ， ，
所以极小值 ，极大值 ，
又 ，且 ， ，且 ，
故存在 ， ，存在 ， ，
即 有3个零点 ，且 ，
集合 中有3个元素，
综上， 或 时，集合 中恰有1个元素，
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一
个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数 ，在其定义域内存在一点 ，使得 ，则称 为函数 的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于 ，假设函数 存在不动点，则方程 有解，
由对数函数的图象可知：方程有解，所以函数 存在不动点，故选项 满足；
对于 ，假设函数 存在不动点，则方程 有解，
也即 ，因为判别式 ，所以方程 无解，故假设不成立，
也即函数 不存在不动点，故选项 不满足；
对于 ，假设函数 存在不动点，则方程 有解，
当 时，方程为 无解；当 时，方程为 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ，
则方程为 无解，故选项 不满足；
对于 ，假设函数 存在不动点，则方程 有解，
令 ，则函数 在 上单调递增，因为 ，
，则 ，由零点存在性定理可知：函数 在 上存在零点，
也即 有解，所以函数 存在不动点，故选项 满足，
故选： .
【变式2】（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运
用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简
单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不动
点”函数，实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点;
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 的不动点为 ，则 ，解得 ，
所以函数 的不动点为 .（2）函数 有两个不动点 ，即方程 ，即 有两个不等的实数根 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，且 时， ， 时， ，
作出 的大致图象如下：
所以 ，且 的值随着 的值减小而增大，
当 时，有 ，两式相减得 ，
解得 ，即 ，代入 ，解得 ，
所以此时 ，
所以满足题意的实数 的取值范围为 .
【变式3】（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为
函数 的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类
推，可以定义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函
数 的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
答案见解析
【详解】（1）令 ，求导得 ，
令 ，可得 ，当 ， ，当 ， ，
所以 ，所以 有唯一零点，
所以集合 中有且仅有一个元素；
（2）当 时，由函数 ，
可得导函数 ，所以 在 上单调递增，
由反函数的知识， 稳定点在原函数与反函数的交点上，
即 稳定点与 的不动点等价，
故只需研究 的不动点即可；
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
当x无限接近于0时， 趋向于负无穷小，
且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 有唯一解，
所以此时 有唯一不动点；
②当 时，即 时， ，
当 趋向无穷大时， 趋近于0，此时 ，
存在唯一 ，使得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
当 趋近于0时， 趋向于负无穷大，当 向正无穷大时， 趋向负无穷大时，
设 ，则 在 上单调递增，
且 ，
又 在 时单调递增，故（i）当 时，即 ，
此时 ，方程 有一个解，即 有唯一不动点，所以集合 的子集有2个；
（ii）当 ，即 ，
此时 ，方程 无解，即 无不动点，所以集合 的子集有1个；
（iii）当 时，即 ，此时 ，方程 有两个解，即
有两个不动点，所以集合 的子集有4个；
综上，当 时或 时，集合 的子集有2个；
当 时，集合 的子集有1个；
当 时，集合 的子集有4个.
