文档内容
秘籍 07 函数性质
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
【题型三】 轴对称
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
【题型五】 画图：类周期函数
【题型六】 恒成立和存在型问题
【题型七】 嵌套函数
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 函数图像的画法与零点问题
函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称
轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代
数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟
练于心，才能保证做题的速度与准确度。
易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题
若 f (x) 都可以唯一表示成一个奇函数 g(x) 与一个偶函数 h(x) 之和，当 h(x) m 时，则 f (x) 关于
点(0，m) 中心对称，即可以理解为将奇函数 g(x) 向上平移了 m 个单位，即 f (x) f (x) 2 f (0) 2m ；
当 h(x) m 时， 则有 f (x) f (x) 2h(x) ．
推论 若 f (x) g(x) m ，则f (x) max ＋ f (x) min 2 f (0) 2m ．例（1）已知f (x)= ，则 ．
（2）已知f (x)= ，则 ．
（3）已知函数 ，则 ．
（4）已知函数 ，则 ．
注意 辨别奇函数 g(x) 和常数项 m 后直接用 f (x) f (x) 2 f (0) 2m 来破解．
变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的函数 在区间 上单调递增，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2：（2024·广西·二模）已知定义在 上的函数 满足 .若 的图象
关于点 对称，且 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的周期为2
D．
【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数
中心对称的数学语言：
若 满足 ，则 关于 中心对称
三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，若 ，则 的
取值范围为 ．
【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，那么（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意
非零实数 ，函数 满足： ，且 在 上单调
递减， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 在定义域内单调递减 D． 为奇函数
【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递
减，若方程 在 上有实数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
A．28 B．16 C．20 D．12
【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数 的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
【题型二】 中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称
1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适 。2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它
与坐标轴交点，或则别的合适的点
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数 满足 ， ，当
时， ，则函数 在 内的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C．不等式 无解 D． 的最大值为
【变式2】（2024·河南·一模）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 .且
， ，当 ， ，则 .（用数字
作答）
【题型三】 轴对称
数学语言：
1.函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特
别地当 时，函数 关于直线 对称；
2.如果函数 满足 ，则函数 的图象关于直线 对称.
3. 与 关于直线 对称。
常见的偶函数：【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且
为偶函数，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． D．
【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为 的函数 满足 为偶函数，且当 时，
恒成立，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2024·全国·模拟预测）设 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数.若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）若定义在 上的函数 满足 ，且
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． D． 是奇函数
【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数，且 ，当
时， ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为2 D．
【变式3】（多选）（2024·河北邢台·一模）已知函数 和函数 的定义域均为 ，若 的
图象关于直线 对称， ， ，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 为偶函数
B．
C．若 在区间 上的解析式为 ，则 在区间 上的解析式为D．
【题型四】 中心对称和轴对称构造出周期性
基本规律
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。
【例1】（2023·浙江·一模）设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，当
时， ，则 .
【例2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 满足 ， .则
.
【例3】（多选）（2023·江西·模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶
函数，当 时， ．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（多选）（2024·吉林白山·二模）已知函数 的定义域为 ，其图象关于 中心对称，
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为
，且 ， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数 的图象关于点 对称，
，且当 时， ．若 ，则实数m的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型五】 画图：类周期函数
基本规律
“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
【例1】定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，
则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（ ）
A．一次函数均为“k距周期函数”
B．存在某些二次函数为“k距周期函数”
C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x
D．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间
[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]
【变式1】定义“函数 是 上的 级类周期函数” 如下: 函数 ，对于给定的非零常
数 ，总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实数 都有 恒成立，此时 为
的周期. 若 是 上的 级类周期函数，且 ，当 时， ,且 是
上的单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023·山东济南·模拟预测）已知函数 定义域为R，满足 ，当
时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为， ， ，(其中 表示不超过 的最大整数)，则（ ）
A． 是偶函数 B． C． D．
【题型六】 恒成立和存在型问题
基本规律
常见不等式恒成立转最值问题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
【例1】（2024·上海黄浦·二模）设函数 ，若 恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 对任意 恒有 ，且当
时， ．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足：对任意x， ，恒成立，且 ，则（ ）
A．函数 的图象过点
B．函数 的图象关于原点对称
C． 的图象关于点 对称
D．
【变式2】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为 的函数 ，其图象是连续的曲线，且存在定义
域也为 的导函数 .
(1)求函数 在点 的切线方程；
(2)已知 ，当 与 满足什么条件时，存在非零实数 ，对任意的实数 使得
恒成立？
(3)若函数 是奇函数，且满足 .试判断 对任意的实数 是否
恒成立，请说明理由.
【变式3】（21-22高三上·全国·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ， ，使得 能成立，求实数m的取值范围．
【题型七】 嵌套函数
在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调
用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．
一 嵌套函数解析式问题的解题方法：
换元法：将被嵌套的部分换为一个主元t，即求出 y f (t)解析式，属于通法．
待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可．
二 不动点与稳定点
不动点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f (x) x 的解 x 称为函数f (x)的不动点，即 y f (x)与y
x图象交点的横坐标．
例如：函数f (x) 2x 1有一个不动点为1，函数 的不动点．有两个不动点 ，1．
稳定点： 对于函数 f (x)(x D) ，我们把方程 f [ f (x)] x的解x称为函数f (x)的稳定点，即y f [ f (x)]
与y x 图象交点的横坐标。很显然，若 为函数 y f (x) 的不动点，则 必为函数 y f (x) 的稳定
点．
证明：因为f ( ) ，所以f ( f ( )) f ( ) ，故 也是函数 y f (x) 的稳定点．【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ，
若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点
定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续
函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称 为“不动点”函数．若 存在 个点
，满足 ，则称 为“ 型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2023·浙江温州·二模）定义：对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若
，则称 为 的“稳定点”.函数 的“不动点”和“稳定点”集合分别记为 和 ，即
.
(1)证明下面两个性质：
性质1： ；
性质2：若函数 单调递增，则 ；
(2)已知函数 ，若集合 中恰有1个元素，求 的取值范围.
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一
个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数 ，在其定义域内
存在一点 ，使得 ，则称 为函数 的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简
单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不动
点”函数，实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点;
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ，若 ，求实数 的取值范围.
【变式3】（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为
函数 的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类
推，可以定义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函
数 的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
