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第 6 章 实数 章节复习卷（12 个知识点+50 题练习）
知识点
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“﹣ ”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数
x叫做a的算术平方根．记为 ．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a
本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平
方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也
是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求
值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、
负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或
向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识点6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周
率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如 4＝4.0， ＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ＝
1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环
小数，③含有 的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
无理数常见的三π种类型 π
（1）开不尽的方根，如 等．（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π 不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不
是无理数．
知识点7．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数 a的绝对值就是在数轴上这
个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝
对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定
是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与
b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数
轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数 a
的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左
边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点10．实数大小比较实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切
负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比
左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根
式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从
左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
练习卷
一．平方根（共4小题）
1．（2023春•商南县期末）若 与 是同一个数两个不同的平方根，则 的值
A． B．1 C． 或1 D．
【分析】根据 与 是同一个数两个不同的平方根，则 与 互为相反
数，构建方程求得 的值．
【解答】解： ，
解得： ．
故选： ．【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解两个平方根的关系是关键．
2．（2023春•云浮期末）一个正数的平方根是 与 ，则 等于 ．
【分析】根据平方根的定义得到 与 互为相反数，列出关于 的方程，求出方程
的解得到 的值．
【解答】解：根据题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
3．（2023春•普兰店区期中）一个正数 的两个平方根分别是 与 ，
求 的值和这个正数 的值．
【分析】正数 有两个平方根，分别是 与 ，所以 与 互
为相反数；即 解答可求出 ；根据 ，代入可求
出 的值．
【解答】解： 正数 有两个平方根，分别是 与 ，
解得 ．
所以 ．
【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；
注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
4．（2023春•郯城县期中）若关于 的代数式 和 是某个正数的平方根，求这
个正数．
【分析】 和 是某个正数的平方根，所以 ，据此解答．
【解答】解： 和 互为相反数，即 ，或者 ，
解得： 或2，
或1，这个正数为 ，或1，
综上可知，这个正数为 或1．
【点评】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题关键．
二．算术平方根（共4小题）
5．（2023秋•江安县期中）下列说法正确的是
A． 的平方根是
B． 的算术平方根是
C． 的平方根是
D．0的平方根与算术平方根都是0
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解： ． 没有平方根，因此选项 不符合题意；
． 没有平方根，也没有算术平方根，因此选项 不符合题意；
的平方根，即4的平方根，4的平方根为 ，因此选项 不符合题意；
的平方根和算术平方根都是0，因此选项 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定
义是正确判断的前提．
6．（2023秋•崂山区期中）有一个数值转换器，原理如图．当输入的 时，输出的
等于 ．
【分析】根据数值转换器，输入 ，进行计算即可．
【解答】解：第1次计算得， ，而4是有理数，
因此第2次计算得， ，而2是有理数，因此第3次计算得， ， 是无理数，
故答案为： ．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关
键．
7．（2023春•肇源县期中）实数 的平方根是 ．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【解答】解： ，
实数 的平方根是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决
本题的关键．
8．（2023秋•宝鸡期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两
块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中
他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
【分析】设另一块木板的边长为 米，根据面积为1.69平方米得到， ，解
方程即可得到答案．
【解答】解：设另一块木板的边长为 米，则： ，即： ，
解得： ， （舍去），
另一块木板的边长为1.2米，
答：另一块木板的边长为1.2米．
【点评】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题
的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共5小题）
9．（2023春•绥阳县期中）已知实数 ， 满足 ，则 的值为A．3 B． C．0 D．1
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性求得 ， 的值，然后代入 中计算即可．
【解答】解： ， ， ，
， ，
解得： ， ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，结合已知条件求得 ， 的值是解题的关
键．
10．（2023春•新宾县期末）若 ，则 ．
【分析】根据非负数的性质得 ， ，求出 、 ，代入 计算．
【解答】解：根据题意，得 ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题关键．
11．（2023春•琼海期末）已知 为实数，且 ，则 的值为
A． B．1 C．2 D．
【分析】根据非负数的性质，求出 ， ，即可计算 的值．
【解答】解： ，
， ，
， ，，
故选： ．
【点评】本题考查了平方数的非负性，算术平方根的非负性，解题关键是掌握几个非负数
的和等于0，则每一个算式都等于0．
12．（2023秋•柯城区校级期中）若则 ， ．
【分析】先根据非负数的性质求出 和 的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解： ，
， 且 ，
则 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知若几个非负数的和为 0，则其中的每一项必为0
是解答此题的关键．
13．（2023春•忠县期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航
道管理局在如图所示 水域地带的两岸 、 处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探
照灯．设 水域地带两岸 ，点 处探照灯射出的光线自 开始顺时针旋转，
点 处探照灯射出的光线自 开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立
即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点 处射出的光线每秒旋转 度，点 处射出
的光线每秒旋转 度．且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）如图2，设两灯同时开始旋转，点 处探照灯射出的光线在旋转到 之前，若两盏
探照灯射出的光线在点 处交叉照射，是否存在点 使得过 作 交 于点 ，
且 ，若存在，求 的度数；若不存在，说明理由；
（3）设点 处探照灯先旋转15秒后，点 处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转
的时间为 秒．当点 处探照灯射出的光线首次旋转至 位置之前，能否出现两盏探照
灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有 的值；若不能，说明理由．【分析】（1）根据 ，可得 ，且 ，进而得出
、 的值，
（ 2 ） 设 灯 射 线 转 动 时 间 为 秒 ， 过 点 作 ， 可 得 ，
， ，由题意可得方程 ，求出解即可得出结论，
（3）设 灯转动 秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯 射线转到
之前，②在灯 射线转到 之后，分别求得的值即可．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得 ， ，
（2）如图（2）所示：
假设存在点 满足题目要求，设此时的旋转时间为 秒，
则必有 ，即 ，且 ， ，
过点 作 ，由题意得 ，
， ，
即 ，
， ，
，
即 ，解得 ，
但 ，不合乎要求，
所以这样的点 不存在，
（3）设 灯转动 秒，两灯的光束互相平行，
依题意得 ，①当 时， ，解得： ，
②当 时， ，解得： ，
③当 时， ，解得： （不合题意，舍去），
综上所述，当 秒或 秒时，两灯的光束互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，角的和差关系的运用及解方程等
知识的运用，解决问题时运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为 0，
则这两个非负数均等于0，同时熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
四．立方根（共5小题）
14．（2023春•鹿泉区校级期中）（1） 的算术平方根是 4 ；
（2） 的值为 ．
【分析】先开方，再求算术平方根，再利用立方根的意义计算即可．
【解答】解： ，
则 的算术平方根是 ，
，
故答案为：4， ．
【点评】本题主要考查算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根的定义、立方根的定义
是解决本题的关键．
15．（2023春•北屯市期中）求下列各式中的 的值：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）整理后利用平方根的定义解方程即可；
（2）移项后利用立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1） ，
，所以 ；
（2） ，
，
所以 ，
所以 ．
【点评】本题考查了立方根，关键是利用平方根和立方根的定义解方程．
16．（2023春•武都区期末）下列判断错误的是
A． 的立方根是 B．49的算术平方根是7
C． 的立方根是 D． 的平方根是
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出每个的值，再判断即可．
【解答】解： 、 的立方根是 ，计算正确，故本选项不合题意；
、49的算术平方根是7，计算正确，故本选项不合题意；
、 的立方根是 ，计算正确，故本选项不合题意；
、 的平方根是 和 ，计算错误，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握一个正数有两个平方根，
且这两个平方根互为相反数是关键．
17．（2023春•平泉市期末）如果 ， ，那么 约等于
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【分析】根据立方根，即可解答．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．18．（2023秋•蒲城县期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是3．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
【分析】（1）根据平方根和立方根得出 ， ，解之即可；
（2）将 、 的值代入 求得其结果，再由平方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）根据题意知： ， ，
解得 ， ；
（2） ， ，
，
则 的平方根为 ．
【点评】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义和求法．
五．计算器—数的开方（共3小题）
19．（2023春•路北区校级月考）甲同学利用计算器探索．一个数 的平方，并将数据记
录如表：
16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0
262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
请根据表求出275.56的平方根是 ．
【分析】根据表格数据即可求275.56的平方根．
【解答】解：观察表格数据可知：
所以275.56的平方根是 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了计算器 数的开方，解决本题的关键是认识计算器．
20．（2022春•连平县校级期末）用计算器求2017的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是
A． B． C． D．
【分析】首先了解各个符号表示的意义，然后结合计算器不同按键功能即可解决问题．
【解答】解：根据计算器的知识可知求2017的算术平方根时，必须按的键是 ，
故选： ．
【点评】此题主要考查了利用计算器求算术平方根，要让学生接触了解计算器，学会运用
计算器进行一些复杂的计算．
21．（2022春•江汉区期中）某计算器上的三个按键 的功能分别
是： 将屏幕显示的数变成它的算术平方根； 将屏幕显示的数变成它的倒
数； 将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数 后，依次按照如图所示的
三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数 是 ．
【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，
利用周期规律求解可得．
【解答】解：由题意知第1步结果为 ，
第2步结果为 ，
第3步结果为 ，
第4步结果为 ，
第5步结果为 ，第6步计算结果为 ，
第7步计算结果为 ，
运算的结果以 ， ， ， ， ， 六个数为周期循环，
，
第2021步之后显示的结果为4，即 ，
，
输入的数 是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照 ， ， ， ， ， 六个数
循环，这是解题的关键．
六．无理数（共4小题）
22．（2023春•乐陵市期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当 为16时， 值为 ；
（2）是否存在输入有意义的 值后，却始终输不出 值？如果存在，写出所有满足要求的
值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果输入 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的 值可能
是什么情况？
（4）当输出的 值是 时，判断输入的 值是否唯一？如果不唯一，请写出其中的三个．【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；
（3）根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求解；
（4）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．
【解答】解：（1）当 时， ， ，则 ；
故答案为： ．
（2）当 ，1时，始终输不出 值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；
（3）当 时，导致开平方运算无法进行；
（4） 的值不唯一． 或 或 ．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．
23．（2023春•海珠区校级期中）在实数 ，0， ， ， ， 中，无理数一共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： ，无理数有： ， ， ，共有3个．
故选： ．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；
开方开不尽的数；以及像 ，等有这样规律的数．
24．（2023•雁塔区校级模拟）下列各数： ， ， ， ， ，其中是无理数的有
2 个．
【分析】根据无理数的定义，进行判断即可．
【解答】解： ，
在 ， ， ， ， ，其中是无理数的有 ， ，共2个；
故答案为：2．
【点评】本题考查无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．
25．（2023春•遵义期中）写一个小于 的无理数 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数
是无理数，据此写出小于 的无理数．
【解答】解：本题答案不唯一，如： 等．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；
开方开不尽的数；以及像 ，等有这样规律的数．
七．实数（共5小题）
26．（2023•龙华区二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，
叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是
A． B． C． D．
【分析】根据实数的分类及算术平方根的定义解答即可．
【解答】解： 、 是开方开不尽的数，符合题意；、 ，不符合题意；
、 ，不符合题意；
、 ，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类及算术平方根的定义是解题的关键．
27．（2023春•涵江区期中）把下列各数填入相应的空格内：
4， ， ， ，0.303003， ，0
（1）有理数： 4 ， ， 0.30300 3 ， ， 0 ；
（2）无理数： ；
（3）正实数： ；
（4）负实数： ．
【分析】根据实数的分类进行填空即可．
【解答】解：（1）有理数：4， ，0.303003， ，0．
故答案为：4， ，0.303003， ，0；
（2）无理数： ， ．
故答案为： ， ；
（3）正实数：4， ， ，0.303003．
故答案为：， ， ，0.303003；
（4）负实数： ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了实数，掌握实数的分类是解题的关键．
28．（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（1）带根号的数都是无理数；
（2）立方根等于本身的数是0和1；
（3） 一定没有平方根；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的；
（5）两个无理数的差还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案．
【解答】解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意；
（2）立方根等于本身的数是0和1、 故（2）不符合题意；
（3） 可能有平方根，故（3）不符合题意；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意；
（5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了实数，无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义是解题关键．
29．（2023春•潼南区期中）对于一个三位正整数 ，若各个数位上的数字都不为
0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数 叫“中
项两倍数”．把“中项两倍数” 的各个数字之和被3整除的商记为 ．其中，能被
21整除，且 为有理数的所有“中项两倍数” 的值为 14 7 ．
【分析】由 是“中项两倍数”，得 ，再由 能被21整除，得
为整数，从而求得 的值，再根据 为有理数， 为有理数，求得 的值，最
后由 求得 的值，便可求得 ．
【解答】解： 是“中项两倍数”，
，能被21 整除，
为整数，
，
为有理数，
为有理数，
或4或9，
当 ， 时， ，
解得 （舍 ，
当 ， 时， ，
解得 ，此时 ，
当 ， 时， ，
解得 （舍 ，
综上， ，
故答案为：147．
【点评】本题主要考查了新定义，整除的性质，关键在于正确理解新定义和运用整除的性
质解题．
30．（2023春•绥阳县期中）已知，一个正数的两个平方根分别为 和 ．
（1）求 和这个正数；
（2）求 的算术平方根．
【分析】（1）根据平方根的意义可得 ，从而可得： ，然后代入式
子中进行计算，即可解答；
（2）把 代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：（1） 一个正数的两个平方根分别为 和 ，
，
解得： ，当 时， ，
的值为1，这个正数为36；
（2）当 时， ，
的算术平方根是 ．
【点评】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
八．实数的性质（共4小题）
31．（2024•南岗区校级开学） 的绝对值是 ．
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解： 的绝对值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了绝对值，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的
相反数，0的绝对值是0是解题的关键．
32．（2023春•庆阳期末）实数 的相反数是
A． B． C． D．
【分析】直接利用相反数的定义，进而得出答案．
【解答】解： 的相反数是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．
33．（2023春•端州区校级期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是3，
的相反数是 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
【分析】（1）直接利用平方根、立方根、互为相反数的定义得出 ， ， 的值；
（2）将（1）中所求代入 ，再得出平方根．【解答】解：（1） 的平方根是 ， 的立方根是3， 的相反数是 ，
， ， ，
解得： ， ， ；
（2） ，
的平方根为 ．
【点评】此题主要考查了平方根，立方根以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
34．（2023春•安阳期末）对于结论：当 时， 也成立，若将 看成 的
立方根， 看成是 的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，
那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若 与 的值互为相反数，求 的值．
【分析】（1）这个结论很简单，可选择 ，则2与 互为相反数进行说明；
（2）利用（1）的结论，列出方程 ，从而解出 的值，代入可得出答
案．
【解答】解：（1）答案不唯一．如 ，则2与 互为相反数；
（2）由已知，得 ，
解得 ，
．
【点评】本题考查立方根的知识，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本
题的结论同学们可以记住，以后可直接运用．
九．实数与数轴（共4小题）
35．（2023春•海沧区校级期中）和数轴上的点一一对应的是
A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数
【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应的进行解答．【解答】解： 实数与数轴上的点是一一对应的，
和数轴上的点一一对应的是实数．
故选： ．
【点评】本题考查了实数与数轴的关系，熟记实数与数轴上的点是一一对应的
是解题的关键．
36．（2023春•鄂州期末）如图的数轴上，点 与点 关于点 对称， 、 两点对应的
实数是 和 ，则点 所对应的实数是
A． B． C． D．
【分析】先求得 的长度，根据点 与点 关于点 对称，即可得出 的长，再用
的长度加上 即可得出点 所对应的实数．
【解答】解： 、 两点对应的实数是 和 ，
，
点 与点 关于点 对称，
，
点 所对应的实数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点
表示的数．
37．（2023春•霍邱县期中）一只蚂蚁从点 沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点 ，
点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
（1） ；（2）化简 ．
【分析】（1）根据沿数轴正方向爬了2个单位长度进行加法运算即可得到答案；
（2）把（1）中得到得到 值代入 ，按照绝对值的意义进行化简求值即可．
【解答】解：（1）由题意得到 ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为：2．
【点评】此题考查了实数与数轴、绝对值的化简等知识，求出 是解题的关键．
38．（2023秋•二七区校级期末）已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ，6．
（1） 、 两点间的距离为 1 8 ；
（2）如图①，如果点 沿线段 自点 向点 以每秒1个单位长度的速度运动，同时点
沿线段 自点 向点 以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为 秒．
Ⅰ．运动 秒时 对应的数为 ， 对应的数为 ；（用含 的代数式表示）
Ⅱ．当 、 两点相遇时，点 在数轴上对应的数是 ；
Ⅲ．求 、 相距3个单位长度时的 值；
（3）如图②，若点 在数轴上，点 在数轴上方，且 ， ，
现点 绕着点 以每秒转 的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点 沿射线 自
点 向点 运动．当 、 两点相遇时，请直接写出点 的运动速度．
【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；（2）Ⅰ用含有 的代数式表示点 、点 的所表示的数即可；
Ⅱ当 、 两点相遇时，根据线段之间的和差关系列方程求解即可；
Ⅲ分两种情况分别进行解答，即当点 在 左侧，当点 在 右侧时分别列方程求解即可；
（3）根据旋转的角度求出旋转的时间，再根据点 移动的路程即可求出速度．
【解答】解：（1）由数轴可知： 、 两点间的距离为： ，
故答案为：18；
（2）Ⅰ．由题意可知：点 表示的数为： ，点 对应的数为： ，
故答案为： ， ；
Ⅱ．当 、 两点相遇时， ，
，
，
，
点 在数轴上表示的数为： ，
故答案为： ；
Ⅲ．由题意得：当点 在 左侧时得： ，
，
；
点 在点 的右侧， ，
，
，
、 相距3个单位长度时的 值为5或7；
（3）由题意可知，点 所表示的数是 ，点 所表示的数是 ，
此时 ，
点 绕着点 顺时针方向旋转到点 所用的时间为 （秒 ，所以，此时点 的速度为 （单位长度 秒），
点 绕着点 顺时针方向旋转到点 所用的时间为 （秒 ，
所以，此时点 的速度为 （单位长度 秒），
答：点 的速度为 单位长度 秒或2单位长度 秒．
【点评】本题考查数轴表示数，一元一次方程的应用，掌握数轴表示数的方法以及数轴上
两点距离的计算方法是正确解答的关键．
一十．实数大小比较（共4小题）
39．（2022秋•市北区校级期末）比较大小： ．
【分析】先估算出 的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大
即可进行解答．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母
的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．
40．（2023春•朝天区期末）阅读下面的材料：
对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ，如：
， ， ， ．
根据上面的材料回答下列问题：
（1） ；（2）当 时，求 的取值范围．
【分析】（1）比较 的大小即可得出答案；
（2）根据新定义可得关于 的不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：（1） ，
，
．
故答案为： ；
（2）根据题意，得 ，
解得 ，
的取值范围是 ．
【点评】本题以新定义的形式，考查了实数的大小比较和一元一次不等式的解法，正确理
解新定义是解题的关键．
41．（2023春•南岗区期末）对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当
时， ， ；当 时， ， ，如： ， ， ，
．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）当 时，求 的取值范围．
【分析】（1）根据定义比较 与3的大小即可求得答案；
（2）根据定义可得 ，解得 的取值范围即可．
【解答】解：（1） ，， ，
故答案为： ；
（2） ， ，
，
即 ，
则 ，
解得： ．
【点评】本题考查新定义及实数的大小比较，（2）中由新定义列得 是解题
的关键．
42．（2022秋•隆回县期末）有理数 ， ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，这
四个数中，绝对值最大的是
A． B． C． D．
【分析】根据绝对值的意义：在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小，
离原点越远，它的绝对值越大，即可解答．
【解答】解：由题意得：
有理数 在数轴上的对应点的位置离原点最远，所以，这四个数中，绝对值最大的是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了实数大小比较，数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
一十一．估算无理数的大小（共4小题）
43．（2024•五华区校级模拟）设 为正整数且 ，则 的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原式计算后利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：原式 ，
，
，
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
44．（2023春•西和县期末）已知 ， ， ， ．若
为整数且 ，则 的值是 4 4 ．
【分析】估算出 的值即可解答．
【解答】解： ， ，
，
，
为整数且 ，
，
故答案为：44．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
45．（2023春•玉环市期末）实数 在哪两个相邻的整数之间
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数 的大小即可．
【解答】解： ，
，即 ，
故选： ．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
46．（2023春•曾都区期中）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就
是小数部分．即 的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是 ， 的小数部分是 ．
（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分．求 的平方根．
（3）若 ，其中 是整数，且 ，求 的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数 ， 的大小，进而确定它们
的整数部分、小数部分即可；
（2）根据算术平方根的定义，估算无理数 ， 的大小，进而确定它们的整数部分、
小数部分，即确定 、 的值，再代入计算出 的值，最后求其平方根即可；
（3）估算无理数 的值，确定 、 的值，代入计算 的值即可．
【解答】解：（1） ，
的整数部分是3，小数部分为 ，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为 ，故答案为： ， ；
（2） ，即 ，
的整数部分 ，
又 ，
的整数部分为1， 的小数部分 ，
，
的平方根为 ；
（3） ，
，
又 ，其中 是整数，且 ，
， ，
，
答： 的值为11．
【点评】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，理解算术平方根、平方根
的定义是正确解答的前提，确定 、 、 、 的值是得出正确答案的关键．
一十二．实数的运算（共4小题）
47．（2023春•莲池区期末）计算
A． B． C． D．
【分析】根据乘法的定义： 个2相加表示为 ，根据乘方的定义： 个3相乘表示为，由此求解即可．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键．
48．（2023 春•巨野县期末）对于任何实数 ， ， ， ，我们规定符号的意义是
，按照这个规定请你计算：当 时， 的值为 1
．
【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 ， 然 后 根 据 定 义 新 运 算 可 得
，从而进行计算即可解答．
【解答】解： ，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了实数的运算，代数式求值，理解定义的新运算是解题的关键．49．（2023春•九龙坡区校级期中）在实数范围内定义运算“ ”： ，
若 ，则 的值是 1 ．
【分析】按照定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题得， ，
解得， ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解方程的能力，正确理解新定义是解题关键．
50．（2022秋•杭州期末）在实数范围内定义运算“※”： ※ ，例如：
3※ ．
（1）若 ， ，计算 ※ 的值．
（2）若 ※ ，求 的值．
（3）若 ，求 ※ ※ 的值．
【分析】（1）利用新定义的规定列式运算即可；
（2）利用新定义的规定得到一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）利用新定义的规定化简后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2） ※ ，
，
解得： ；
（3）原式，
当 时，
上式
．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，解一元一次方程，本题是新定义型，正确理解并
熟练运用新定义的规定是解题的关键．
