易错点03指数函数与对数函数及函数与方程-备战2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习

易错点 03 指数函数与对数函数及函数与方程 易错题【01】研究对数型函数忽略定义域 研究函数 的性质，或求解与 有关的函数与方程及不等式问题，不少 同学常因忽略 的隐含条件出现错误。 易错题【02】不会利用中间量比较大小 在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小，若比较指数 式与对数式的大小，或同是指数式(对数式)但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较 大小，常用的中间量是 ，有时也可借助 等中间量来比较大小. 易错题【03】不会构造函数比较大小 比较两个式子的大小，若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常式子的结构 构造函数，然后利用函数单调性比较大小。 易错题【04】确定函数零点所在区间，或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件， 常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，故提醒同学们研究函数与方程问题 不要得“意”忘“形”。 01 若 在 上是减函数，则 的取值范围是 【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域，不会由 得出 . 【答案】 【问诊】因为由 ，所以 ，此时 在 上是减函数，由复 合函数单调性得 ，由 ，解得 ，所以 的取值范围是 。 【叮嘱】研究对数型函数的性质，一定不要忽略真数大于零的限制。1. 函数 在 单调递增，求a的取值范围( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ，二次函数抛物线的对称轴方程为 ，由复合函数的单调 性可知， .又 在 上恒成立，所以 ，即 ， 所以 ，解可得， ．故选C 2．(2021湖北武汉市第一中学高三月考)函数 在区间 上单调递增， 则实数 的取值范围为( )． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 ，可得 ，则 是减函数， 要使得函数 为 上的增函数，只需 为减函数，且满足 对于 恒成立，所以 ，解得： ， 所以实数 的取值范围为 ，故选C. 02alog 0.2，b20.2，c0.20.3 (2019全国Ⅰ卷理T3)已知 2 ，则( ) abc acb cab bca A． B． C． D． 【警示】比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。 【答案】A a log 21 【问诊】由题意，可知 5 ， 1 blog 0.2log log 51 log 5log 42 5 1 5 21 2 2 c0.50.2 1 b a 2 ， ，所以 最大， ， 1 1 15 1 1 alog 2 c0.50.2     5  c 5 log 5 2 2 5 2 都 小 于 1 ， 因 为 2 ， ， 而 1 1 15    log 5log 42 5 2 log 5 2 ac acb 2 2 ，所以 2 ，即 ，所以 ，故选A． 【叮嘱】比较数与式的大小，当不能直接利用函数单调性时，要注意使用中间量。 1.(2021新高考2卷T7)已知 ， ， ，则下列判断正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，即 .故选C. 2.(2020全国Ⅲ文T10)设 ，则 () A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为 ， ， 所以 ，故选A． 03 (2021全国卷乙卷理T12)设 ， ， ，则 A． B． C． D． 【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。 【答案】B 【问诊】解法一： ， ， ， 令 ， ， 令 ，则 ， ， ， 在 上单调递增， (1) ， ， ， 同理令 ， 再令 ，则 ， ， ， 在 上单调递减， (1) ， ， ， ．故选： ． 解法二：由 ，则排除AD,结合选项BC，只需判断a,c的 大小，故设 ，∴ ，又∵∴ ，∴ ，∴ 在 上单增，∴ ， ∴ ，∴ ，故选B 【叮嘱】比较几个复杂式子的大小，常通过构造函数，利用函数性质求解。 1.(2020全国Ⅰ理T12)若 ，则 () A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ，则 为增函数，∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ． ∴ ， 当 时， ，此时 ，有 ；当 时， ，此时 ，有 ，∴C、D错误，故选B． 2x −2y <3−x −3−y 2.(2020全国Ⅱ理T11)若 ，则 () ln|x−y|>0 ln|x−y|<0 A． B． C． D．【答案】A 【解析】由 得： ，令 ， 为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ， ， ， ，则A正确，B错误； 与 的 大小不确定，故CD无法确定，故选A． 04 (2018全国卷Ⅰ)已知函数 ．若 存在2个零 点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【警示】不会利用图象求解，导致解题失败. 【答案】C 【问诊】函数 存在 2个零点，即关于 的方程 有2 个 不同的实根，即函数 的图象与直线 有2个交点，作出直线 与 函数 的图象，如图所示，由图可知， ，解得 ，故选C． y 3 2 1 x –2 –1 O 1 2 3 –1 –2 【叮嘱】求解与零点个数有关问题，常利用函数图象的直观性求解。1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数 ，当 时， ，则关于x的函数 的所有零点之和为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如 图所示， 由图象可知 ，即 有5个零点，其中有2个关于直线 对称， 还有2个关于直线 对称，所以4个零点的和为零，第5个零点是直线 与函数 交点的横坐标，即方程 的解， 解得 ，故选C 2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数 ， (其中e 是自然对数的底数)，若关于x的方程 恰有三个不等实根 ，且 ，则 的最大值为___________. 【答案】 【解析】由题意设 ，根据方程 恰有三个不等实根， 即 必有两个不相等的实根 ，不妨设 ，则 ， 方程 或 有三个不等实根 ，且 ， 作出图象如图所示： 那么 ，可得 ， ， 所以 ， 构造新函数 ，则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 , 所以 的最大值为 . 错 1．(2021江苏省泰兴中学高三期中)已知a= ， ，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】B 【解析】因为 在 上为增函数，且 ， 所以 ，得 ，即 ， 因为 在 上为增函数，且 ， 所以 ，得 ，即 ， 因为 在 上为减函数， ， 所以 ，得 ，即 ， 因为 ，故选B． 2．(2021山东烟台高三期中)设 ， ， ，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ，所以 ，故选D. 3.(2020江西省信丰中学高三月考)若函数 在区间 内 单调递增，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式 ，即 ，解得 ， 内层函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，而外层函数 在定义域上为减函数， 由复合函数法可知，函数 的单调递增区间为 ， 由于函数 在区间 上单调递增，所以， ， 解得 .因此，实数 的取值范围是 .故选C. 4．(2021河南高三月考)设 ， ， ，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，∵ ，∴ ， 设 ，则 ， 则在区间 上， ， 为增函数，在区间 上， ， 为减函数， ∴ ，即 ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ .故选D． 5.(2021黑龙江高三期中)已知 ， ， ，则( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ， 在 上单调递增， ，即 ， ， ，即 ；令 ，则 ，当 时， ；当 时， ； 在 上单调递增，在 上单调递减， ， (当且仅当 时取等号)， ， 即 (当且仅当 时取等号)， ，即 ； 综上所述： .故选D. 6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在 上的函数 满足 ，且 ，给出如下四个结论：① 的值域为 ；②当 时， ；③ 图象的对称轴为直线 ；④方程 恰有 个实数解，其中正确的结论个数是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 可得 ，所以 是周期为 的函数， 作出函数 的图象如图所示： 由图知： 或 时， ，当 时， ，根据周期性可得 的值域为 ，故①正确； ，当 时， ， ，因为 是周期为 的函数， 所以 ，故②正确； 由图象以及周期性可知： 、 为函数 的对称轴，所以 图象的对称轴为 直线 ，故③不正确； 方程 恰有 个实数解，可得 与 图象有 个交点， 当 时， ，而 ，所以当 时，方程 无实根， 当 时，由图知 与 图象有 个交点， 所以 与 图象有 个交点，即方程 恰有 个实数解， 当 时， ，此时 与 图象没有交点，故④不正确； 所以①②正确，正确的有 个，故选B. 7．(2021吉林·高三月考)已知函数 ， ，若关于的方程 恰有 个不同实数根，则实数 的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ，可得 ，因为 最多有两个实根，若 恰有 个不同实数根，则 恰有三个实根，作出 的图象，如图 由 或 可得： 或 或 ，且 ， 由 即 ， ， 由 可得 ， 由 即 ， ， 由 可得 ， 由 即 ， ， 由 恒成立，综上所述： ，实数 的取值范围为 ，故选A. 8．(多选题)已知函数 ， ，则下列说法正确的是( ) A．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 B．若函数 的值域为 ，则实数 C．若函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是 D．若 ，则不等式 的解集为 【答案】AC 【解析】对于A，由题意知 对 恒成立，由于当 时，不等式 不恒成立，所以 ．当 时，由 解得 ，所以A正 确； 对于B，若函数 的值域为 ，则 ，显然 不为0， 则函数 的最小值为4，则当 时， ，解得 ，所以B错误； 对于C，若函数 在区间 上为增函数，则 在 上为增函数，且在 内的函数值为正，所以 解得 ，所以C正 确； 对于D，若 ，则不等式 等价于 ， 则 ，解得 ，所以D不正确．故选AC． 9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数 ，方程 有两个不等实根，则下列选项正确的是( ) A．点 是函数 的零点 B． ， ，使 C． 是 的极大值点 D． 的取值范围是 【答案】BC 【解析】当 时， ，则 ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单 调递减，且 ； 当 时， ，则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，且 ， 且 恒成立，画出函数图象如下： 对A，由函数图象可得0是函数 的零点，故A错误； 对B，由图可得 ，故 ， ，使 ， 故B正确； 对C，由图可得 是 的极大值点，故C正确； 对D，方程 等价于 或 ， 由图可得 有1个实数根 ，所以方程 有两个不等实根 等价于 有1个非零实根，则由图可得 或 ，故D错误.故选BC. 10.(2021天津静海一中高三月考)已知 ，若 的图象与 轴有3个不同的交点，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】由题设， 上 ，故值域为 且单调递增；上 ，故 值域为 且单调递减； ∴ 在 上值域为 且单调递减；在 上值域为 且单调递增； 要使 与 轴有3个不同的交点，即 与 有3个不同交点，它们的图象 如下： ∴由图知：要使函数图象有3个交点，则 与 在 上至少有2个交点， 由 ， ，则 ， 此时，若 与 相切时，切点为 ， ∴ ，可得 ， 当 过 时，有 ，得 ，∴ .