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易错点 05 三角变换及三角函数的性质
易错题【01】忽略角的范围限制
利用 求值一般要涉及到开方运算,此时要注意利用角的范围判断三角函数
值的正负；根据三角函数值求角,一般是先求出该角的某一个三角函数值,再确定角的范围,
确定角的范围时不仅要看已知条件中角的范围,还要挖掘隐含条件,根据三角函数值的符号及
大小缩小角的范围
易错题【02】不能全面理解三角函数性质致误
本易错点主要包含以下几个问题：(1)求三角函数值域忽略定义域的限制；(2)确定三角函数
的最小正周期,忽略三角变换的等价性；(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断.
易错题【03】对平移理解不准确致误
三角函数图象的左右平移是自变量 x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,
所以平移的距离并不一定是φ.
易错题【04】忽视弦函数的有界性
在求与 , 有关的值域与范围是要注意 .
易错题【05】用零点确定 的 ,忽略图象的升降
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象
上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三
点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ
＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.01
已知sin α＝,sin β＝,且α,β为锐角,则α＋β＝________.
【警示】本题出错的主要原因是忽略α＋β缩小的范围.
【答案】
【问诊】因为α,β为锐角,所以cos α＝＝,cos β＝＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝,
又因为0<α＋β<π,所以α＋β＝.
【叮嘱】根据三角函数值求角,要注意三角函数值的符号及大小对角的范围的限制
1. (2022届福建省永安市高三10月月考)已知 的终边在第四象限,若 ,则
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的终边在第四象限, ,所以 ,
则 ．故选A.
2.已知 为锐角, , ,则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为锐角, , ,∴ , ,∴ ,
又 ,∴ ,故选B
02
函数 得最小正周期为 .
【警示】根据 ,得出 的最小正周期 是本题出错的
主要原因.
【答案】
【问诊】忽略了 与 定义域不相同, 对定
义域内的 不成立,所以 不是 的周期.
【叮嘱】研究三角函数的性质,若对三角函数进行变换,一点要保证变换的等价性.
1．求函数 的值域.
【答案】因为 =
=
,当 时 取得最小值 ,当 时 取得最大值4,又因为 , 所以 的值域为 .
2.(2022届山东省青岛市高三上学期期中)若函数 的最小正周期为 ,则函
数 在 上的值域为_______．
【答案】 .
【解析】函数 的最小正周期为 ,故 ；
则
.
由 ,故可得 ,则 ,
的值域为 .
03
(2022全国乙卷理T7)把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,
再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,则
A． B． C． D．
【警示】平移方向或平移长度易出错
【答案】B
【问诊】 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,
再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数 的图像, 把函数的图像,向左平移 个单位长度,得到 的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,可得 的图像．
故选 ．
【叮嘱】对于左右平移要注意要确定平移方向,法则是甲左减右,然后再确定平移长度,注意
平移长度由x的变化来确定.
1．要得到y＝sin(－3x)的图象,需将y＝(cos 3x－sin 3x)的图象
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【解析】 y＝(cos 3x－sin 3x)＝sin＝sin,要由y＝sin到y＝sin(－3x)只需对x加上即可,因而
是对y＝(cos 3x－sin 3x)向左平移个单位,故选D.
2．(2022届海南省华侨中学高三11月月考)将函数y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度,再
把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin 的图象,则f(x)＝
( )
A．sin B．sin C．sin D．sin
【答案】B
【解析】将 的图象上各个点的横坐标变为原来的 ,可得函数
的图象,再把函数 的图象向右平移 个单位,即可得到
的图象,所以 ,故选B.
04已知 ,则 的取值范围是 .
【 警 示 】 由 得 , 因 为
,所以 .忽略了 .
【答案】
【问诊】由题意可得 ,所以 ,由 得
, 因 为 , 所 以
.所以 的取值范围是 .
【叮嘱】若一个式子中含有2个变量的弦函数,要保证每个弦函数的范围都在 上.
1.(2022届甘肃省部分名校年高三上学期月考)已知函数 ．若
关于x的方程 在 上有解,则实数m的取值范围是( )
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】 ,
当 时, ,所以 ,故 的值域为 ,
因为 在 上有解即 在 上有解,故 即
,故选C.
2．(2022届四川省绵阳高三上学期一诊)已知 ,则 的最大值为
____________
【答案】
【解析】 ,
, ,即
又 ,利用二次函数的性质知,当 时,
.
05函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R,ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则 .
【警示】本题出错的主要原因是观察图象可知,A＝1,T＝π,∴ω＝2,f(x)＝sin(2x＋φ),把
代入得 ,所以 , .忽略了 在递
减区间内.
【答案】sin(2x＋)
【问诊】观察图象可知,A＝1,T＝π,∴ω＝2,f(x)＝sin(2x＋φ),将(－,0)代入上式得sin(－＋φ)＝
0,由|φ|< ,得φ＝,则f(x)＝sin(2x＋)．
【叮嘱】利用函数的零点确定确定φ值时,要注意该零点是在递增区间还是在递减区间.
1. 已知函数 ( , )的部分图象如图所示,将 图象进行怎
样的平移变换后得到的图象对应的函数 为奇函数( )
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】由图象可知 ,所以 ,设 的最小正周期为 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 ,
因为函数 经过点 ,可得 ,
解得 ,因为 ,所以 ,所以 ,
结合选项,当 时, 为奇函数,
所以将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数 为奇函数.故选D.
2.(2022届重庆市八中高三上学期月考)(多选题)函数 的
图象如图所示,则关于函数 下列结论中正确的是( )
A． B．
C．对称轴为 D．对称中心为
【答案】ABD
【解析】对于A：由 , ,所以 ,A正确；对于B：因为 , ,解得 ,故 ,
,B正确；对于C：令 ,解得 ,即对称轴为
,故C错误；对于D：令 ,解得 ,即对称中心为
,故D正确.故选ABD.
错
1．(2022届河北省衡水市冀州区高三上学期期中)已知 且 ,
若 ,则 ( )
A． 或 B． 或1 C．1 D．
【答案】D
【解析】由 ,得 ,
所以 ,求得 (舍), ．
又 ,
将 的值代入上式可得： ．故选D．
2．若 ,且 ,则 ( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以
,故选A.
3．设锐角 的内角 , , 的对边分别为 , , ,若 ,则 的取值范围是
( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得
.
因为 为锐角三角形,所以 即 所以 ,
所以 ,所以 的取值范围是 .故选A.
4．(2021届安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测)在 ABC中,已知 ,
,则cosC=( )A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】在 ABC中,∵ ,∴ ,
∴ .∵ ,∴ 或 (舍去),
∴ ,∴ ,
.故选A.
5．(2022届北京师范大学附属中学高三上学期期中)将 的图象向右平移 个
单位,则所得图象的函数解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 的图象向右平移 个单位,得到
,故选D
6．(2021届湘豫名校名校高三5月联考)已知函数 的图
象沿 轴向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,则 的一个对称中心为
( )
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ,
因为函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后得到
函数 的图象,所以函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度后得
到函数 的图象,
所以 ,所以 ,
显然 ,因此 ,
因为 ,所以令 ,所以 ,
所以 ,令 ,
令 ,可得一个对称中心为 ,故选B
7．(2022届四川省成都高三上学期阶段性检)函数 ,(其中 , ,
) 其图象如图所示,为了得到 的图象,可以将 的图象( )A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【解析】由函数图象可知： ,函数过 两点,设 的最
小正周期为 ,因为 ,所以有 ,而 ,因此 ,
即 ,因为 ,
所以 ,因为 ,
所以 ,即 ,因此 ,
而 ,
而 ,因此该函数向右平移 个单位长度得到函数
的图象,故选B
8．(2022届江苏省南通市高三上学期期中)已知函数 ( , ,
)的部分图象如图所示,将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的
图象,则下列说法正确的是( )A．
B．
C．函数 为奇函数
D．函数 在区间 上单调递减
【答案】BCD
【解析】 ,则 , ,
,∴ , ,
, , ,∴ ,A错.
, ,
,B对.
奇函数,C对.,即 , 在 上单调递减,而 ,∴D对.故
选BCD.
9．(2022届安徽省合肥市高三上学期11月月)(多选题)已知函数 ,则下
列结论不正确的是( )
A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 图像关于 对称 D．函数 的图像可由函数 的
图像向左平移 个单位,再向下平移1个单位得到
【答案】ABC
【解析】 .
对于A,最小正周期 即A正确；
对于B,令 则 ,
这是函数 的减区间,即B正确；
对于C,令 解得 ,当 时, , ,所以,
图像关于 对称,故C正确
对于D, 的图象向左平移 个单位得到 ,再向下
平移1个单位得到 ,所以D错误.故选ABC10．(2022届北京市第三中学高三上学期期中)已知 , 都是锐角,若 , ,
则 ________．
【答案】
【解析】 , ,所以
, ,
,
则
