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第 08 讲 新高考新结构命题下的
立体几何解答题综合训练
（10 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1） 三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2） 三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3） 三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。立体几何版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。同样不能忽视的是，立体几何版块也可能被置于第 18、19题这样的压轴大题中，此
时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指
南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、空间中平行关系的证明
1．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为矩形，
且平面 平面 分别为棱 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的大小为120°，求 的值．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为6的正方形，侧面
底面 ，点 分别是 的中点，点 在棱 上且 .(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
3．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在圆柱 中， 分别为圆柱的母线和下底面的直径， 为
底面圆周上一点.
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，圆柱 的体积为 ，求二面角 的正弦值.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在九面体ABCDEFGH中，平面 平面 ，平面
平面 ， ， ，底面ABCDEF为正六边形．
(1)证明： 平面ABCDEF．
(2)证明： 平面AFG．
(3)求GE与平面 所成角的正弦值．
5．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台 中， 分
别为 的中点， ，侧面 与底面 所成角为 .
(1)求证： 平面 ；(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由.
考点二、空间中垂直关系的证明
1．（2024·陕西商洛·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，平面 平面
．
(1)证明： ；
(2)若 为 的中点， ，求 到平面 的距离．
2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形，其中 ，
，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 与平面 所成角的正切值为2，求平面 与平面 所成二面角的正弦
值．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，将 绕边 旋转得到 ，其中
平
面 ，连结 分别是 的中点， 平面 ．(1)求证： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
4．（2024·安徽·一模）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
，M是 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若点P是棱 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在斜三棱柱 中， 为边长为3的正三角形，侧面
为正方形， 在底面 内的射影为点O．
(1)求证： ；
(2)若 ，求直线 和平面 的距离．
考点三、空间向量法求空间角与空间距离
1．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
∥
， ， 为棱 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值；
(3)求A点到直线 的距离.
2．（2024·河北·模拟预测）如图所示，三棱柱 中， 分别为棱 的中点， 分
别是棱 上的点， .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若三棱柱 为正三棱柱，求平面 和平面 的夹角的大小.
3．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，
， ， ， ，平面 平面 .
(1)求证：平面 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
(3) 为平面 内一点，若 平面 ，求 的长.
4．（2024·贵州·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， 是 上一点，且 ，连接
与 ， 为 中点.(1)过 点的平面平行于平面 且与 交于点 ，求 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求点 到平面 的距离.
5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知四棱柱 中， 平面
，在底面四边形 中， ，点 是 的中点.
(1)若平面 平面 ，求三棱锥 的体积；
(2)设 且 ，若直线 与平面 所成角等于 ，求 的值.
考点四、几何法求空间角与空间距离
1．（2024·辽宁丹东·一模）如图，在四棱锥 中， ， ，
， ， ，点 在棱 上．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 分两部分几何体 与 的体积之比 ，求二面角 的正弦值．
2．（2024·重庆渝中·模拟预测）如图，已知在正三棱柱 中， 为边 的
中点.(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求二面角 的大小.
3．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中
点，如图2．将 沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平
面 平面 ，连接 .
(1)求证： ， ， ， 四点共面：
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
4．（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，在三棱柱 中，正方形 的棱长为2，
，点M为AB中点， ．
(1)求证：三棱柱 为直三棱柱；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
5．（2024·广东汕头·三模）如图，四面体 中， 是 的中点， ，(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；
(2)求点E到平面ACD的距离.
考点五、动点问题
1．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， 与底面
所成角为 ，四边形 是梯形， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点T是 的中点，点M是 的中点，求点P到平面 的距离．
(3)点 是线段 上的动点， 上是否存在一点M，使 平面 ，若存在，求出M点坐标，若不
存在，请说明理由．
2．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形 是直角梯形， ，
平面 是 的中点，E是 的中点， 的面积为 ，四棱锥 的体积为
．
(1)求证： 平面 ;
(2)若P是线段 上一动点，当二面角 的大小为 时，求 的值．
3．（23-24高二上·广西·阶段练习）如图，已知直圆柱的上、下底面圆心分别为 ， 是圆柱的
轴截面，正方形 内接于下底面圆 ，点 是 中点， .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的余弦值的最小值.
4．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
，且 ， .
(1)若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面 夹角
的余弦值为 ，求实数 的值.
5．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为
底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面
(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离．
考点六、范围问题1．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ， 垂直
于平面 ．点 ， ， 分别为边 ， ， 上的动点（不包括顶点），且满足
．
(1)求三棱锥 的体积的最大值；
(2)记平面 与平面 所成的锐二面角为 ，当 最小时，求 的值，并说明点 所处的位置．
2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， 为边长为2的正三角
形， 为 中点，点 在棱 上，且 . △
(1)当 时，求证 平面 ；
(2)设 为底面 的中心，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时 的
值.
3．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直
角梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .
(1)若平面 平面 ，求 、 的值；(2)若 平面 ，求 的最小值.
4．（2023·浙江·模拟预测）在三棱锥 中， ，直线 与平面 所成
角为 ，直线 与平面 所成角为 ．
(1)求三棱锥体积的取值范围；
(2)当直线 与平面 所成角最小时，求二面角 的平面角的余弦值.
5．（2023·河南·模拟预测）如图，在正四棱台 中， ， ， ， 为
棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．
(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
且平面 平面 ． 分别是 的中点． ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)求四棱锥 体积的最大值；
(3)求平面 与平面 的夹角余弦值的范围．
考点七、立体几何中的存在性问题
1．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱
形， ， 是棱 上的动点，且 .(1)证明： 平面 .
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
2．（2023·天津·一模）已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点
、 分别为线段 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的
值，若不存在，说明理由．
3．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，三棱锥 的体积为 ．(1)求侧棱 的长；
(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段 的
长；若不存在，请说明理由．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，直四棱柱 的底面为菱形，且 ，
分别是上，下底面的中心， 是 的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)是否存在实数 ，使得 在平面 内的射影 恰好为 的重心．若存在，求 ，若不存在，请
说明理由．
5．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的
正方形， ，且 底面ABCD，点P、Q分别是棱 、 的中点．
(1)在底面 内是否存在点M，满足 平面CPQ?若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说
明理由；
(2)设平面CPQ交棱 于点T，平面CPTQ将四棱台 ，分成上、下两部分，求上、下两
部分的体积比．
考点八、立体几何中的劣构性问题1．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形 ， ， 平面 ， ，
， ， ，平面 与棱 交于点 . 再从条件①、条件②、条件③，这三个条
件中选择一个作为已知.
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 夹角的正弦值；
(3)求 的值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
2．（2024·江苏南通·二模）如图，边长为4的两个正三角形 ， 所在平面互相垂直，E，F分别
为BC，CD的中点，点G在棱AD上， ，直线AB与平面 相交于点H.
(1)从下面两个结论中选一个证明：① ；②直线HE，GF，AC相交于一点；
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.
(2)求直线BD与平面 的距离.
3．（2024·北京海淀·一模）如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面 .
(1)求证： ；(2)若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已
知，使四棱锥 存在且唯一确定.
（i）求证： 平面 ；
（ⅱ）设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
条件①： ；
条件②： ；
条件③： .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知四棱锥 的底面 是正方形，给出下列三个条件：①
；② ；③ 平面 .
(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；
(2)在（1）的条件下，若 ，当四棱锥 体积最大时，求二面角 的余弦值.
5．（23-24高三上·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥 中， ，侧面
底面 ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)已知 ， ，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，
使四棱锥 唯一确定，求二面角 的余弦值.
条件①： ；条件②： ；条件③：直线 与平面 所成角的正切值为 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
考点九、立体几何中的杂糅问题1．（2024·福建·模拟预测）在 中， ， ， 的平分线交AB于点D，
.平面α过直线AB，且与 所在的平面垂直.
(1)求直线CD与平面 所成角的大小；
(2)设点 ，且 ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无
论l绕点D如何转动，总有 ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.
2．（2024·河北石家庄·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为
，过点 的动直线 交 于A，B两点，点 在 轴上方，且 不与 轴垂直， 的周长为 ，直
线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一点 ，点 为椭圆 的下顶点，如图①.
(1)当点 为椭圆 的上顶点时，将平面xOy沿 轴折叠如图②，使平面 平面 ，求异面直线
与 所成角的余弦值；
(2)若过 作 ，垂足为 .
（i）证明:直线 过定点；
（ii）求 的最大值.
3．（2024·山东·模拟预测）如图（1），已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的动直线
与 交于A，B两点（其中点A在第一象限），以AB为直径的圆与准线 相切于点C，D为弦AB上任
意一点，现将 沿CD折成直二面角 ，如图（2）．
(1)证明： ；
(2)当 最小时，
①求 ， 两点间的最小距离；
②当 ， 两点间的距离最小时，在三棱锥 内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD上，求圆柱体积的最大值．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线 ，点 在 的准线上，过 焦点 的直线与 相
交于 两点，且 为正三角形．
(1)求 的面积；
(2)取平面外一点 使得 ，设 为 的中点，若 ，求二面角
的余弦值．
考点十、立体几何中的新定义问题
1．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知 ， ， ，定义一种运算：
，在平行六面体 中，
， ， .
(1)证明：平行六面体 是直四棱柱；
(2)计算 ，并求该平行六面体的体积，说明 的值与平行六面体
体积的关系.
2．（2022·辽宁沈阳·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三
个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ， ，
分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所
示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之
和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面
的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶
点的曲率为
.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.3．（23-24高一下·福建三明·期末）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点
处的离散曲率为 ，其中
为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面
和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面. ”已知在直四棱柱 中，底面
为菱形. . （角的运算均采用弧度制）
(1)若 ，求四棱柱 在顶点 处的离散曲率；
(2)若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，求 与平面 的夹角的正弦值；
(3)截取四面体 ，若该四面体在点 处的离散曲率为 与平面 交于点 ，证明：
.
4．（2024高三·全国·专题练习）我们知道，二元实数对 可以表示平面直角坐标系中点的坐标； 那
么对于 元实数对 （ ， 是整数），也可以把它看作一个由 条两两垂直的“轴”构成的
高维空间（一般记为 ）中的一个“点”的坐标表示的距离 ．
(1)当 时， 若 ， ， ， 求 ， 和 的值；
(2)对于给定的正整数 ，证明 中任意三点 满足关系 ；
(3)当 时，设 ， ， ，其中 ， ， ， ．求
满足 点的个数 ，并证明从这 个点中任取11个点，其中必存在 个点，它们共面或者以它们为顶点的
三棱锥体积不大于 ．
5．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，是关于曲
面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一项重要表述，建立了空间的局部性质和
整体性质之间的联系.其特例是球面三角形总曲率 与球面三角形内角和 满足： ，其中 为常
数，（如图，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为半径的圆）的圆弧联结起来，所围成的图形叫做球
面三角形，每个大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一
个角.球面三角形的总曲率等于 ， 为球面三角形面积， 为球的半径）.(1)若单位球面有一个球面三角形，三条边长均为 ，求此球面三角形内角和；
(2)求 的值；
(3)把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多
面体.设凸多面体 顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，试证明凸多面体欧拉示性数 为
定值，并求出 .
