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重难点突破04 立体几何中的轨迹问题
目录
立体几何中的轨迹问题常用的五种方法总结：
1、定义法
2、交轨法
3、几何法
4、坐标法
5、向量法
题型一：由动点保持平行求轨迹
例1．（2023·贵州铜仁·高二贵州省铜仁第一中学校考开学考试）设正方体 的棱长为1，
点E是棱 的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：①如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ；
②如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
③如果 ∥平面 ，则点M的轨迹所围成图形的周长为 ；
④如果 ，则点M的轨迹所围成图形的面积为 ．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由 面 ，而 面 ，则 ，又 ，
又 ， 面 ，则 面 ，
由 面 ，则 ，同理 ，
， 面 ，则 面 ，
所以 垂直于面 所有直线，且 面 ，
若 ，则 在边长为 的正△ 的边上，
故轨迹图形面积为 ，①对；
若 分别为 中点，连接 ，
由正方体的性质易得 ， ，
所以 共面，且 为平行四边形，故面 即为面 ，由 面 ， 面 ，则 面 ，
同理可得 面 ， ， 面 ，
所以面 面 ，要使 ∥平面 ，则 在△ 的边上，
所以轨迹长为 ，②错；
若 分别为 的中点，连接 ，显然 ，
所以 共面，即 面 ，
由 ， 面 ， 面 ，则 面 ，
又 ，同理可得 面 ， ， 面 ，
所以面 面 ，故面 内任意直线都与面 平行，
要使 ∥平面 ，则 在四边形 的边上运动，
此时轨迹长为 ，③对；
若 分别是 的中点，并依次连接，
易知 为正六边形，显然 ， ，
由 面 ， 面 ，则 面 ，同理可得 面 ，
， 面 ，所以面 面 ，
由 面 ，则 面 ，故 垂直于面 所有直线，
要使 ，则 在边长为 的正六边形 边上运动，所以轨迹图形面积为 ，④对；
故选：C
例2．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）在棱长为1的正方体 中，E在棱
上且满足 ，点F是侧面 上的动点，且 面AEC，则动点F在侧面 上的轨
迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图，取 的中点 ，并连接 、 、 ，
因为E在棱 上且满足 ，即E是棱 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
又 ，所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面 ，所以动点F在侧面 上的轨迹即为 ，
因为正方体的棱长为1，由勾股定理有： .
故答案为： .
例3．（2023·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）如图所示，在棱长为2的正方体
中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面 内（包括边界）一动点，且 ∥平
面EFG，则P点的轨迹长度为【答案】2
【解析】因为 ∥ ，则 四点共面，
连接 ，
因为E，F分别为所在棱的中点，则 ∥ ，
且 平面FGE， 平面FGE，所以 ∥平面FGE，
因为F，G分别为所在棱的中点，则 ∥ ，
且 平面FGE， 平面FGE，所以 ∥平面FGE，
， 平面 ，
所以平面FGE∥平面 ，且平面 平面 ，
可得当且仅当点P在棱BC上时，即 平面 ，满足 ∥平面EFG，
所以点P的轨迹为线段BC，长度为2.
故答案为：2.
变式1．（2023·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期末）如图，在正三棱柱
中， ， ， 分别为 ， 的中点．若侧面 的中心为 ， 为侧面
内的一个动点， 平面 ，且 的轨迹长度为 ，则三棱柱 的表面积为
．【答案】 /
【解析】
连接 交 于 ，取 的中点 ，过 作 ，
分别交 于 ，连接 ，
易得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，因为 ，且都在面 内，所以平面 平面 ，
所以 的轨迹为线段 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故三棱柱 的表面积为 .
故答案为： .
变式2．（2023·江苏扬州·高二统考期中）如图，正方体 的棱长为2，点 是线段 的中点，点 是正方形 所在平面内一动点，若 平面 ，则 点轨迹在正方形 内的
长度为 .
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示：
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ， ，
所以平面 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 点在平面 的轨迹为 .
所以 .
故答案为：
变式3．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）正方体 的棱长为3，点 ， 分
别在线段 和线段 上，且 ， ，点 是正方形 所在平面内一动点，若
平面 ，则 点的轨迹在正方形 内的长度为 .
【答案】
【解析】如图，在 上取点 ，使得 ，在 上取点 ，使得 ，连接 .
根据正方体的性质可知， ， .
由已知可得， ，
又 ，所以 .
又 ，所以，四边形 为平行四边形，
所以， ，且 .
同理可得， ，且 ， .
根据正方体的性质可知， ，且 ，
所以， ，且 ，
所以，四边形 是平行四边形，
所以， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理可得， 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以，平面 平面 .
又平面 平面 ，
所以，根据面面平行的性质定理可知，只有 在线段 上运动时，满足条件.
过点 作 ，垂足为 ，易知 ，且 ， ，
所以， .
故答案为： .
变式4．（2023·全国·高三专题练习）在边长为2的正方体 中，点M是该正方体表面及其
内部的一动点，且 平面 ，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ．
【答案】
【解析】如图，边长为2的正方体 中，
动点M满足 平面 ，
由面面平行的性质得：当 始终在一个与平面 平行的面内，即满足题意，
连接 ， ， ，
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，同理 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以动点M的轨迹所形成区域为 ，
，
，所以动点M的轨迹所形成区域的面积是 .
故答案为： .
变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为 分别是棱
的中点，点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，
则点 在四边形 内运动所形成轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ，如图所示：
分别是棱 的中点，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
因为 ，所以平面 平面 .
因为点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，直线 与平面 无公共点，
所以 的轨迹为线段 ，则 .
故答案为： .
变式6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 的棱长为 分别为 ，
的中点，点 是正方体表面上的动点，若 平面 ，则点 在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【解析】取 的中点 的中点 ，连结 ．正方体
的棱长为2． 为中点，所以 ，
所以 且 ．
因为 为分别为 的中点，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
因为 面 面 ，
所以 面 ．
同理可证： 面 ．
又 面 面 ，
所以面 面 ．
所以 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形 ．
因为正方体 的棱长为2，所以 ，
所以三角形 的周长为 ．
故答案为： .变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为 的正四面体 ， 为 的中点，动点 满足
，平面 经过点 ，且平面 平面 ，则平面 截点 的轨迹所形成的图形的周长为
.
【答案】
【解析】设 的外心为 ， 的中点为 ，过 作 的平行线，则以 为坐标原点，可建立如图
所示空间直角坐标系，
为等边三角形， ， ， ，
， ， ，
设 ，由 得： ，
整理可得： ，
动点 的轨迹是以 为球心， 为半径的球；
延长 到点 ，使得 ， ， ，
则 ， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，由 ， 平面 ，平面 平面 ，即平面 为平面 ，
则点 到平面 的距离 即为点 到直线 的距离，
， ， ，即 ，
点 到直线 的距离 ，
截面圆的半径 ， 球被平面 截得的截面圆周长为 ，
即平面 截点 的轨迹所形成的图形的周长为 .
故答案为： .
题型二：由动点保持垂直求轨迹
例4．（2023·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在棱长为4的正方体 中，点P、Q
分别是 ， 的中点，点M为正方体表面上一动点，若MP与CQ垂直，则点M所构成的轨迹的周长
为 .
【答案】
【解析】如图，只需过点P作直线CQ的垂面即可，垂面与正方体表面的交线即为动点M的轨迹.
分别取 ， 的中点R，S，
由 ，知 ，易知 ，
又 ， ， 平面ABRS，
所以 平面ABRS，
过P作平面ABRS的平行平面 ，点M的轨迹为四边形 ，
其周长与四边形ABRS的周长相等，
其中 ， ，
所以点M所构成的轨迹的周长为 .
故答案为：
例5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）在正四棱柱 中， ，E为
中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为 .【答案】 /
【解析】如图，连接 ， ，由题可知， ， 平面A B C D .
1 1 1 1
因 平面A B C D ，则 .
1 1 1 1
又 平面 ， 平 ， ，则 平面 .又 平面 ，则
；
如图，过E做 平行线，交 于F，则F为 中点.连接 ，
过 做 垂线，交 于G.
由题可得， 平面 ，又 ，则 平面 .
因 平面 ，则 .
又 平面 ， 平面 ， ，则 平面 .
因 平面 ，则 ；
因 平面 ， 平面 ， ，则 平面 .
连接 ，则点P轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 .
注意到 ，
，则 ，故 .
则点 的轨迹的长为 .
故答案为： .
例6．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 为正方体 的内切球球面上的
动点， 为 的中点， ，若动点 的轨迹长度为 ，则正方体的体积是 .
【答案】【解析】如图所示：
正方体 ，设 ，则内切球的半径 ，
其中 为 的中点，取 的中点 ，连接 ,
则有： ,
又 , 平面 ，
所以 平面 ，
所以动点 的轨迹是平面 截内切球 的交线，
即平面 截内切球 的交线，
因为正方体 ， ，
如图所示：
连接 ,则有 且 ，
， 且 ，
设 到平面 的距离为： ，
则在三棱锥 中，有 ，
所以 ，
即 ，解得： ，
截面圆的半径 ，
所以动点 的轨迹长度为： ，
即 ，解得 ，
所以 ，正方体的体积： ，
故答案为： .
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 的所有棱长均为4，空间内的点 满足
，且 ，则满足条件的 所形成曲线的轨迹的长度为 .
【答案】 /
【解析】设 的中点为 ， 的中点为 ，易知 ，
因为 ，且 ，所以 点在以 ， 为直径的球上，
球心分别为 ， ，半径分别为 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
过 作 ，垂足为 ，则 ，
因为两球的交线为圆，所以 点轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
所以轨迹长度为 .
故答案为： .
变式9．（2023·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知
， ，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足 ，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】10
【解析】作母线 ， ，连接 ，
因为 ，所以 共面， 是圆柱的一个截面，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又由已知得 ，而 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由 得 ，所以 平面 ，
矩形 即为 点轨迹，
，则 ，又 ，
所以矩形 的面积为 ．
故答案为：10.
变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆周上一点，已
知 ，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成
图形的面积为 ．【答案】10
【解析】因为 是圆柱下底面圆 的直径，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
设过 的母线与上底面的交点为 ，过 的母线与上底面的交点为 ，连 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 在平面 内，又点 在圆柱的表面，所以点 的轨迹是矩形 ，
依题意得 ， ， ，所以 ，
所以矩形 的面积为 .
故点 的轨迹所围成图形的面积为 .
故答案为： .
变式11．（2023·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）如图，在直三棱柱 中， ，
， ，动点 在 内（包括边界上），且始终满足 ，则动点 的轨迹长度是
.
【答案】
【解析】在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， ，则四边形 为菱形，所以， ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， .
在平面 内，过点 作 ，垂足为点 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ， 、 平面 ，
所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
由于动点 又在 内，所以动点 在平面 与平面 的交线 上，
因为 ， ， ，
所以， ，
由等面积法可得 ，
因此，动点 的轨迹长度是 .
故答案为： .
变式12．（2023·山东枣庄·高一统考期末） ， 分别是棱长为1的正方体 的棱
的中点，点 在正方体的表面上运动，总有 ，则点 的轨迹所围成图形的面积为
.【答案】
【解析】取 中点 ，连接 ，设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为正方体 中 面 ， 面 ，
所以 ，
因为 面 ， ，
所以 面 ，
因为正方体 中 面 ， 面 ，
所以 ，
所以点 的轨迹为矩形 ，
在直角 中 ，
所以矩形 面积为 .
即点 的轨迹所围成图形的面积为 .故答案为：
变式13．（2023·四川广元·高二广元中学校考期中）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆
周上一点，已知 ， ，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点
的轨迹所围成图形的面积为 ．
【答案】
【解析】因为 是圆柱下底面圆 的直径，
所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
设过A的母线与上底面的交点为 ，过 的母线与上底面的交点为 ，连 ， ， ，
则四边形 为矩形，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以点 在平面 内，
又点 在圆柱的表面，
所以点 的轨迹所围成图形是矩形 ，
依题意得 ， ， ，所以 ，
所以矩形 的面积为 ，
故点 的轨迹所围成图形的面积为 ．
故答案为： ．
变式14．（2023·陕西榆林·高二校考阶段练习）如图，正方体 的棱长为 ，点 是棱
的中点，点 是正方体表面上的动点．若 ，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，
设 ，如下图所示．
因为四边形A B C D 是正方形，又点 是棱 的中点，点 是 的中点，
1 1 1 1
则 ， ， ，
所以， ，所以， ，
所以， ，
所以， ，即 ．
在正方体 中， 平面A B C D ，
1 1 1 1
又 平面A B C D ，所以 ，
1 1 1 1
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，同理可得， ，
又 ， 、 平面 ，所以， 平面 ．
所以 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为 的三边，
因为正方体 的棱长为 ，
由勾股定理可得 ，同理可得 ， ，
所以 的周长为 ．
故选：C．
题型三：由动点保持等距（或定长）求轨迹
例7．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）在棱长为1的正方体 中，点Q为侧面
内一动点（含边界），若 ，则点Q的轨迹长度为 ．
【答案】 /
【解析】由题意， 在面 的轨迹是以 为圆心，半径为 的四分之一圆弧，
所以轨迹长度为 .
故答案为：
例8．（2023·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校联考期末）已知正方体 的棱长为
3，动点 在 内，满足 ，则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】在正方体 中，如图，平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
， ， 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，
则 ，同理 ，而 ， ， 平面 ，
因此 平面 ，令 交平面 于点 ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，
而 ，于是 ，
因为点 在 内，满足 ，则 ，
因此点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆在 内的圆弧，
而 为正三角形，则三棱锥 必为正三棱锥， 为正 的中心，
于是正 的内切圆半径 ，
则 ，即 ， ，
所以圆在 内的圆弧为圆周长的 ，
即点 的轨迹长度为
故答案为：
例9．（2023·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知正方体 的棱长为1，点P
在该正方体的表面 上运动，且 则点P的轨迹长度是 ．
【答案】
【解析】当 时，如图，点 的轨迹是在面 ， ， 三个面内以1为半径，圆
心角为 的三段弧，所以此时点 点P在该正方体的表面 上运动的轨迹的长度为 ，
A B C D
1 1 1 1故答案为：
变式15．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点P在该正方体的表
面上运动，且 ，则点P的轨迹长度是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以点 可能在平面A B C D 内，可能在平面 内，可能在平面
1 1 1 1
内.
当点 在平面A B C D 内时，
1 1 1 1
由 平面A B C D ， 平面A B C D ，可知 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ，所以 ，
所以点 到 的距离为 ，
所以点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆与正方形A B C D 边界及其内部的交线.
1 1 1 1
如上图， ， ，
则 的长 ，A B C D
所以，当点 在平面 内时，点P的轨迹长度是 .
1 1 1 1
同理可得，当点 在平面 内时，点P的轨迹长度也是 .
当点 在平面 时，点P的轨迹长度也是 .
综上所述，点P的轨迹长度为 .
故答案为： .
变式16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）表面积为36π的球M表面上有A，B两点，且 为等边
三角形，空间中的动点P满足 ，当点P在 所在的平面内运动时，点P的轨迹是 ；
当P在该球的球面上运动时，点P的轨迹长度为 .
【答案】圆
【解析】设球的半径为r，则 ，解得r＝3，
在平面内，动点P的轨迹组成一个圆，以线段AB所在直线为x轴，以靠近点B且长度为1处为坐标原点，
则 ， ，此时动点P的轨迹方程为 ，
设其圆心为 ，则在空间中，z轴和xOy坐标平面垂直，
动点P的轨迹为xOy平面中的圆 绕x轴旋转一周形成球的球面，
如图所示，
所以点P的轨迹是两个球面的交线，这两个球分别是以M和 为球心，
在 中，结合余弦定理得到 .
设交线所围成的圆半径为R.则 ，
解得 .所以交线的长度为 .故答案为：圆；
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱柱 的体积为16， 是棱 的中点，
是侧棱 上的动点，直线 交平面 于点 ，则动点 的轨迹长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 、 交于点 ，连接 、 ，
因为 是棱 的中点，所以 ，则 为 的四等分点且 ，
由正四棱柱的性质可知 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，所以 、 、 、 四点共面，
所以平面 平面 ，
连接 交 于点 ，因为 是侧棱 上的动点，直线 交平面 于点 ，
所以线段 即为点 的轨迹，
如图在平面 中，过点 作 ，交 于点 ，因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 、 ， ，
依题意 ， ，
所以 ，
要求动点 的轨迹长度的最小值，即求 的最小值，即求 的最小值，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 、 时取等号，
所以 ，所以 ，即动点 的轨迹长度的最小值为 .
故答案为：
变式18．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为8的正方体 中，平面ABCD内一点E满
足 ，点P为正方体表面一动点，且满足 ，则动点P运动的轨迹周长为 ．
【答案】
【解析】 ，则 在 的延长线上，且 ，
由正方体性质知 平面 ，当 在平面 上时， 平面 ， ，由
得 ，因此 点轨迹是以 为圆心，2为半径的圆在正方形 内的部分即圆周的 ，
弧长为 ，从而知 点在以 为顶点的三个面内．
当 在棱 上时， ， ，
因此 点在面 时， 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在正方形 内的圆弧，圆弧的圆心角为 ，弧长为 ，同理 点在面 内的轨迹长度也为 ，
所以所求轨迹长度为 ．
故答案为： ．
变式19．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C
的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
设平面 的法向量
则有 ，令 ，则
则
设 ，则
∵ ，则
又∵PM=PD，则整理得：
联立方程 ，则
可得 ，可得
当 时， ，当 时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为 平面A′C′D ，则
故答案为： ．
变式20．（2023·河南许昌·高三统考阶段练习）三棱锥 的体积为 ，底面三角形 是边长为
的正三角形且其中心为 ，三棱锥 的外接球球心 到底面 的距离为2，则点 的轨迹长
度为 .
【答案】
【解析】三棱锥 的体积为 ，底面三角形 是边长为 的正三角形，
设三棱锥 的高为
所以 ，故 ，
又正三角形 的外接圆半径为 ，则 ，
又三棱锥 的外接球球心 到底面 的距离为2，所以三棱锥 的外接球半径 ，即 ，
又因为顶点 到底面 的距离为 ，
所以顶点 的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面 和截面圆之间）且球心 到该截面圆的距离为
，
所以截面圆的半径为 ，
故顶点 的轨迹长度是 ．
故答案为： ．
变式21．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ，二面角
的大小为 ，在侧面 内(含边界)有一动点 ，满足到 的距离与到平面 的距离相
等，则动点 的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】如图，过 作 于 ， 平面 于 ，
过 作 于 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角，
由 ，
得 ．
又 ，所以 ，
在 中，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
则直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
所以直线 与 的交点坐标为 ，
所以 的轨迹为线段 ，
长度为 ．
故答案为： ．题型四：由动点保持等角（或定角）求轨迹
例10．（2023·山东·高三专题练习）如图所示，在平行四边形 中，E为 中点， ，
， .沿着 将 折起，使A到达点 的位置，且平面 平面 .设P为
内的动点，若 ，则P的轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】
建立如图示空间直角坐标系，
则 ,
设
则
∴ \
,∵ ∴ ,
∴
整理化简得：
∴P的轨迹为圆，交 于 , 于 ,
则
∴ 所对应的圆心角 ，∴弧长为 ．
故答案为： ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体 中，点 是线段 的中点，
是正方形 （包括边界）上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为 .
【答案】 /
【解析】如图，在棱长为6的正方体 中，
则 平面 ， 平面 ，
又 ， 在平面 上， ， ，
又 ， ，
，即 ，
如图，在平面 中，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
由 ，知 ，
化简整理得 ， ，圆心 ，半径 的圆，
所以 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，即为图中的其中， ， ，则
由弧长公式知
故答案为： .
例12．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M为棱
的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹的长
度为 ．
【答案】
【解析】如图所示，取BC中点G，连接MG，NG，由正方体的特征可知MG⊥底面ABCD，
故MN与底面ABCD的夹角即 ，
∴ ，则 ，
故N点在以G为原点 为半径的圆上，又N在底面正方形ABCD上，
即N的轨迹为图示中的圆弧 ，
易知 ，
所以 长为 .故答案为： .
变式22．（2023·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知正方体 的棱长为2，点
为平面 内的动点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点 的轨迹所围成
的周长为 ．
【答案】
【解析】如图所示，连接 交平面 于 ，连接 ，
因为 平面 ，所以 ，又 ，且 与 相交，
所以 平面 ，所以 ，
同理可得 ，又 ，
所以 平面 ，
∴ 是 平面 所成的角，∴ ．
由 可得 ， ，即 ．
在四面体 中， ， 平面 ，
所以 ，所以 为 的中心，
又 ，．∴四面体 为正三棱锥，
如图所示：在等边三角形 中， ，，
∵ ，∴ ，即 在平面 内的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，∴周长为
.
故答案为：
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，
若使 的点P的轨迹长度为a；使直线 平面BDC的点P的轨迹长度为b；使直线AP与平面
ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为c．则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”符号连接）
【答案】b＜c＜a
【解析】若点 到点 的距离为2，则点 的轨迹为球的表面与正方体交轨，
在平面 内， 的轨迹为以 为圆心，2为半径的 圆弧，
由对称性知，这样的圆弧同样在平面 内和平面 内，故 的轨迹长度 ；
若 平面 ，则点 的轨迹为过点 且平行于平面 的平面与正方体交轨，
而平面 平面 ，所以点 的轨迹长度为三角形 的周长（除掉 点，不影响周长），故
，
若直线 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆锥的侧面与正方体交轨，
在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）；
在平面 内，点 的轨迹为对角线 （除掉 点，不影响）；
在平面 内是以点 为圆心2为半径的 圆弧，如图，故点 的轨迹长度为 ，
∵ ，∴ ，即 ．
故答案为： ．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 中， ，点E为平面 内的
动点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点E的轨迹所围成的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，连接 交平面 于 ，连接 ，
由题意可知 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角，
所以 ＝ .
由 可得 ，即 .
在四面体 中， , ,
所以四面体 为正三棱锥， 为 的重心，
如图所示：
所以解得 ， ,又因为 ，
所以 ，
即 在平面 内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
所以 .
故答案为: .
变式25．（2023·山西大同·高一统考期中）已知 是半径为2的球面上的四点，且
．二面角 的大小为 ，则点 形成的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】由题意， 为等腰直角三角形，且外接圆半径 ，圆心为 中点 ，
又 外接球半径 ，球心 ，则 ，
易知： 为等腰直角三角形，又二面角 的大小为 ，
由 为 外接圆直径，且面 面 ，则 与面 所成角为 ，
所以 到 外接圆圆心距离 ，故 外接圆的半径为 ，
注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，
轨迹在大球冠对应 外接圆优弧的一侧，在小球冠对应 外接圆劣弧的一侧，
所以 轨迹长度为 .
故答案为：变式26．（2023·贵州铜仁·高二统考期末）粽子是端午节期间不可缺少的传统美食，铜仁的粽子不仅馅料
丰富多样，形状也是五花八门，有竹筒形、长方体形、圆锥形等，但最常见的还是“四角粽子”，其外形
近似于正三棱锥．因为将粽子包成这样形状，既可以节约原料，又不失饱满，而且十分美观．如图，假设
一个粽子的外形是正三棱锥 ，其侧棱和底面边长分别是8cm和6cm， 是顶点 在底面 上的
射影．若 是底面 内的动点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则动点 的轨迹长为
．
【答案】
【解析】由题意可知 是底面等边三角形的 的中心，所以 ,
进而 ,
连接 ,由于 底面 ，所以 即为直线 与底面 所成的角，所以
,
因此点 在以 为圆心，半径为 的圆上运动，所以 的轨迹长为 ,
故答案为：
变式27．（2023·广东佛山·高二校联考期中）如图，正方体 的棱长为1，点P为正方形
A B C D
内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为 的点P的轨迹长度为（ ）
1 1 1 1A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线BP与下底面ABCD所成角等于直线BP与上底面A B C D 所成角，
1 1 1 1
连接 ，因为 ⊥平面A B C D ， 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ⊥ ，故 为直线BP与上底面A B C D 所成角，
1 1 1 1
则 ，
因为 ，所以 ，
故点P的轨迹为以 为圆心， 为半径，位于平面 内的圆的 ，
A B C D
1 1 1 1
故轨迹长度为 .
故选：B
变式28．在正方体 中，动点M在底面 内运动且满足 ，则动点M
在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】因为 ，故 在圆锥面上，该圆锥以 为轴， 为顶点，
而M在底面 内，
故动点M在底面 内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧 ．故选：A.
题型五：投影求轨迹
例13．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，D为线
段BC（端点除外）上一动点.现将 沿线段AD折起至 ，使二面角 的大小为120°，
则在点D的移动过程中，下列说法错误的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．点 在平面 上的投影轨迹是一段圆弧
C． 与平面 所成角的余弦值的取值范围是
D．线段 的最小值是
【答案】D
【解析】过点B作AD的垂线,交AD于点E,连接 , ,过点 作BE的垂线,交BE于点H,易知 ,
则 平面 ,所以 为二面角 的平面角的补角,即 ,所以
,即H为BE的中点,易知平面 平面 ,又 ,所以 平面ABC,所以
在平面ABC上的投影为点H,
对于选项A,若 ,连接CH,则 ,而这是不可能成立的,故A正确；对于选项B,因为 ,所以点E的轨迹为以AB为直径的一段圆弧,又H为BE的中点,所以点H的轨
迹也为一段圆弧,故B正确；
对于选项C,连接AH,则 与平面ABC所成的角为 ,设 ,则 ,所以由
,得 ,所以 ,所以 ,所
以 ,所以 ,故C正确；
对于选项D,设 ,则 , ,
,
其中 ,故 ,故D错误,
故选:D
例14．（2023·江苏徐州·高二徐州市第一中学校考阶段练习）如图，在等腰 中， ，
， 为 的中点， 为 的中点， 为线段 上一个动点（异于两端点）， 沿 翻
折至 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在线段 上运动时，以下说法不正确的是
（ ）．A．线段 为定长 B．
C． D．点 的轨迹是圆弧
【答案】B
【解析】翻折后的立体图形，如图所示．
对A，因为点 在平面 上的投影为点 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
故 为直角三角形，又 为斜边 的中点，
所以 为定长.
故A正确．
对C，当 在 处时，此时点 在平面 上的投影为点 与 重合，故 ，
又在 中， ，因为 为线段 上一个动点（异于两端点），
所以 .
故C正确．
对D，因为 ， 为 的中点，所以点 的轨迹是圆弧．
故D正确．
故选：B．
例15．（2023·江西赣州·高二南康中学校考阶段练习）在等腰直角 中， ， ， 为
中点， 为 中点， 为 边上一个动点， 沿 翻折使 ，点 在平面 上的投影为点 ，当点 在 上运动时，以下说法错误的是
A．线段 为定长 B．
C．线段 的长 D．点 的轨迹是圆弧
【答案】B
【解析】如图所示，
对于A中，在 为直角三角形，ON为斜边AC上的中线， 为定长，即A正确；
对于C中，点D在M时，此时点O与M点重合，此时 ， ，此时 ，即正确；
对于D，由A可知，根据圆的定义可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；
故选B．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知水平地面上有一半径为4的球，球心为 ，在平行光线
的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E， ．若光线与
地面所成角为 ，椭圆的离心率 ．
【答案】 /
【解析】连接 ,
因为 ，所以 ,
所以 ,
在照射过程中，椭圆的短半轴长是球的半径，即 ，
如图，椭圆的长轴长 是 ，过点 向 作垂线，垂足为 ，
由题意得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以椭圆的离心率为 ，
故答案为：
变式30．（2023·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在 中， ， ， .过
的中点 的动直线 与线段 交于点 .将 沿直线 向上翻折至 ，使得点 在平面
内的投影 落在线段 上.则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】因为翻折前后 长度不变，所以点 可以在空间中看做以 为球心，AC为直径的球面上，
又因为 的投影始终在 上，所以点 所在的面 垂直于底面 ，
故点 轨迹为垂直于底面ABC的竖直面 去截球 所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为 时，
的长度（由余弦定理可得 ，所以此时 ），
如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系，
得点 ，点 ，
设点 ，翻折后点 的投影 在 轴上，
所以点 纵坐标为0，即 由 ， ，
根据空间两点之间距离公式可得 轨迹： ，
又因为动点 要符合空间面翻折结论： ，
即 ，其中 ，
又动点N在线段AB上动，设 ，
故 ，
且 ，由 ，可计算得 横坐标范围为 ，
且点 在上方，由 ， 计算可得圆弧所在扇形圆心角为 ，
所以弧长为 .
故答案为： .
变式31．（2023·北京·高三专题练习）如图，在矩形 中， ， ， 为线段 上一动点，现将 沿 折起得到 ，当二面角 的平面角为 ，点 在平面 上的投影为 ，
当 从 运动到 ，则点 所形成轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】根据折叠关系找出与 有关的几何关系，得出点 的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫
过的弧长即可求解.
在折叠后的图中，作 垂足为 ，连接 ，根据三垂线定理， ，
所以 就是二面角 的平面角为 ， ，
根据折叠关系， 与 全等，对应边上的高位置相同，即 在线段 上，
且 是线段 的中点，取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以点 的轨迹为以 为直径的圆的一部分，当 从 运动到 ，点 在圆周上从点 运动到
，这段弧所对圆心角为 ，这段弧长为 .
故答案为：
题型六：翻折与动点求轨迹
例16．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， 是 的中点， ，将 沿
折起得到 ，设 的中点为 ，若将 绕 旋转 ，则在此过程中动点 形成的轨迹长度
为 .
【答案】 /
【解析】如图，设 的中点为 ， 绕 旋转 ，此时平面 平面 ，取 中点 ， 中
点 ， 中点 ，
连接 .
， ， 和 是等腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，又
面 ，
面 ， 面 ，同理 面 ，又 ， 面 面 ，又平
面 平面 ，
故面 面 ，又面 面 ， ，故 面 ，又 面 ，
，
故动点 形成的轨迹长度为 .
故答案为： .
例17．（2023·全国·高三专题练习）矩形ABCD中， ，E为AB中点，将△ADE沿DE折起
至△A'DE，记二面角A'-DE-C=θ，当θ在 范围内变化时，点A'的轨迹长度为
【答案】 ；
【解析】取 的中点为 ，连接 ，则 ，故 在以 球心， 为半径的球面上.
过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 .
在矩形 中， ，故 ，
故 ，而 ，故 平面 ，
故 在过 且垂直于 的平面上，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上，
而 为二面角 的平面角，故 ，
故点 的轨迹长度为 ，
故答案为： .
例18．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在平行四边形 中， 为 中点， ，
， .沿着 将 折起，使 到达点 的位置，且平面 平面 .若点 为
内的动点，且满足 ，则点 的轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】因平面 平面 ，平面 平面 ， ，于是得 平面 ，
而 ，则 平面 ，
从而得PE，PD分别是PB，PD在平面 内的射影，如图， ，，而 ，则 ，
在 所在平面内以点E为原点，射线ED、 分别为x，y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ，设 ，于是得 ，整理得 ，
从而得点P的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆，圆M交 分别于Q，N，
显然 ，圆M在 内的部分是圆心角 所对的弧 ，弧 长为 ，
所以点 的轨迹的长度为 .
故答案为：
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2， .将菱形沿对角线AC折叠
成大小为60°的二面角 .设E为 的中点，F为三棱锥 表面上动点，且总满足
，则点F轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】连接AC、BD，交于点O，连接OB′，
ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均为正三角形，所以∠B′OD为二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，
又因为OB′＝OD，所以△B′OD为正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝ ，
取OC中点P，取CD中点Q，连接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，
所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，
所以在三棱锥B'﹣ACD表面上，满足AC⊥EF的点F轨迹的△EPQ，
因为EP＝ OB′，PQ＝ OD，EQ＝ B′Q，所以△EPQ的周长为 ，
所以点F轨迹的长度为 ．
故答案为：
变式33．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）在矩形ABCD中， ， ，点E在CD上，
现将 沿AE折起，使面 面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长
度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，将 沿 折起，使平面 平面 ，在平面 内过点 作 垂足 为
在平面 上的射影，连接 ,由翻折的特征知，则 ，故 点的轨迹是以 为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是 ，
如图当 与 重合时， ,所以 ，
取 为 的中点，得到 是正三角形.
故 ，
其所对的弧长为 ；
故选：D.
变式34．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形 的各边长为 ．如图所示，将 沿
折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 ． 是线段 的中点，
点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点 ，则 ，
∴ 平面 ， ，又 ，∴ ，作 ，设点 轨迹
所在平面为 ，则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 的中心分
别为 ，易知 平面 平面 ，且 四点共面，由题可得
， ，解Rt ，得 ，又
，则三棱锥 外接球半径 ，易知 到平面 的距离，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 ．
故选：C
变式35．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD
折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，
点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】C
【解析】由题意，在平面BCD内作BQ⊥CD，交CD于Q，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD与平面
ACD交于CD，所以BQ⊥平面ACD，又BP⊥平面ACD，所以P,Q两点重合，于是随着点D的变化，
BP⊥CD始终成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始终成立，即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部
分，由题意知随着点D的变化，∠BCD的范围为 ，可得点P的轨迹是以BC为直径（半径为1）的
圆的 ，即得点P的轨迹长度为 .
故选：C.
变式36．（2023·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考期中）如图，在长方形 中，
， ，点 为线段 上一动点，现将 沿 折起，使点 在面 内的射影 在直
线 上，当点 从 运动到 ，则点 所形成轨迹的长度为A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K
为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是 ，
如图当E与C重合时，
AK= = ，
取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．
故∠KOA= ，∴∠KOD'= ，
其所对的弧长为 = ，
故选：
变式37．（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形 中， ， 分别是底
边 的中点，把四边形 沿直线 折起使得平面 平面 .若动点 平面 ，
设 与平面 所成的角分别为 （ 均不为0）.若 ，则动点 的轨迹围成的图形的
面积为( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ,∵平面 ⊥平面 ,交线为 ,BE,CF在平面BCFE中，且BE,CF都垂直于
交线EF,由面面垂直的性质定理得BE⊥平面ADFE,CF⊥平面ADFE,∴∠BPE,∠CPF分别为直线PB,PC与
平面ADFE所成的角，∠BPE= ,∠CPF= .
∵PE,PF 平面ADFE,∴BE⊥PE,CF⊥PF,
∴ ⊂ ， ，
∵ ， ，∴ ．
以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，如图所示：
设 ， ， ，则
∴3x2+3y2+5ax+ a2=0，即 ，轨迹为圆，面积为 ．
故答案选： ．
