文档内容
秘籍 04 三角函数求归类
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：多个条件同时出现易弄混k的取值
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】利用单调性、对称轴、对称中心求ω
【题型二】 极（最）值点“恰有”型求ω
【题型三】 极（最）值点“没有”型求ω
【题型四】 极（最）值点“至少、至多”型求ω
【题型五】 最值与恒成立型求ω
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 求的范围和最值
三角函数作为基础题题型之一，在新结构试卷中，原本第一道解答题的位置可能被替代，所以小题的
三角函数问题就会突出，常考的齐次化切、范围相关的问题都会是今年的重点题型，范围相关的问题一
般有整体法和卡根法两种解法，根据学生掌握情况自主学习，这里用的大多是整体法，需要清晰的分清
对于三角函数图象的影响以及题干的条件从而用对应的方法解决。
易错点：多个条件同时出现易弄混k的取值
易错提醒：
涉及到对称轴对称中心以及单调性多个同时出现时， ，不
要把所有的都写成一个k,因为需要多个式子，而这些式子的不一定一致， 即它们本身不一定相等.实际上建议换成不同的字母较合适。
例（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若函数 （ ， ）的最小正周期为 ，且
，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意 ，
所以 ，结合 ，得 ，
，
注意到 ，所以 的零点 关于 单调递增，
注意到 时， ，
所以我们只需考虑 即可，
现在让 ，解得 ，
从而 ，
结合 ，可知只能 ，此时 ，
即 的取值范围为 .
故答案为： .
变式1：（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数 在 上至少有两个不同零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 得 ，因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
从小到大将 的正根写出如下：
， ， ， ， ， ……，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，
当 时， ，此时 在 上至少有两个不同零点，
综上， 的取值范围是 .
故选：A
【题型一】利用单调性、对称轴、对称中心求ω
函数 的性质：
由 求增区间；由 求减区间.由 求对称轴.
由 求对称中心.
【例1】（多选）（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知 在区间 上单调递增，
则 的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】 ，
当 ，由 ，则 ，
则有 ， ，
解得 ， ，
即 ， ，
有 ， ，即 ，即 或 ，
当 时，有 ， 时，有 ，
故 的取值可能在 或 .
故选：AC.
【例2】（2024·安徽芜湖·二模）已知偶函数 的图像关于点 中心对称，且
在区间 上单调，则 ．
【答案】 /1.5【详解】因为偶函数 ，所以 ， ，
即 或 ，
又 的图像关于点 中心对称，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 函数单调，所以 ，即 ，
所以当 时， 符合条件.
故答案为：
【例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，且
在区间 上只有1个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ， 则 ，
当 时， ，则 ，
即有 ，解得 .
故选：C.
【变式1】（2024·陕西榆林·二模）已知函数 在 上单调，
的图象关于点 中心对称且关于直线 对称，则 的取值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【详解】由题意得 的图象关于点 中心对称且关于直线 对称，
故 ，则 ，
即 ，
由函数 在 上单调，
得 ，即 ，即 ，
解得 ，而 ，故 或1，或2，
当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，满足题意；
当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上不单调，
故 在 上不单调，此时不合题意；
当 时， ，则 ，结合 ，得 ，
则 ，此时 ，
当 时， ，由于 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，满足题意；综上， 或 .
故选：B
【变式2】（2024·安徽池州·模拟预测）已知函数 的部分图像如图所示，
则（ ）
A．直线 是 的对称轴
B．点 是 的对称中心
C． 在区间 上单调递减
D．当 时， 的值域为
【答案】A
【详解】由图知 ，所以周期 ．
又因为 ，所以 ，当 时， ，
所以 ．又因为 ，所以 ，即 ．
对于选项A，当 时， ， ，所以直线 是 的对称轴，故A正确；
对于选项B，当 时， ，所以点 不是 的对称中心，故B错误；
对于选项C，当 时， ，由正弦函数可知， 在区间 上不单调递减，
故C错误；
对于选项D，当 时， ， 的值域为 ，故D错误．故选：A.
【变式3】（多选）（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 （ ， ）满足
，且 在 上单调递减，则（ ）
A． B． 为奇函数
C． 的对称轴为 ， D． 在 上有3个零点
【答案】AC
【详解】由于 在 上单调递减， ，故 对应的点 是 的对
称中心，即 .
同样地由于 在 上单调递减，故最小正周期 .
同时，由于对任意的实数 ，方程 在一个形如 的区间上至多有两个根，且在有两个根的
情况下，这两个根的平均值 对应的直线 一定是 的的对称轴，而 ，
，从而 ，故 对应的直线 一定是
的的对称轴.
现在，由于 是 的对称中心， 是 的的对称轴，故 是 的对称轴. 而 在
上单调递减， ，故 ， 在 上单调递减.
再由 是 的对称中心，就知道 ，所以 ，故 .
此时得到 ，代入 得 ，即 .
从而 ，由 知 ，所以 ，即 .
经验证， 满足条件.
然后逐一验证各个选项：
我们已经推出 ，故A正确；由 ，知函数 在 处有定义但不过原点，从而不可能是奇函数，
B错误；
由于 当且仅当 ，即 ，即 ，故 的对称
轴是 ，C正确；
由于 当且仅当 ，即 ，即 ，故 在 上
的全部零点是 ，只有2个，D错误.
故选：AC.
【题型二】 极（最）值点“恰有”型求ω
【例1】（多选）（2024·全国·一模）设函数 在区间 上恰有两个极值点，两个零点，
则 的取值可能是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】AB
【详解】因为 .
令 ，则函数 在 上恰有两个极值点，两个零点.
结合 的图象，如图：
可得 ，所以 .
故选：AB
【例2】（2024·广西·二模）已知函数 在区间 上恰有两个零点，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
因为函数 在 上恰好有两个零点，所以 ，
解得 .
故选：D.
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若 ， ，且
在 上恰有3个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，得 ， ，
即 ， ，
所以 ．
因为 ， ，所以 ．
又 在 上恰有3个极值点，所以 解得 ；
或 （无解）；或 （无解）．
综上，实数 的取值范围为 .
故选：C．【变式1】（多选）（2024·广东·一模）已知函数 的图象向左平移
个单位后到函数 的图象（如图所示），则（ ）
A．
B． 在 上为增函数
C．当 时，函数 在 上恰有两个不同的极值点
D． 是函数 的图象的一条对称轴
【答案】BCD
【详解】根据平移性质，可设 ，
由图象可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，
对于A，则 ，即 ，故A错误；
对于B，当 时， ，由正弦函数单调性知， 在 上为增函数，故
B正确；
对于C， ，当 时， ，因为 ，所以 ，
显然 能取到 ，不能取到 ，所以函数 在 上恰有两个不同的极值点，故C正确；
对于D，因为 ，
所以当 时， 取得最大值，所以 是函数的一条对称轴，故
D正确.
故选：BCD
【变式2】（2024·辽宁抚顺·一模）已知 是函数 的两个零点，且
，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 轴对称，且函数 在
内恰有2个最值点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由 可得 或 ；
根据正弦函数图象性质可知 ，解得 ；
将函数 的图象向左平移 个单位后可得 为偶函数，
则 ，又 可得 ；
因此 ；
当 时，可知 ，
若函数 在 内恰有2个最值点，可知 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
【变式3】（2024·山东烟台·一模）若函数 在 上恰有5个零点，且在
上单调递增，则正实数 的取值范围为 .
【答案】
【详解】依题意，函数 ，由 ，得 ，
则 或 ，
由 ，得 ，由 在 上恰有5个零点，
得 ，解得 ，
由 ，得 ，即函数 在 上单调递增，
因此 ，即 ，且 ，解得 ，
所以正实数 的取值范围为 .
故答案为：
【题型三】 极（最）值点“没有”型求ω
涉及到三角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为 个周期．
【例1】（2024·陕西西安·二模）已知函数 ，若 ， ，且
在区间 上没有零点，则 的一个取值为 ．
【答案】 （答案不唯一）.
【详解】由题意，在 中， ，
∴ ,所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，即 ， ，
因为 ，所以 ，
令 ， ，
由题意知 在 上无零点，
故 ， ，
所以 ，即 ，
两式相加得 ，所以 ，
又 ，
所以，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
，
所以 的取值有5个，取其中一个填写即可.
故答案为： （答案不唯一）.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 内没有零点，则 的取
值范围为 .
【答案】
【详解】法一：因为函数 在 内没有零点，所以 ，
即 解得 .
由 ，得 ，又 ，故 只可取0，1，
当 时， ；
当 时， ，故 的取值范围为 .
法二： ，
令 ，得 ， ，所以 .
设 的最小正周期为 .
因为 在 内没有零点，所以 ，解得 .
对 ，
取 ，则 ，则 或 ，解得 或 ；
取 ，则 ，则 ，解得 .
故 或 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .
【例3】（多选）（2024·河南·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 是 的一个周期
B． 的值域是
C．若 在区间 上有最小值，没有最大值，则 的取值范围是D．若方程 在区间 上有3个不同的实根 ，则 的
取值范围是
【答案】BC
【详解】因为 ，
由题意可知： 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，可得 为偶函数，
对于选项A：因为 ，可知 不是 的一个周期，
又因为 ，
可知 是 的一个周期，故A错误；
对于选项B：当 ，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
可知：当 ，即 时， 取到最小值 ；
当 ，即 时， 取到最大值1；
所以 ，结合偶函数和周期性可知 的值域是 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，由选项B可知： ，故C正确；
对于选项D：方程 的实根即为 与 的交点横坐标，
作出 在 的图象，如图所示：由题意结合图象可知： ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，故D错误；
故选：BC.
【变式1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 ．若 在区
间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ,
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，解得 ；
若 ，因为 ，所以 ，
因为 在区间 内没有零点，
所以 ，解得 ；综上， ，
故选:D.
【变式2】（2024·全国·模拟预测）将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象
的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．若函数 在 上没有零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数 的图象先向右平移 个单位长度,得到 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象．
因为 在 上没有零点，所以 ，
解得 ， ．
因为 ，所以 时，可得 ； ，可得 ，
故 或 .
故选:C．
【变式3】（2024·安徽安庆·二模）已知函数 的图象关于点 对称，
且 在 上没有最小值，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
因为 的图象关于点 对称，所以 ，
故 ，即 ，
当 ，即 时，函数 取得最小值，
因为 在 上没有最小值，
所以 ，即 ，
由 解得 ，故 ，得 .
故选：B
【题型四】 极（最）值点“至少、至多”型求ω
求待定系数 和 ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 ，
则令 (或 )，即可求出 .
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，
若对 ， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【例1】（2022·安徽黄山·二模）函数 的部分图象如图所示，
为了得到 的图象，需将函数 的图象至少向右平移（ ）个单位长度.
A． B． C． D．【答案】A
【详解】由图象可知： ； 最小正周期 ，解得： ；
， ，
解得： ，又 ， ， ；
，
将 至少向右平移 个单位长度可得 .
故选：A.
【例2】（2023·全国·三模）已知函数 ，（ ）的图象在区间 内至多存在
3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 ，
画出 的图象，
要想图象在区间 内至多存在3条对称轴，则 ，
解得 .
故选：A
【例3】（多选）（2022·全国·模拟预测）已知某游乐场循环观光车路线近似为一个半径为 的圆，观光
车从起始站点 出发，沿图中顺时针方向行驶，记观光者从某次出发开始，行驶的时间为 小时. 、 是
沿途两个站点， 是终点站， 是该游乐场的观景点之一.已知该观光车绕行一圈的时间是固定的，且， ， .若要求起始站点 无论位于站台 、 之间的任何位置（异于 、 ），
观光车在 的时间内，都要至少经过两次终点站 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该观光车绕行一周的时间小于
B．该观光车在 内不一定会经过终点站
C．该观光车的行驶速度一定大于
D．该观光车在 内一定会经过一次观景点
【答案】ABD
【详解】对A，设该观光车的速度为 ，
构造函数 ，
则经过 时即为该函数的极大值点，经过 时即为该函数的极小值点，
由题意可知，函数 的最小正周期为 ，即A正确；
对B，因为 ，所以 ，
则当 时， ，
因为 ， ，则 ，
所以函数 在 上不一定有极大值点，即B正确；
对C，当 时，则 ，由题意可知 ，其中 ，整理得 ，
由 可得 ，
时， ； 时， ； ，
所以，该观光车的行驶速度不一定大于 ，即C错误；
对D，则当 时， ，
因为 ， ，则 ， ,
所以函数 在 上一定有极小值点，即D正确.
故选：ABD.
【变式1】（多选）（2022·福建·模拟预测）已知函数 ，其中 .对于任意的
，函数 在区间 上至少能取到两次最大值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期小于
B．函数 在 内不一定取到最大值
C．
D．函数 在 内一定会取到最小值
【答案】AD
【详解】由题意可知， ，即A正确；
因为 ，所以 ，
则当 时， ，又 ， ，
所以函数 在 上一定有最大值点，即B错误；
由题意可知，任意 ，总存在 ，使得：
，故 ，
整理得 ，
可得 ， ，即C错误；
当 时， ，
又因为 ， ，故 ，
所以函数 在 上一定有最小值点，即D正确.
故选：AD.
【变式2】（多选）已知将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的
图像，且 的图像关于 轴对称，函数 在 上至多存在两个极大值点，则下列说法正
确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． D． 的图像关于直线 对称
【答案】AD
【详解】将函数 的图像向左平移 个单位长度后，
得到函数 的图像，
因为 的图像关于 轴对称，所以 ，解得 .
又 ，所以 .当 时， ， 在 上只有一个极大值点，满足题意；
当 时， ， 在 上极大值点的个数大于2，
所以当 时， 在 上极大值点的个数大于2，
所以 ，故A正确，C错误；
又由 ，
当 时，即 ，解得 ，所以 的图像关于直线 对称，D正确；
当 时， ，此时 是单调递减的，B错误.
故选：AD.
【变式3】（2022·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若至少存在两个不相等的
实数 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 至少存在两个不相等的实数 ，使得 ，
当 ，即 时，必存在两个不相等的实数 满足题意；
当 ，即 时， ，
， ；
当 时，解集为 ，不合题意；令 ，则 ；令 ，则 ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【题型五】 最值与恒成立型求 ω
函数 的图象求解析式
.【例1】（2024·湖北·二模）已知函数 满足 恒成立，且在区间
上无最小值，则 ．
【答案】 /
【详解】由题意可知， 是函数的最大值，
则 ， ，得 ，
且在区间 上无最小值，所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
【例2】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数 （ ， ，
），满足： ， 恒成立，且在 上有且仅有4个零点，则（ ）
A． ，
B．函数 的单调递增区间为
C．函数 的对称中心为
D．函数 的对称轴为直线 ，
【答案】BCD
【详解】因为 ， 恒成立，所以 的最大值为 ，
则 ， ，即 ， ①．
又因为函数 在 上有且仅有4个零点，所以令 ，
所以 ②．联立①②
可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
当 时， ，由 ，可得 ， ；
当 时， ，由 ，无解；
综上所述， ， ，所以 ，故A错误；
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ，故B正确；
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称中心为 ，故C正确；
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称轴为直线 ， ，故D正确，
故选：BCD．
【例3】（多选）（2024·海南省直辖县级单位·一模）已知函数 （ ），则下列说
法正确的是（ ）
A．若 ，则 是 的图像的对称中心
B．若 恒成立，则 的最小值为2C．若 在 上单调递增，则
D．若 在 上恰有2个零点，则
【答案】ABC
【详解】选项A：若 ，则 ，
由正弦函数的图象可知 是 的图像的对称中心，A说法正确；
选项B：若 恒成立，则 ，解得 ，
又 ，所以 的最小值为2，B说法正确；
选项C：令 ，显然 在 上单调递增，且 ，
若 在 上单调递增，则 ，解得 ，所以 ，C说法正确；
选项D：当 时， ，
若 在 上恰有2个零点，则 ，解得 ，D说法错误；
故选：ABC
【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则函数 的对称中心为C．若函数 在 内单调递增，则 的取值范围为
D．若函数 在 内没有最值，则 的取值范围为
【答案】ACD
【详解】对A：由题意可知， ，由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
对B：若 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 的对称中心为 ，故选项B不正确；
对C：因为 ，令 ，
得 ，根据 的部分图象可知 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，故选项C正确；
对D：由选项C可知， ， 在 上单调递增．
因为 在 内没有最值，所以 ,又 ，可得 ，
故选项D正确.
故选：ACD．
【变式2】（2024·天津·模拟预测）已知 为偶函数，
，则下列结论错误的个数为（ ）
① ；
②若 的最小正周期为 ，则 ；③若 在区间 上有且仅有3个最值点，则 的取值范围为 ；
④若 ，则 的最小值为2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】对于①：若 ， 为偶函数，
则 ，即 ，又 ，所以 ，故①正确；
对于②：若 的最小正周期为 且 ，则 ，所以 ，故②正确；
对于③：由 ， ，得 ，
若 在区间 上有且仅有 个最值点，
则 ，解得 ，故③正确；
对于④：因为 ，若 ，
则 或 ， ，
解得 或 ，
又 ，所以 的最小值为 ，故④错误.
故选：A.
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数 在区间 上恰好有两个最值，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，当 时， ，
函数 在区间 上恰好有两个最值，由正弦函数的图象知 ，
解得 .故选：C.
