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第24 章 圆（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若
∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（ ）
A．60° B．50° C．30° D．10°
2．如图，将一块等腰 的直角顶点 放在 上，绕点 旋转三角形，使边 经过圆心 ，
某一时刻，斜边 在 上截得的线段 ，且 ，则 的长为（ ）
20
A．3cm B． cm C． cm D． cm
7
3．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB
＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
4．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则
∠AFE的度数（ ）A．10° B．20° C．30° D．40°
5．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是 、 的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝
β，则（ ）
A．α+β＝180° B．2β﹣α＝180° C．β﹣α＝60° D．2α﹣β＝60°
6．如图，在 中， 为直径， ，点D为弦 的中点，点E为 上任意一点，则 的
大小可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在
y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 ，那么经过第2026次旋转后，
顶点D的坐标为（ ）A． B． C． D．
8．如图，已知半圆 的直径 ，C是半圆上一点，沿 折叠半圆得到弧 ，交直径 于点
，若 、 的长均不小于2，则 的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
9．如图， 为 直径，C为圆上一点，I为 内心， 交 于D， 于I，若 ，
则 为（ ）
A． B． C． D．5
10．如图， 是等腰 的外接圆， 为弧 上一点， 为 的内心，过 作 ，
垂足为 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在半径为3的 中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使 ，连接AC、
BC、CD，如果 ，那么CD等于 ．
12．如图，半圆O的直径AB＝4cm， ，点C是 上的一个动点（不与点B，G重合），
CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值
为 cm2
13．在平面直角坐标系中，已知点 ．若在x轴正半轴上有一点C．使 ，则
点C的横坐标是 ．
14．若点O是等腰 ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则 ABC的面积为 .
15．如图，四边形△ 内接于 ， 为 的直径， △ ，连接 ，过点
作 ， ，垂足分别为点 、点 .则下列结论正确的是 .
① ；② ；③ 与 相切；④若 ， ，则 .16．如图，在扇形AOB中， ，点 为半径 的中点，以点 为圆心， 的长为半径作
弧 交 于点 ．点 为弧 的中点，连接 ．若 ，则阴影部分的面积为 ．
17．如图，已知 是 的直径，弦 于点 ， ．点 是劣弧 上任意一点（不与
点 ， 重合）， 交 于点 ， 与 的延长线相交于点 ，设 ．
①则 （用含 的代数式表示）；
②当 时，则 ．
18．如图， 是圆O的直径， ， ，点D是弦 上的一个动点，那么
的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图, 为 的直径, 与 相切于点E， 于点D，交 于点C，连接
．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 的长．
20．（8分）如图在 中， ，在其内部有一点 ，以 为圆心， 为半径的圆与
相切于点 交 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的半径．21．（10分）已知 与矩形 的三边相切， 边的切点为 ，与 交于 ， 两点， 为
的直径，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值．
22．（10分）如图，圆 是 的外接圆，其切线 与直径 的延长线相交于点 ，且 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求圆 的半径．23．（10分）如图，在 中， ， ，D是 上的动点，以D为圆心，
的长为半径作圆交 于点E，F，G分别是 上的点，将 沿 折叠，点A与点E恰
好重合．
（1）如图1，若 ，求证： 与直线 相切．
（2）如图2，若 经过点B，连接 ．
① 的长是___．
②判断四边形 的形状，并证明．
24．（12分）如图， 内接于 ，连接 ， ．（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，点 在 上，连接 ，点 是 上一点，连接 ，若 ，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长 交 于点 ，连接 ，若 ， ，
，求 的长．参考答案
1．D
【分析】根据CO=AO，∠COA＝60°，可得 为等边三角形，所以可得 ,再根据三角形
的外角等于剩余两个内角之和,即可求得∠ACD.
解：∵OA＝OC，∠COA＝60°，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
又∵∠CDO＝70°，
∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°．
故选D．
【点拨】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的任意一个外角等于剩余两个内角之和.
2．A
【分析】利用垂径定理得ME=DM=1，利用勾股定理和等腰三角形的性质得OM与DO的关系式，解得
结果．
解：过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO= h
∵AO=7-x，
∴ h＝7−x，在Rt DMO中，
h2=x2-△1，
∴2x2-2=49-14x+x2，
解得：x=-17（舍去）或x=3，
故选A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，作出适当的辅助线，数形结合，
建立等量关系是解答此题的关键．
3．A
【分析】如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于
则四边形 是矩形，再证明 是等边三角形，再分别求解 即可得到答案.
解：如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四
边形 是矩形，
是等边三角形，故选：
【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，
矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
4．A
【分析】设AB交EF于点D，先求出∠BAC＝80°，再求出∠BAF＝∠CAF＝40°，再由垂径定理易得
，进而得 ，再利用三角形外角定理即可求解
解：
连接AE，设AB交EF于点D
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝80°，
∵EF为⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵点F是BC弧的中点，
∴弧BF = 弧CF
，∠BAF＝∠CAF＝40°，
是 的外角
故选：A．
【点拨】本题考查了圆中角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出 是解
题关键．
5．B
【分析】连接DE、DC、BE，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到∠ACD＝∠BCD，同弧所对的
圆周角相等，∠ACD＝∠AED，即∠ACB＝2∠AED，∠ABC＝2∠ADE，在△ADE中三角形的内角和为
180°，可以得出∠ADE+∠AED＝180°﹣β，在△ABC中，∠A＝2，∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝360°﹣
2β，即可以得出β与α的关系．解：如图，
连接DE、DC、BE，
∵D、E分别是 、 中点，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵ ＝ ，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠BAC＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故选：B
【点拨】此题考查了三角形的内心和外心，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理和三角形的内
外心性质等．
6．C【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-
x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵ ，点D为弦 的中点
∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED= =20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案为C．
【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解
答本题的关键．
7．D
【分析】如图，连接 ， ，把 绕点 顺时针旋转 至 ，过点 作 轴于点 ，
过点 作 轴于点 ，经过第2026次旋转后，顶点D在 的位置，先求出点 的坐标，再证明即可．
解：连接 ， ，把 绕点 顺时针旋转 至 ，过点 作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，
在正六边形 中， ， ，
，
，
将正六边形 绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 ，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在 的位置，
，
即 ，
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规
律的方法，属于中考常考题型．
8．A
【分析】分如解图①，当点 在圆心 的左侧且 时，如解图②，当点 在圆心 的右侧且
时，两种情况求出AC的长，从而确定AC的取值范围即可得到答案．
解：如解图①，当点 在圆心 的左侧且 时，过 作 ，垂足为 ，连接 、 、
，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
如解图②，当点 在圆心 的右侧且 时，过 作 ，垂足为 ，连接 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴若 、 的长均不小于2，则 ，
∴ 的长可能是7，
故选A．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，无理数的估算等等，利
用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．A
【分析】如图，连接 ， ，由题意知， 平分 ， 平分 ，则 ，
， ， ，由
，可得 ，由垂径定理得
，则 ，由勾股定理得， ，如图，连接 交 于 ，则
，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即
，解得 ，进而可得 ， ，由勾股定理得，
，计算求解即可．
解：如图，连接 ， ，
由题意知， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
如图，连接 交 于 ，则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定
与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．A
【分析】作 于 ， 于 ，连接 ，在 上截取 ，连接 ，易证
，推出 是等腰直角三角形，进而得到四边形 是正方形，推出
，得到 ，同理得到 ，得到 ，即可得出结果．
解：作 于 ， 于 ，连接 ，在 上截取 ，连接 ，是等腰直角三角形，
， ，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是 的内心，
，
，
四边形 是正方形，
，
， ，
，
，
同理： ，
，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角
形的外接圆和内心．解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形．
11．
【分析】如图，连OA，OB．利用垂径定理和勾股定理求BE，利用中位线定理求CD．
解：如图，连OA，OB，∵B是弧AC的中点，AB＝BC＝BD，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
由垂径定理知，OB⊥AC，点E是AC的中点，
设 ,则 ,
由勾股定理知， ， ，
∴ ,
∵AB＝2，AO＝BO=3，
∴ ,
解得， ，
即
∵∠AEB＝∠ACD＝90°，
∴BE∥CD，
∵点B是AD的中点，所以BE是△ACD的中位线，所以CD＝2BE＝ ．
故答案为：
【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理求解
12．2
【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S DEF＝ ×EF×OD＝ ×2y×x＝xy，当xy的值最大
△
时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得 ；根
据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．∵
∴OG⊥AB，
∵S DEF＝ ×EF×OD＝ ×2y×x＝xy，
△
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点拨】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握
圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
13．
【分析】如图，以AB为边向右作等边 ABD，以D为圆心，DA为半径作 D交x轴正半轴为C，连
△ ⊙
接CA、CB，此时 满足条件．过点D作DJ AB于J，DK OC于K，则四边形OJDK
⊥ ⊥
是矩形，求出OK、KC，即可求解．解：如图，以AB为边向右作等边 ABD，以D为圆心，DA为半径作 D交x轴正半轴为C，连接
△ ⊙
CA、CB，此时 满足条件．
过点D作DJ AB于J，DK OC于K，则四边形OJDK是矩形，
⊥ ⊥
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
在Rt DCK中， ，
△
，
∴
点C的横坐标为
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形外接圆与外心，坐标与图形的性质，涉及到勾股定理、等边三角形的性质、
圆周角定理等知识点，解题的关键是作出辅助线构造图形解决问题，综合性较强．
14． 或
【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．
解：①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．
∵OB=OC，∠BOC=60°，∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，
∴AE=OA+OE=2+ ，
∴S = •BC•AE= ×2×（2+ ）=2+ ．
ABC
△
②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．
S = •BC•AE= ×2×（2- ）=2- ，
ABC
△
故答案为2+ 或2- ．
【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．
15．①③④
【分析】根据已知条件得出 ，根据圆内接四边形得出 ，进而得出
，根据圆周角定理即可判断①，不能确定 ，即可判断②；证明 得出
，根据三线合一得出 ，进而根据 是直径，得出 ，结合已知条件即可
判断③；证明 ， ，得出 ， ，进而即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，故①正确
∵不能确定
∴ 不一定成立，故②错误；
如图所示，连接 ，
∵ ，
∴
在 中，
∴
∴
∴
∵ 是直径，
∴ ，
即 ，∵
∴
∴
∴ 与 相切，故③正确；
∵ ， ， ,
∴
∴ ，
在 中，
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，故④正确
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上知识是解题
的关键．
16． /
【分析】连接 ， ， 交 于 ，如图所示，证明 ，求出四边形 的面积，进
而得到阴影部分 面积和阴影部分 面积，求和即可解决问题．
解：连接 ， ， 交 于 ，如图所示：
由点 为半径 的中点可知 ，
由圆的性质可知 ，即 ，
点 为弧 的中点，即 ，
，
在等腰 中， ， ，由等腰三角形“三线合一”可知 ，，点 为半径 的中点，
，
在等腰 中， ， ，
，
，则 ；
由圆的对称性可知， 面积等于阴影部分 ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形
转化为规则图形的面积来表示．
17．
【分析】①连接 ，先根据含 直角三角形的性质，得 ，再根据圆周
角定理，得 ， 即可得出结果；
②在 上取点 ，连接 ，使 ，先根据题意求出 ，设 ， ，
在 中和 中，根据勾股定理，求出 即可．
解：①如图，连接 ，
在 中， ， ，，
在 中， ，
，
， ，
在 中， ，
故答案为：
②在 上取点 ，连接 ，使 ，
由①中结论， ， ，
，
，设 ， ，
由①中结论，在 中， ，
，
，解得： ，，
，
故答案为： ．
【点拨】此题属于圆的综合题，考查了含 直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，解
答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
18．
【分析】作 ， 于E， 于M，连接 ．在 中， ，则
，根据垂线段最短可知，点E与M重合时， 的值最小，最小值为 ．
解：作 ， 于E， 于M，连接 ．
∵ 是 的直径，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时， 的值最小，最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
∴
∴
由勾股定理得， ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查平行线的性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，垂线段
最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
19．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）由 切 于点E知 , 结合 于点D知 , 从而得
, 即可得证；
（2）连接 交 于点F，证四边形 是矩形，根据三角形的中位线，即可得出答案．
解：（1）证明∶∵ 与 相切于点E，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ．
（2）解：连接 交 于点F，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ,点O是 的中点,
，
∴
【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性
质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键.
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）如图：连接OD，由切线的性质可得 ，即 ．再根据对顶角的性
质可得 等边对等角可得 ，进而说明 ，最后根据等角对等边即可证明结论；
（2）如图：过 作 ,设 的半径为r，则 ．由垂径定理可得 ，则
，然后在 中利用勾股定理列式求得r即可解答．
（1）解：如图：连接OD，
∵ 与 相切，∴ ，即 ．
∵ ，即 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图：过 作 ,
设 的半径为r，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴在 中，由勾股定理可得， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵
活利用相关性质定理是解答本题的关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据切线和矩形的性质可得 即 ，再由等腰三角形的性质可得
，最后运用等量代换即可证明结论；
（2）由 ， ，然后根据角的关系说明，设圆的半径为r，连接 ，分别根据直角三角形的性质和勾
股定理可得 、 ，进而得到 ，最后代入计算即可．
解：（1）证明：如图：连接 ，
∵ 边的切点为 ,
∴ ,
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由（1）可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,即 ,解得： ，
∴ ,
设圆的半径为r，连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ,
∵ ，∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴
∴ ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，理解圆
的切线的性质和矩形的性质是解答本题的关键．
22．（1） ；（2）2
【分析】（1）连接 ，设 ，由等腰三角形的性质可得 ，再结合 ，可
知 ， ，结合切点的性质可知 ，利用三
角形内角和定理可求得 ，进而求得 ，利用圆周角定理即可求得 的度数；
（2）连接 ，设圆 的半径为 ，则 ， ，由（1）可知， ，则在
中，可有 ， ，再在 中，由勾股定理可解得 ，
即可获得答案．
（1）解：如图，连接 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∵ 是圆 的切线，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 中，由三角形的内角和定理得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
则由圆周角定理得 ，
即 的度数为 ；
（2）如图，连接 ，
设圆 的半径为 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是圆 的直径，
∴ ，
由（1）可知， ，
则在 中， ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则圆 的半径为2．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、切点的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性
质、三角形内角和定理以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
23．（1）见分析；（2）① ；②菱形，证明见分析
【分析】（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，证明 即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出 ,再由弧长公式进行计算即可；②证明四边形 是
平行四边形即可得出结论．解：（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，如图，
∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 与直线 相切；
（2）①如图，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,∴ 的长是 ；
故答案为： ；
②由折叠得， ,
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
又 ,
∴四边形 是菱形
【点拨】本题主要考查了切线的判定、弧长公式以及菱形的判定，证明四边形 是平行四边形是
解答本题的关键．
24．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）
【分析】（1）过点 作 ，如图所示，由垂径定理可知： ，
再由 得到 ，即可得证；
（2）延长 交 于 ，如图所示，由（1）知 ，从而由等腰三角形“三线合一”得到
，且 ，从而得到 ，即可有
，由内错角相等两直线平行得到 ，进而 ，即 ；
（3）连接 ，延长 交 于点 ，证明 ，利用勾股定理即可解
答．
解：（1）证明：过点 作 ，如图所示：由垂径定理可知， ，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）证明：延长 交 于 ，如图所示：
由（1）知 ，
根据 ，从而由等腰三角形“三线合一”得到 ，且 ，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ；
（3）解：如图，连接 ，延长 交 于点 ，根据（2）中可得 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
，
，
，
，，且 为直径，
，
．
【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作
出辅助线是解题的关键．
