文档内容
通关秘籍 06 概率统计
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：回归方程
易错点二：独立性检验的意义
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】条件概率
【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
【题型四】 二项分布
【题型五】 超几何分布
【题型六】 正态分布
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 全概率公式、正态分布、总体百分位数的估计
概率属于解答题必考题，大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归
方程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的
判断以及正态分布也是需要熟练掌握的。今年还需对冷门的知识点，比如用样本方差估计总体方差、最小
二乘法、残差等知识点的掌握和理解。均是书本上提到的内容，但长久未考，学生都容易忽视。
易错点一：回归方程
(1)回归方程为 ，其中 .(2)通过求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的
距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.
例（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因
花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度
和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为 ，利用最小二乘法求
得相应的经验回归方程为 ，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，
把 代入 可得 ，C选项正确；
由于 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据
的相关系数不一定是 ，D选项错误
故选：C
变式1：（2024·青海海南·一模）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发
展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模
拟，得到研发投入 （亿元）与经济收益 （亿元）的数据，统计如下：
研发投入 亿元 1 2 3 4 5
经济收益 亿元 2.5 4 6.5 9 10.5
(1)计算 的相关系数 ，并判断是否可以认为研发投入 与经济收益 具有较高的线性相关程度：（若
，则线性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高）
(2)求出 关于 的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
参考数据：附：相关系数 ，线性回归方程的斜率 ，截距
．
【答案】(1) ，
(2) ，约为 亿元
【详解】（1）依题意 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以可以认为研发投入 与经济收益 具有较高的线性相关程度；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
当 时 ，所以当研发投入 亿元时的经济收益约为 亿元.
变式2：（2024·全国·模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期
作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养
液，现
统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数 与作物高度 之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度 关于
天数 的线性回归方程 （其中 用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为 ，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高
度的残差.参考公式： .参考数据： .
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）依题意， ，
，
故 ，
，故所求回归直线方程为 .
（2）由（1）可知，当 时， ，
故所求残差为 .
易错点二：独立性检验的意义
独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断.
例 （2024·吉林·模拟预测）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅
游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游
客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游
是否与收看短视颍有关联：单位：人
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
客
北方游
客
合计
(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之
一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 次传递后球回到甲的概率；（ii）记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 ；
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，无关
(2)（i） ；（ii）
【详解】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
200 100 300
客
北方游
80 120 200
客
合计 280 220 500
零假设 ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联．
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
（2）（i）设经过 次传递后回到甲的概率为 ，
， ，
又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（ii）（方法一）
设第 次传递时甲接到球的次数为 ，则 服从两点分布， ，
设前 次传递中球传到甲的次数为 ，，
因为 ，所以 .
（方法二）
设第 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为 与 ，则 服从两点分布，
，由题可知 ， ，
又 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ，
，
故 .
变式1： （2024·河北沧州·一模）流感病毒是一种 病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲
流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲
流
药品 和治疗甲流药品 ，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的
100个样本数据，得到如下2×2列联表：
甲流病毒
预防药品 合计
感
未感染
染
未使用 24 21 45
使用 16 39 55
合计 40 60 100
(1)根据 的独立性检验，分析预防药品 对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品 对该动物进
行治疗，已知治疗药品 的治愈数据如下：对未使用过预防药品 的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品 的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感
染动物中被治愈的动物只数为 ，求 的分布列与数学期望．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）假设 ：使用预防药品 与对预防甲流无效果，
由列联表可知 ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为使用预防药品 与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）设事件 表示使用治疗药品 并且治愈，事件 表示未使用过预防药品 ，事件 表示使用过预
防药品 ，
由题意可得 ，
且 ，
则 ，
治疗药品 的治愈概率 ，
则 ，
所以 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列为
0 1 2 3
.【题型一】条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件
概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)= .
【例1】（多选）（2024·湖南娄底·一模）对于事件 与事件 ，若 发生的概率是0.72，事件 发生
的概率是事件 发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．若事件 与事件 互斥，则事件 发生的概率为0.36
B．
C．事件 发生的概率的范围为
D．若事件 发生的概率是0.3，则事件 与事件 相互独立
【答案】BCD
【详解】对于 ，若事件 与事件 互斥，则 ，所以
，故A错误；
对于B， ，故 正确；
对于C， ，
若事件 与事件 互斥，则 ，此时 取到最小值为0.24，若 ，此时
取到最大值为 ，故C正确；
对于D， ，则 ，由 ，
得 ，则事件 与事件 相互独立，故D正确.
故选：BCD.
【例2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，
每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件 ，“第二次取到红球”为事件 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 .
故选：C.
【例3】（2024·辽宁沈阳·二模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排
列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图就是一重卦．在所有重卦
中随机取一重卦，记事件 “取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件 “取出的重卦中至少有3个阳爻”．
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，事件 “取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，
则 ，则
故选：C
【变式1】（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个
地往外取球（不放回），记事件 表示“第 次取出的球是黑球”， ，则下面不正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是 ，它们等可能，对于A， 表示第3次取出黑球， ，A正确；
对于B， 表示第1次、第2次取出的球都是黑球， ，B正确；
对于C， ， ，
所以 ，C正确；
对于D， ，所以 ，D错误.
故选：D
【变式2】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一
枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1
分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】用 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含 个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即 包含的基本事件有
，共15个，概率为
.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是 ，得1分的概率为 .
所以每一轮甲得分低于3分的概率为 ．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件 表示经过三轮比
赛，甲没有比赛得分为3分.
则 ， .
事件 可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为 ；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为 ；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为 .
所以 ，
所以 .
故选：B．
【变式3】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走
1级台阶的概率为 ，走2级台阶的概率为 .小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件
下，他走了3步的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设事件 “小明爬到第4级台阶”， “小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件 包含三种情况：①小明走了4步到第4级台阶，概率为 ；
②小明走了3步到第4级台阶，概率为 ，即 ；
③小明走了2步到第4级台阶，概率为 ；
所以 ，
.
故选：B
【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
一般地,设A,A,…,A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)＞0，i＝1,2，…，n，则对
1 2 n 1 2 n i
任意的事件B Ω，有
⊆
P(B)= P(A)P(B|A)
i i我们称上面的公式为全概率公式．
*贝叶斯公式：
一般地，设 是一组两两互斥的事件， ，且 ，
则对任意的事件 ，有
【例1】（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从
甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中
取出的也是2个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设从甲中取出 个球，其中白球的个数为 个的事件为 ，事件 的概率为 ，从乙中取出
个球，其中白球的个数为2个的事件为 ，事件 的概率为 ，由题意：
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为
故选：C
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯
统计理论，随机事件 ， 存在如下关系： .若某地区一种疾病的患病率是0.05，
现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为 ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 的可能呈现阳性；该试剂的误报率为 ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检
测，有 的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件 ，
则 ， ， ， ，
故 ，
则所求概率为 .
故选：C.
【例3】（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.
选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜
的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，记选“初心”队为事件 ，选“使命”队为事件 ，该单位获胜为事件 ，
则 ,
因此 ，
所以选“使命”队参加比赛的概率 .
故选：D
【变式1】（多选）（2024·山西朔州·一模）在信道内传输 信号，信号的传输相互独立，发送某一
信号时，收到的信号字母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率均为 ．若输入四个相
同的信号 的概率分别为 ，且 ．记事件 分别表示“输
入 ”“输入 ”“输入 ”，事件 表示“依次输出 ”，则（ ）
A．若输入信号 ，则输出的信号只有两个 的概率为
B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为 ，收到其他两个信号的概率
均为 ，即收到的信号字母变的概率为 ，且信号的传输相互独立，
所以输入信号 ，则输出的信号只有两个 的概率为 ，故A错误；
B：因为 ，故B正确；
C： ，故C正确；
D：因为 ，
而
，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
【变式2】（2024·江苏扬州·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第
2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起.已知第 台车床加工的零件数分别占总数
的 .任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 .
【答案】【详解】设 表示“取到的零件是第 台车床加工 ”， 表示“取到的零件是次品”，
则
，
，
故 .
故答案为： .
【变式3】（2024·浙江丽水·二模）为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区
域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 ；若该
区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 .已知该指定区域有珍
稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测
识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到
0.001）；
(2)若监测系统在监测识别中，当 时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该
区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动
的概率至少为0.9.求 的范围（精确到0.001）.
（参考数据： ）
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)
【详解】（1）记事件 为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件 为“监测区域实际上有珍稀动
物活动”，
（i） ；
（ii）
，则
；
（2） ，
，
由题意可得 ，即 ，
令 ， ，得 ， ，故 ， ，
即 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，即 ，所以 ，
故 .
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
设离散型随机变量X的分布列为：
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
则(1)p≥0，i＝1,2，…，n；
i
(2)p＋p＋…＋p＋…＋p＝1；
1 2 i n
(3)E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp；
1 1 2 2 i i n n
(4)D(X)＝ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p ＋ … ＋ ( x － E ( X ) ) 2 p.
1 1 2 2 n n
随机变量的数学期望与方差
(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝ E ( ξ ) ＋ E ( η ) ．
(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝ aE ( ξ ) ＋ b ，D(η)＝ a 2 D ( ξ ) ．
(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.【例1】（2024·山西临汾·二模）已知质量均匀的正 面体， 个面分别标以数字1到 ．
(1)抛掷一个这样的正 面体，随机变量 表示它与地面接触的面上的数字．若 求n；
(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量 表示这两个正 面体与地面接触的面上的数字
和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7， 分别取值0，1，2，求 的分布列及期望．
【答案】(1) .
(2)分布列见解析， .
【详解】（1）因为 ，所以 .
（2）样本空间 ，共有36个样本点.
记事件 “数字之和小于7”，事件 “数字之和等于7"，
事件 “数字之和大于7”.
，
，共15种，
故
，共6种，
故 ；
，
，共15种，
故 ；
从而 的分布列为：
0 1 2
故
【例2】（2024·浙江宁波·二模）三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为
个单位.第一个人抢到的金额数为1到 个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金
额数为 ），第二个人在剩余的 个金额数中抢到1到 个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有
金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王
（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.(1)若 ，则第一个人抢到的金额数可能为 个单位且等可能.
（i）求第一个人抢到金额数 的分布列与期望；
（ii）求第一个人获得手气王的概率；
(2)在三个人抢到的金额数为 的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.
【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii） ；
(2) .
【详解】（1）若第一个人抢到的金额数为 个单位，第二个人抢到的金额数为 个单位，第三个人抢到的
金额数为 个单位，我们将三个人抢到的金额数记作 .
（i） ，
所以 的分布列为
1 2 3
.
（ii）第一个人获得手气王时，三个人抢到的金额数只可能为 ，
故第一个人获得手气王的概率
.
（2）记事件 “三个人抢到的金额数为 的一个排列”，事件 “第一个人获得手气王”.
所要求的是条件概率 ，有 .
当三个人抢到的金额数为 的一个排列时，总金额数为9，故第一个人抢到的金额数可能为
.
又 ，
，
故 .【例3】（2024·湖南·模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均
等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 的所有可能取值为 ，记三次得到的数组成数组 ，
满足 的数组有：
，共4个，
所以 ，
满足 的数组有：
，
，共18个，
所以 ，
满足 的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以 ，
满足 的数组有：
， ，
， ，
， ，共18个，
所以 ，
所以X的数学期望 .
故选：D.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥
有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续
多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自
然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是 这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一
个
公式：随机变量 是一个没有人为编造的首位非零数字，则 ， 则根据本
福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据： ，
）（ ）
A．0.046 B．0.051 C．0.058 D．0.067
【答案】B
【详解】由题意可得： ,
故选：B
【变式2】（2024·贵州黔西·一模）高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者
组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为 ，每位攻擂者
答出每道题的概率为 .为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下
的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率 及守擂者组第1题后得分为0分的概率 ；
(2)设 为3题后守擂者的得分，求 的分布列与数学期望 .
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析， ；
【详解】（1）根据答题规则可知，若三人均答不出，则攻擂者组答不出每道题的概率 ；
则可知攻擂者组每道题答对的概率 ；
若守擂者组第1题后得分为0分，则第一题由攻擂者先答，
该题需答对或者该题答错由守擂者组再答题并答错，
易知守擂者组答出每道题的概率为 ，
因此 ；
（2）易知 的所有可能取值为 ；
第一题守擂者组得一分的概率为 ，
抢答环节的题目守擂者组和攻擂者组抢到的概率均为 ，守擂者组每题得一分的概率为 ；即可知前三题中第一题守擂者组得一分的概率为 ，第二、三题得一分的概率均为 ；
则 ，
，
，
，
因此 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 .
【变式3】（2024·湖南益阳·模拟预测）新鲜是水果品质的一个重要指标.某品牌水果销售店，为保障所销
售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售
店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的
基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水
果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：
箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26
天数y（单位：天） 10 10 15 9 6
(1)为能减少打折销售份额，决定 地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需
求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量 的值.（以箱为单位，结果保留一位小数）
(2)以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求 的值满足
，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是 箱划算还是 箱划算？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的 分位数.
由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，
由 ，日需求量在 箱及以下（含 箱）的天数为 ，
可知，可以估计日需求量的第 分位数为 ，
所以能 地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为 箱.（2）由（1）知 ，即 ，
设每天的进货量为 箱的利润为 ，
由题设，每天的进货量为 箱，
当天卖完的概率为 ，
当天卖不完剩下 箱的概率为 ，
当天卖不完剩下 箱的概率为 ，
若当天卖完 元，
若当天卖不完剩下 箱， 元，
若当天卖不完剩下 箱， 元，
所以 元.
设每天的进货量为 箱的利润为 ，
由题设，每天的进货量为 箱，
当天卖完的概率为 ，
当天卖不完剩下 箱的概率为 ，
当天卖不完剩下 箱的概率为 ，
当天卖不完剩下 箱的概率为 ，
若当天卖完 元，
当天卖不完剩下 箱，则 元，
当天卖不完剩下 箱，则 元，
当天卖不完剩下 箱，则 元，
所以 元，
由于 ，
显然每天的进货量 箱的期望利润小于每天的进货量为 箱的期望利润，
所以每天购进此种水果 箱划算一些.
【题型四】 二项分布
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率
为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二
项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.二项分布的数学期望与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.D(X)=np（1-p）
【例1】（2024·河北邢台·一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回
答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两
倍．
(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题
目中恰好回答正确k个（ ，1，2， ，10）的概率为 ，则当k为何值时， 最大？
【答案】(1)0.6
(2)6
【详解】（1）设小张回答A类题正确的概率为 ，小张回答B类题正确的概率为 ，小张在题库
中任选一题，回答正确的概率为 ，
由题意可得 ，
所以 ，
所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.
（2）由（1）可得 ，
设 ，
即 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 时， 最大.
【例2】（2024·全国·模拟预测）某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从
全市高二参加考试的学生中随机抽取50名学生对其物理成绩（单位：分，成绩都在 内）进行统
计，制成频率分布直方图如图所示：
(1)求 的值，并以样本估计总体，求本次高二全市统考物理成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)从该市高二参加考试的学生中随机抽取3人，记这3人中物理考试成绩在 内的人数为 ，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1) ，68
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题知 ，解得 ，
因为 ，
，
所以可设中位数为 ，
则 ，
解得 ，所以本次高二全市统考物理成绩的中位数为68.
（2）从该市高二参加考试的学生中随机抽取1人，其物理考试成绩在 内的概率为
.由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3，
且 ， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3所以 的数学期望 .
（另解： ， ）
【例3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动
的概率为 ，向右移动的概率为 ．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于
的位置，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，当 时， 的可能取值为1,3,5，且 ，
所以
.
故选：D．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一
个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次
若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率 ；
若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率 ；
若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率 ；
若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率 ；故移动6次后仍然回到原点的概率为 ，
故选：C
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知随机变量 ，其中 ，随机变量 的分布列为
0 1 2
表中 ，则 的最大值为 ．我们可以用 来刻画 与 的相似
程度，则当 ，且 取最大值时， ．
【答案】
【详解】由题意，可得 ，则
，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 .
故答案为： ； ,
【变式3】（2024·北京西城·一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如
下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成
绩如下：
环数 6环 7环 8环 9环 10环
甲的射出频数 1 1 10 24 24
乙的射出频数 3 2 10 30 15丙的射出频数 2 4 10 18 26
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
(3)甲､乙､丙各射击10次，用 分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于 环的次数，其中
．写出一个 的值，使 ．（结论不要求证明）
【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析
(2)
(3) 或8
【详解】（1）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为 ，
甲射击成绩的总环数为 ．
因为 ，
所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．
（2）根据题中数据：
“甲命中9环”的概率可估计为 ；
“甲命中10环”的概率可估计为 ；
“乙命中9环”的概率可估计为 ；
“乙命中10环”的概率可估计为 ．
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：
（3） 或8．
根据题中数据：
当 时，
在每次射击中，甲击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，乙击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，丙击中大于 环的的概率为 ；
由题意可知： ， ， .此时 ， ， ，
不满足 .
当 时，
在每次射击中，甲击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，乙击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，丙击中大于 环的的概率为 ；
由题意可知： ， ， .
此时 ， ， ，
满足 .
当 时，
在每次射击中，甲击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，乙击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，丙击中大于 环的的概率为 ；
由题意可知： ， ， .
此时 ， ， ，
满足 .
当 时，
在每次射击中，甲击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，乙击中大于 环的的概率为 ；
在每次射击中，丙击中大于 环的的概率为 ；
由题意可知： ， ， .
此时 ， ， ，
不满足 .
所以 或8．【题型五】 超几何分布
超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，
m，其中 m ＝ min{ M ， n } ，且 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N * .
❺
X 0 1 … m
P …
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布
超几何分布列的数学期望与方差
若X～H(n，M，N)，则E(X)＝ . D(X)=
【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地
中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜
爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
中学 6
80 40 20
生 0
大学 2
30 20 10
生 0
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件
一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取 人，再从这 人中随机抽取 人.记 为这 人中
最喜爱使用跑步软件二的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ；样本中的
大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为 ， ， ， ，其方差为 ； ， ， ， ，
， ， ， 的方差为 .写出 ， ， 的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，
(3)【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这 人都最喜爱使用跑步软件一的概率为 .
（2）因为抽取的 人中最喜爱跑步软件二的人数为 ，
所以 的所有可能取值为 ，
，
所以 的分布列为：
所以 .
（3） ，证明如下：
，
，
所以 .
，
，
所以 .
数据： ， ， ， ， ， ， ， ，
对应的平均数为
所以
所以 .
【例2】（2024·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试
方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是 ，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】(1)
(2)应该选择学生 ，理由见解析
【详解】（1）设 同学答对的题数为 ，则随机变量 的所有可能取值为 ， .
则 ， ；
设 同学答对的题数为 ，则随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， .
， ，
， .
所以 ， 两名同学恰好共答对 个问题的概率为 .
（2）由（1）知， ， ；
而 ，
.
因为 ， < ．所以应该选择学生 ．
【例3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）设随机变量 （ 且 ），当
最大时， .
【答案】2
【详解】由随机变量 ，则 ，
因为 最大，所以有 ，
即整理得 ，
又 ，所以 ，则 ，
故答案为：2
【变式1】（2024·陕西西安·三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟
退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调
查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数 10 15 20 25 5
赞成的人数 6 12 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 的概率为 ，求出表格中 ， 的值；
(2)若从年龄在 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某
项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为 ，求 的
分布列及数学期望．
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以 ，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在 的概率为 ，所以 ．
（2）从年龄在 中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取 人，不赞成的抽取2人，再从这10
人中随机抽取4人，则随机变量 的可能取值为2，3，4.
则 ，
，．
所以 的分布列为
2 3 4
所以 .
【变式2】（2024·新疆·二模）水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从
采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
标准
等级 优质果 精品果 礼品果
果
个数 个 10 25 40 25
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用 表示抽
取的是精品果的数量，求 的分布列及数学期望 .
【答案】(1)
(2)分布列见解析，0.8
【详解】（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件 ，则 ，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为 ，则 ，
故恰好抽到2个礼品果的概率为 ；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，
现从中抽取2个，则精品果的数量 服从超几何分布， 所有可能的取值为 ，
则 ，
所以 的分布列为：
0 1 2
故 的数学期望 .【变式3】（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽
取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将
样本数据分成 ， ， ， ， ， ， ， ， 九组，绘制成如
图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 ， ，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动
时间在 内的学生人数为X，求X的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“ ”表示这20名学
生中恰有k名学生参加公益劳动时间在 （单位：小时）内的概率，其中 ，1，2， ，20.当
最大时，写出k的值.（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得 ；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中参加公益劳动时间在 ， ， 三组内的学生人数分别为：
人， 人， 人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在 内的学生中抽取： 人，
现从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0，1，2，3，
， ，， ，
的分布列为：
0 1 2 3
则其期望为 ；
（3）由（1）可知参加公益劳动时间在 的概率 ，
所以 ，
依题意 ，即 ，
即 ，解得 ，
因为 为非负整数，所以 ，
即当 最大时， .
【题型六】 正态分布
正态分布的定义
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)
为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数
2
为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ ).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量
X服从标准正态分布.
正态分布的期望和方差
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的
离散程度。
正态分布的3σ原则【例1】（2024·山西·二模）某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测
试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，
如图.
(1)根据频率分布直方图，求出 的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射
击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不
奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为 ， ， ，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.
记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 .
(3)若该高校军训学生的综合成绩 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数，规定军训成
绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若 ，则 ， ，
.
【答案】(1) ，
(2)分布列见解析，
(3) 人
【详解】（1）有图可得 ，解得 ，
；
（2） 的可能取值为 、 、 、 、 、 、 ，，
，
，
，
，
，
，
则其分布列为：
；
（3） ， ，则 ,
又 ，故 ，
，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为 人.
【例2】（2024·四川·模拟预测）新高考改革后部分省份采用“ ”高考模式，“3”指的是语文､数学､外
语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中
选择2门．
(1)若按照“ ”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网
络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布 ．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学
知识分析上述宣传语是否可信．
附： ．
【答案】(1) ；
(2)①3274人；②不可信.【详解】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．
若另一门相同的为物理､历史中的一门，有 种，
在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，
则有 种，共 种；
若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有 种．
所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为 ．
（2）①设此次网络测试的成绩记为 ，则 ．
由题知 ，
则 ，
所以 ．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则 ，
4000名学生中成绩大于410分的约有 人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【例3】（2024·广东梅州·二模）某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态
分布 ，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间
的人数约为 .
【答案】
【详解】由题意可知， ，
又因为 ，
所以
所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为 .
故答案为： .
【变式1】（多选）（2024·新疆喀什·二模）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量 服从二项分布 ，则B．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D．若事件 满足 ，则事件 相互独立
【答案】AD
【详解】因为随机变量 服从二项分布 ，则 ，故A正确；
因为随机变量 服从正态分布 ，则对称轴为 ， ，故B错
误；
这组数据的第70百分位数为 ，故C错误；
因为 ，所以 ，所以事件 相互独立.
故选：AD.
【变式2】（2024·河北石家庄·二模）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共
有50000名考生参加这次考试，数学成绩 近似服从正态分布，其正态密度函数为
且 ，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为
（ ）
A．2000 B．3000 C．4000 D．5000
【答案】D
【详解】由题易知均值 ，
由正态曲线的对称性可知 ，
则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为 ．
故选：D．
【变式3】（2024·广西贺州·一模）某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X
（单位：小时）服从正态分布，且使用寿命不少于1200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概
率为0.9．第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1000小时的概率为
0.6且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则
在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， ，则 ，由正态分布的对称性知，使用寿命X的期望 ，则 ，
所以在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为 .
故选：B
