文档内容
秘籍 03 解三角形
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：正弦定理的边角互化
易错点二：判断三角形个数
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】最值与范围：角与对边
【题型二】最值与范围：角与邻边
【题型三】范围与最值：有角无边型
【题型四】 三大线：角平分线应用
【题型五】 三大线：中线应用
【题型六】 三大线：高的应用
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
【题型八】 图形：“补角”三角形
【题型九】 图形：四边形与多边形
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 正余弦定理求边，求角。作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，
无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新
题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形
的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中
对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。
易错点一：正弦定理的边角互化
1. 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
易错提醒：
1. 在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。
2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，
A>B a>b sin A>sin B.
例（2024·辽宁辽阳·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则
⇔ ⇔
的最小值为 .
【答案】
【详解】由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 即等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
变式1：（2024·四川凉山·二模）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 ．
【答案】
【详解】在 中，由 及正弦定理得： ，而 ，
则 ，
整理得 ，即 ，
又 ，因此 ，而 ，所以 .故答案为：
易错点二：判断三角形个数
1.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系
a＝bsin A bsin Ab
式
解的
一解 两解 一解 一解
个数
例 （2022·江苏南通·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列条件能确定三角
形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵ ，∴ ，故三角形 有一解；
对于B：由正弦定理可知， ，
∵ ，∴ ，故三角形 有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵ 为钝角，∴B一定为锐角，故三角形 有一解；对于D：由正弦定理可知， ，故故三角形 无解.
故选：B.
变式1：（2022高三·全国·专题练习）在 中， ， ，若角 有唯一解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在 中， ， ，若 有唯一解，则 有唯一解，
设内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，
由 ，则 为一确定的锐角且 ，所以 ，
如图以 为圆心， 为半径画圆弧，当圆弧与边 有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边 相切或与圆弧与边 相交有2个交点，
其中一个交点在线段 的反向延长线上（或在点 处），故 或 ，
由 ，即 ，得 或 ，
解得 或 .
故选： ．
【题型一】最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三
角函数形式，利用此角的范围求得结论．
【例1】（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知 的内角 的对边分别是 .若
，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】由题意知 中， ，故 ，
故 ，（R为 外接圆半径），
故 ，
故选：D
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得 ，即 ，
又 为锐角三角形， ，
又 ，则 ，
解得 ，而当 时， 单调递增，
故 ，所以 .
故选：C
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知 中，角 、 、 的对边分别是 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上一点， ， ，求 的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为
故 ，
即 ，
即 ．
而 ，故 ，
又因为 所以 ．
而 ，故 ．
（2）解法一：由 知 ，
两边同时平方得 ，
即 ，化简得 ．①
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
而 ，所以 ，
故 ，即 ，②
由①②得 ，
由于 ，得 ，代入②得 ．
所以 的面积为 ．
解法二：在 中，由余弦定理可得 ，
整理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，而 ，所以 ，
故 ，即 ，②
由①②得 ，
由于 ，得 ，代入②得 ，
所以 的面积为 ．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 的面积
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，
得 ，
由于 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由 及正弦定理，得 ，
又 ，所以 ，
由余弦定理得 ，即 ，
结合 可得 ，
所以 .
【变式2】（2024·云南贵州·二模） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ，求 .【答案】(1)
(2)2，2
【详解】（1） ，
由正弦定理可得： ，
，
，
即 ，
， ，
， .
（2）由题意， ，
所以 ，
由 ，
得 ，
所以 ，解得： .
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
．
(1)求角 ；
(2)设 是 的高，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 及 ，得 ，
又 ， ，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ．
（2）解法一 由余弦定理得 ，则 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，得 ，故 的最大值为 ．
解法二 由正弦定理得 ，
故 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以
，当 时等号成立,
故 ，得 ，
故 的最大值为 .
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化
为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时
可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边
的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【例1】（2024·安徽阜阳·一模）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)求角 的大小；(2)若 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以根据正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2） ．
因为 ，所以 ①．
因为 ，
所以 ②．
联立①②可得 ，解得 （负根舍去），
故 的面积为 ．
【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 为锐角三角形，则
因为 ，则 ，因为 ，可得 ，
所以 ．
（2）
因为 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理得 ．则 或 （舍去）；
所以 的面积为 ．
【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为 ，则能使同时满足
条件 的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，则 ，
要使满足条件的三角形不唯一，则 ，即 .
故选：A.
【变式2】（2024·河北·一模）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，且 ，
所以 ；（2）
根据正弦定理， ，
所以 或 ，
当 时， ， ，此时 ，不成立，
当 时，此时 ，则 ，
的面积 .
【变式 3】（2024·广东佛山·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，其中 ，
．
(1)求角 的大小；
(2)如图， 为 外一点， ， ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理 ，可得 ，
整理可得 ，
又因为 ，
化简可得 ，
而 ，则 ，又 ，则
（2）在 中，由 可得 ，在 中，由 可得 ，
所以 ，
设 ，
由余弦定理 ，
，
可得 ， ，
因此 ，
当且仅当 时，即 等号成立，
所以 的最大值为 ，此时 .
【题型三】 范围与最值：有角无边型
【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理边化角得：
，所以 ，
由于在 中， ，所以 ，
即 ，又 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以由于在锐角 中， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围为 .
【例 2】（2024·吉林延边·一模）已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且 ，求 ．
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）因为 ，即 ，
由正弦定理可得： ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，
且 ，所以 ．
（2）因为 ，则 ，
可得 ，则 ，即 ，
整理得 ，
由余弦定理可得 ，则 ，
即 ，所以 ．
【变式1】（2024·广东湛江·一模）已知在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 外接圆的直径为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 可得： ，所以 ，
所以 ，
，
，由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
故 ，
又 ，所以 ，
所以
，又 ，所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
【变式2】（2023·陕西·模拟预测） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得 ，
即 ，又 ，
故 ，由 ，故 ；
（2）由正弦定理可得 ，又 ，
故 ，故 ，
即 ，即有 ，
即 ，由 ，故 ，故 ，即 .
【变式3】（2012·广西南宁·一模）已知在 中，角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)设向量 ，求当 取最大值时， 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意 ，
所以 ，
， ．，
， ；
（2） ，
所以当 时， 取最大值，
此时 ，
.
【题型四】 三大线：角平分线应用
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【例1】（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中， 的角平分线交 BC于P点，
.
(1)若 ，求△ABC的面积;
(2)若 ，求BP的长.
【答案】(1)
(2)【详解】（1） 中，设角A、B、C的对边分别为 、 、 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ①
因 ，即 ，
整理得 ②
①②解得 ，
所以 .
（2）因为 ，
所以在 中由余弦定理可得 ，
所以
解得 ，
由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
中由正弦定理得 ，则 ，
解得 ，
所以 .
【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在 中， 分别为边 所对的角，且满足
.
(1)求 的大小；
(2) 的角平分线 交 边于点 ，当 时，求 .
【答案】(1)(2) .
【详解】（1） ，
，
，
，
， ，
又 ， .
（2）如图，
中，由余弦定理，
可得 ，解得 .
是角平分线， ，
设 ，则 ，在 中，由余弦定理可得：
，
即 ，
整理得 ，解得 ，
【例3】（2024·四川·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 的角平分线交 于 ，求 的长.
【答案】(1)
(2) .【详解】（1）
解法一：
由 及正弦定理，
可得 .
又 ，
所以 .
又在 中， ，故 ，
,所以 .
解法二：由 及余弦定理，
可得 .
即 ，
所以 .
,所以 .
（2）由（1）知 .
又 ，
所以 .
所以 .
【变式1】（2024·四川遂宁·二模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C；(2)若CD是 的角平分线， ， 的面积为 ，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 可得
故 ，进而 ，
由于 所以
（2）由面积公式得 ，解得 ，
， ，
即 ， ，
又 ， ，
．
【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)若方程 在 上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在 中，若 ，内角A的角平分线 ， ，求AC的长度．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）依题意，
，
当 时， ，则当 时， 单调递增，函数值从 增大到2，
当 时， 单调递减，函数值从 减小到 ，方程 在 上有2个不同的实数根，即直线 与函数 在 的图象有两个
公共点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 在 的图象，如图，
观察图象，当 时，直线 与函数 在 的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是 .
（2）由（1）知， ，即 ，
在 中， ，即 ，则 ，解得 ，
在 中， ， ，由正弦定理得 ，
则 ，显然 ，有 ，
于是 ，即有 ，则 ， 是等腰三角形，
所以 .
【变式3】（2024·四川广安·二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 是 的角平分线， ， 的面积为 ，求 的值.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 及正弦定理得， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ，所以
（2）由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
由余弦定理得
所以 .
【题型五】 三大线：中线应用
中线的处理方法
1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的两三角形面积相等
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 且
，
(1)求 ；
(2)求 边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
整理得 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
且 ，则 ，
由正弦定理 ，其中 为 的外接圆半径，
可得 ，
又因为 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理 ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，即设 边上的中点为D，
因为 ，则
，
即 ，所以 边上中线长的取值范围为 .
【例2】（2023·河北沧州·三模）在 中，角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，
，且 的面积为 .若 ， 边上的两条中线 ， 相交于点 ，如图所示.
(1)求 的余弦值；
(2)求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知 ，由正弦定理，得 ，由 ，得 ，
由 的面积 ，得 ，
相除得 ，又 ，故 ，
由 ， ，得 ， ，由余弦定理得 ，即 ， ，
在 中， ， ， ，满足 ，
所以 为直角三角形， .
在 中， ， ，
所以 .
（2）在 中， 为 边上的中线，所以 ，由 ， 分别为边 ， 上的中线可知 为 的重心，
可得 ， ，
所以 .
【例3】（2023·吉林长春·一模）在 中， 为 边上中线， ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由 ， ， ，可得 ，
由正弦定理 得， ，从而 ．
在 中， ， ， ，所以 的面积 ．
（2）
以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴，建立坐标系，
则 ， ， ， ，由 得， ，
从而 ， ，所以 ，所以 ．
【变式1】（2023·新疆阿勒泰·三模）在 中， ， 为 边上的中线且 ，则
的取值范围是 ．
【答案】【详解】设 ，
因为 为 边上的中线，则 ，
可得 ，
即 ，整理得 ，
设 ，则 ，
可得 ，整理得 ，
关于 的方程有正根，则有：
①当 ，即 时，则 ，解得 ；
②当 ，即 时，则 ，解得 或 （舍去），符合题意；
③当 ，即 时，则 ，解得 ；
综上所述： ，即 的取值范围是 .
故答案为：
【变式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在 中，角 的对边分别为 ，
(1)求 ；
(2)设 边的中线 ，且 ，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
又因 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理得，
，即 ，
在 中，由余弦定理得，
，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
故 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积 ．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)求角 的大小；
(2)若 的中线 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题可得， ，结合正弦定理可得
，
因为 ，所以 ，得 ，因为 ，所以 ．
（2）易知 ，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得 ，得 ．
法一： 可化为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
当且仅当 时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以 的最大值是4．
法二： ，
令
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以 的最大值为4．
【题型六】 三大线：高的应用
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：【例1】（2024·四川·模拟预测）在 中， ， ，且 ，则 边上的高 .
【答案】6
【详解】 ，注意到 ， ，
可得 ， ， ，
由正弦定理得 ，得 ，
所以 .
故答案为：6.
【例2】（2024·全国·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．
．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求AD．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 中， ，
由正弦定理，有 ，即 ，
得 ，
由余弦定理， ，
由 ，得 .
（2） ，
，解得 ，则 都为锐角，
有 ，得 ，
锐角 中， ，则有 ， ，
由 ，则 ，
又 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
， ，解得 .
【例3】（23-24高三下·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ；
（2）由题意得 ， ，由余弦定理得 ，
解得 （负值舍去），
因为 边上的高为 ，
所以 ，
则 ，所以 ， ，
故 的周长 ．
【变式1】（2021·湖南株洲·三模）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由 及二倍角公式，
得 ，即 ，
整理得 ，
因此 ，即 ，而 ，所以 ．
（2）由（1）及已知，得 ，即有 ，
由余弦定理得 ，即 ，
因此 ，即 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
而 ，
所以 面积的最小值为 ．【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
整理得到 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，且 ，则有 ，
又 ，解得 或 （舍去），
所以 边上的高 .
【变式3】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的正三角形的面积依次为 ， ， ，且 ．
(1)求角A；
(2)若 ，D为线段BC延长线上一点，且 ， ，求 的BC边上的高．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由题意得 ， ， ，
则 ，所以 ，由余弦定理可得 ，又 ，所以 ；
（2）设 （ 为锐角），在 和 中，
由正弦定理可得 ， ，
于是 ，又 ， ，
所以 ，化简得 ．
根据同角三角函数基本关系，可得： ，
解得 ，负值舍去，
设 ，垂足为 ，
故 的BC边上的高为 ．
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角
形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径【例1】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角 的对边分别为 的外接圆半径为 ，
且 .
(1)求 ;
(2)求 的内切圆半径 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，
所以 ，
由 可知， ，
所以 ，故 .
（2）因为 的内切圆半径 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理
，
又 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以 .
【例2】（2023·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶
点”.如图，在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 .以
△
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，则 ，
故 ，所以 ，
可得 （负值舍），由 ，所以 .
（2）如图，连接 ，由正弦定理得 ， ,则 ，
正 面积 ，
而 ，则 ，
在 中，由余弦定理得： ，即 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
则 ，
，所以 的周长为
【例3】（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形 中， .
(1)若 .求 的长；
(2)若四边形 有外接圆，求 的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理可知， ，即
（2）因为四边形 有外接圆，所以 ，
因为 ，且由正弦定理可知， ，
所以 ，即 ，
设 ，则 ，
由正弦定理可知， ，
所以 ，同理可知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以当 ，即 时， 取得最大值为 .
【变式 1】（2024 高三·江苏·专题练习）已知点 M 为直角 外接圆 O 上的任意一点，
，则 的最大值为 ．
【答案】
【详解】
设直角 外接圆的半径为 ，
由正弦定理得 ，故 ，
所以 ，
当过点圆上一点 作平行于 的圆的切线时，此时 最大，
由于 到 的距离为 ，所以 的最大值为 ，
故答案为：
【变式2】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知四边形 的外接圆面积为 ，且
为钝角，
(1)求 和 ；(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【详解】（1）四边形 的外接圆面积为 ,即 的外接圆面积为 ，
设 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，
在 中， ，即 ，故 ，
因为 为钝角，所以 为锐角，故 ，
由余弦定理得 ，即 ，
故 ，解得 ，负值舍去，
（2） ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
又 ，故 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，故 ，
四边形 的面积为 .
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 平分
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的外接圆和内切圆的面积之比．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中， ，．
，即
则 ，
平分 ， ,
且由正弦定理得： ,
,
.
即 ．
在 中，由余弦定理得 ，
联立得 ，得 .
（2）易知 外接圆的半径 。
设 的内切圆半径为 ，则 ，，
的外接圆与内切圆的面积之比为 .
【题型八】 图形：“补角”三角形
【例1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在 中， ，D是斜边 上的一点，
， .
(1)若 ，求 和 ；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【详解】（1）
由 ， ，可得 .
因 为 ， 所 以 在 中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 即
，
则 或60°，又因为 ，故 .
因此 ，又因为 ，所以 是等边三角形，
所以 ，
又在 中， ， ，故 ，
所以 .
（2）
证明：令 ， ， ，.
因为 ，则 .
在 与 中，由余弦定理可得消去 ，得 ，整理得 ，
所以 ，即 .
【例2】（2024·福建·模拟预测）在 中，D为BC的中点，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，可得 ，如图所示：
在 中，由正弦定理得 ，
所以
在 中，由正弦定理得 ，
所以
故
因为 为 的中点，
所以 ，即 ，
（2）由（1）不妨设
在 中，由余弦定理得
在 中，由余弦定理得 .
所以 .解得 .
故
【变式1】（2024·甘肃陇南·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为 .已知
(1)求b；
(2)D为边 上一点， ，求 的长度和 的大小.
【答案】(1)
(2)1，
【详解】（1）由题意知在 中， ，
故 ，即 ，
由于 ，故 ；
（2）由（1）知 ，结合 ，得 ，
又 ，故 ，又 ，
则 ，
又 ，则 ，
故 ，即 ，即 ，
结合 ，解得 ，
则 ， ，
而 为锐角，故 .【变式2】（2023·全国·模拟预测）在① ；② 这两个条件
中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且 ， ，求 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】(1)选①②答案相同，均为
(2)
【详解】（1）选条件①：
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，
又 ，于是 ，即 ，
因为 ，所以 ．
选条件②：
由题意知 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
故 ，
在 中，由正弦定理得 ，又 ，所以 ，
在 中， ，
因为 ，故 ，
即 ，故 ．
又由（1）知 ，所以 ，
解得 ，
可得 ．
【题型九】 图形：四边形与多边形
【例1】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中，
的面积为 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
在 中， ，所以 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，且 ．
由（1）可得 ，又 ，
所以 ．
【例2】（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形 中，有：
.
(1)求 的大小；
(2)若 ，求平行四边形 的面积.
【答案】(1)
(2) 或【详解】（1）由题意得 ，
由正弦定理得，
，
又 ，则 ，
.
（2）在平行四边形 中， ，
在 中，由余弦定理得，
，即 ，
解得： 或 ，
当 时，平行四边形 的面积：
；
当 时，平行四边形 的面积：
.
【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， ， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为 ，且 ，解得 ， ．
而 ，所以 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 ．
（2）在 中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ．
在 中，由余弦定理得
，
所以 ．
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆 的半径为2，直线 与圆 相切于点
，圆 上的点 从点 处逆时针转动到最高点 处，记 .
(1)当 时，求 的面积；
(2)试确定 的值，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）过点 作 交 于点 ，如图：因为圆 的半径为2，由题意 ，
又 ，所以 的面积为 .
（2）连接 ，设 的面积为 的面积为 ，
又 ， ，
由题意 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以当 时，使得 的面积等于 的面积的2倍.
【变式3】（2024·四川凉山·二模）如图，在平行四边形 中，E，F分别是AD，CD的中点，且
， ， ，则平行四边形 的面积为 ．
【答案】
【详解】在 中，延长 与 的延长线交于 ，连接 ，由E，F分别是AD，CD的中点，
得 ，则 ，
由 ，得 是 的中点，且 ，
，
，于是 ，
所以 的面积 .故答案为：
