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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第十九章 二次根式·能力提升（参考答案）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D C B A C B C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 且
12．5
13．
14．
15．
16． /
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．
【详解】（1）解：
；..............3分
（2）解：
．..............6分
18．
【详解】解：由题意得，通道的总面积为：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1 / 8..............2分
故通道的总面积为 ．..............6分
19．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；..............3分
（2）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．..............6分
20．
【详解】（1）解：由题意，得：
．
故 的值为 ．..............2分
（2）解：由（1）可知， ，
∴ ．
由题意，得：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2 / 8．
故 的值为 ．..............6分
21．
【详解】（1）解：原式
；..............4分
（2）解：原式
；..............8分
22．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴3与 是关于3的平衡数；
∵ ，
∴ 与 是关于3的平衡数，
故答案为：0， ；..............2分
（2）解：由题意得，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3 / 8∴ 和 ，
解得 ，
∴
，
∴二者是关于3的平衡数；..............5分
（3）解：∵ 与 是关于3的平衡数，
∴
，
由题意得，
，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4 / 8解得 ，
∴
，
∴ ，
故答案为： ．..............8分
23．
【详解】（1）解：由题意可得第五个算式： ；
故答案为： ；..............2分
（2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大 的数减去 的差再乘以
加上比这个算式的序号大 的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大 的数分之这个算式的序号大 的
数乘以比这个算式的序号大 的数的算术平方根；..............5分
（3）解：第 个等式： ，
证明： 是正整数，
．..............8分
24．
【详解】（1）解：由题意，当 时，
，
，
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5 / 8，
三角形的面积为3；..............4分
（2）解：①由题意， ，
，
中最长边的长度为3；
② ，
，
，
，且x为整数，
当 时，此时三边为 ，1，4，
，
不合题意舍去，
当 时，三边为2，2，3，
，
，..............8分
，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6 / 8的面积为 ．..............12分
25．
【详解】解：（1）
．
故答案为： ；..............3分
（2）
．..............6分
（3）∵ ，
∴ 且 ，
解得 ，
故 ，
解得 ．
∴
．
∵
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7 / 8∴原式
．..............12分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8 / 8
