曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
10.3 抛物线
五年高考
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2022全国乙,理5,文6,5分,综合性)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点
B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2 B.2√2C.3D.3√2
答案 B
2.(2011陕西,2,5分,基础性)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是(
)
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x
答案 B
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,基础性)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点
的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分,综合性)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于
点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(
)
A.√5B.2√2C.2√3D.3√3
答案 C
5.(2021北京,12,5分,基础性)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x
轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ;△MNF的面积为 .
答案 5;4√5
6.(2021新高考Ⅰ,14,5分,综合性)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P
为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
.
3
答案 x=-
2
7.(2012陕西,13,5分,应用性)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽
4米.水位下降1米后,水面宽 米.
答案 2√6
8.(2021上海,11,5分,综合性)已知抛物线:y2=2px(p>0),若第一象限的A,B在抛物线上,焦
点为F,|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3,则直线AB的斜率为 .
√5
答案
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
考点二 抛物线的几何性质
y2
1.(2013四川,6,5分,综合性)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2- =1的渐近线的距离是(
3
)
1 √3
A. B. C.1D.√3
2 2
答案 B
2.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分,综合性)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)
交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.(1 ) (1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 B. ,0
4 2
答案 B
x2 y2
3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分,综合性)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的
3p p
一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
4.(2012安徽,9,5分,综合性)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为
坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
√2 3√2
A. B.√2C. D.2√2
2 2
答案 C
5.(2018北京文,10,5分,基础性)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截
得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
6.(2013安徽,13,5分,应用性)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在
点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
答案 [1,+∞)
7.(2021全国乙文,20,12分,综合性)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为
y2=4x.
(2)由已知不妨设点P(4 ,4x ),Q(x ,y ),
x2 0 1 1
0
则 =(x -4 ,y -4x ),
⃗PQ 1 x2 1 0
0
∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x ,-y ),
1 1
∵ ⃗PQ =9⃗QF,∴ {x 1 -4x2 0 =9(1-x 1 ),
y -4x =9(- y ),
1 0 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1
{x = (9+4x2),
整理得 1 10 0 ∴kOQ= y 1= 4x 0 ,
4 x 9+4x2
y = x , 1 0
1 10 0
当k 最大时,x >0,
OQ 0
4
4 1
∴k = 9 ≤ = ,
OQ +4x 2√36 3
x 0
0
9
当且仅当4x = 时取“=”,
0 x
0
3
此时x = ,点P的坐标为(9,6),
0
2
1
因此k 的最大值为 .
OQ
3
3
8.(2019课标Ⅰ理,19,12分,综合性)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C
2
的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.
3
解析 设直线l:y= x+t,A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
2
(1)由题设得F(3 ) 3,
,0 ,故|AF|+|BF|=x1+x2+
4 2
5
由题设可得x +x = .
1 2
2
{ 3
由
y= x+t,
可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
2
y2=3x
12(t-1) 12(t-1) 5 7
则x +x =- .从而− = ,得t=− .
1 2
9 9 2 8
3 7
所以l的方程为y= x− .
2 8曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{ 3
(2)由
⃗AP
=3
⃗PB可得y1=−3 y2.由
y=
2
x+t,
可得y2-2y+2t=0.所以y
1
+y
2
=2.从
y2=3x
而-3y +y =2,故y =-1,y =3.
2 2 2 1
1 4√13
代入C的方程得x =3,x = .故|AB|= .
1 2
3 3
三年模拟
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2022武汉2月调研,3)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(2,2√2)为抛物线上一
点,则|MF|=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
2.(2022山东烟台、德州一模,5)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上
且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为2√2,则该抛物线的准线方程为( )
1
A.x=- B.x=-1
2
C.x=-2 D.x=-4
答案 B
3.(2022湖北九师联盟3月质检,8)如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C
相交于A,B两点,与y轴相交于E点.已知|AF|=7,|BF|=3,若△AEF,△BEF的面积分别为
S ,S ,且 S =3,则抛物线C的方程为( )
1 2 1
S
2
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=6x D.y2=8x
答案 B
4.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到
直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=( )
A.4 B.6 C.8 D.10
答案 A曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
5.(2022福建4月百校联合测评,15)已知抛物线y2=2p x(p >0)与抛物线x2=2p y(p >0)在第
1 1 2 2
一象限内的交点为P(x ,y ),若点P在圆C:(x-√10)2+(y−√10)2=8上,且直线OP与圆C
0 0
相切,则p p = .
1 2
3
答案
10
6.(2021广东肇庆二模,15)已知点P是抛物线x2=8y上的一个动点,则点P到点A(2,0)的距
离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为 .
答案 2√2
考点二 抛物线的几何性质
1.(2022广东粤港澳大湾区普通高中毕业联考,4)已知圆O:x2+y2=2与抛物线
C:y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为( )
A.√2B.2C.2√2 D.4
答案 C
2.(2022百校联盟教育教学质量检测(一),8)已知A,B是抛物线E:y2=x上的点,C是x轴上
的点,AC⊥x轴,△ABC为等边三角形,则A的横坐标为( )
1 4 16
A. B. C.3D.
3 3 3
答案 B
3.(2022江苏连云港二模,8)直线l:y=-x+1与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,圆M过点A,B
且与抛物线C的准线相切,则圆M的半径是( )
A.4 B.10 C.4或10 D.4或12
答案 D
4.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的
距离为( )
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 B
5.(2021山东聊城二模,4)已知△ABC的三个顶点都在抛物线x2=8y上,且F为抛物线的焦
1
点,若⃗AF= (⃗AB+⃗AC),则|⃗AF|+|⃗BF|+|⃗CF|=( )
3
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 D
6.(2022河北九师联盟3月质检联考(一模),16)已知A,B为抛物线C:y2=4x上两点,O为坐
标原点,若OA⊥OB,直线AB必过定点,则定点的坐标为 ;△ABO的面积的最小值
是 .
答案 (4,0);16
B组 综合应用题组
时间:45分钟 分值55分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1.(2022江苏泰州二调,7)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(9,6),动点C在线段OB
上,BD⊥y轴,CE⊥y轴,CF⊥BD,垂足分别是D,E,F,OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的
轨迹上,且∠OAQ=120°,则|AQ|=( )
4 2
A.4 B.2 C. D.
3 3
答案 A
2.(2022广东深圳二模,8)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l,交抛物线于A,B两点,
若|FA|=3|FB|,则直线l的倾斜角等于( )
A.30°或150° B.45°或135°
C.60°或120° D.与p的值有关
答案 C
3.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线
交y轴于点N.若⃗MF=2⃗FN,则|MF|的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A
二、多项选择题(共5分)
4.(2022辽宁名校联盟3月联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线l的方程为y=-1,过
C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作C的两条切线,且两切线交于
点M,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x2=2y
B.∠AMB=90°
C.M恒在l上
D.|MF|2=|AF|·|BF|
答案 BCD
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022辽宁东北育才学校模拟,15)设抛物线E:y2=8x的焦点为F,过点F的直线与抛物线
7
交于A,B两点,过弦AB的中点M作E的准线的垂线,与抛物线E交于点P,若|PF|= ,则|
2
AB|= .
答案 14
6.(2022福州一模,16)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的动直线l交C于A,B两点,过
A,B分别作C的切线l ,l ,l 与l 交于点P.经探究可知点P必在一条定直线上,其方程为
1 2 1 2
;记l ,l 与y轴的交点分别为M,N,若l的倾斜角为30°,则四边形PMFN的面积为
1 2
.
答案 x=-1; 4
四、解答题(共25分)
7.(2022福建龙岩一模,21)设点F(1,0),动圆经过点F且和直线x=-1相切,记动圆的圆心P
的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)过点F的直线交曲线E于A,B两点,另一条与直线AB平行的直线交x轴于点M,交y
轴于点N,若△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,求点M的横坐标.
解析 (1)由题意,知点P到点F的距离等于点P到直线x=-1的距离,所以点P的轨迹是
以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,p=2,故曲线E的方程是y2=4x.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(2)设直线AB的方程为x=my+1,A(x ,y ),B(x ,y ),联立得
1 1 2 2
{x=my+1, 消去x得2y−4my−4=0,则 {y 1 + y 2 =4m, 则 y 1 + y 2=2m,m· y 1 + y 2
y2=4x, y y =-4, 2 2
1 2
+1=2m2+1,
即AB的中点C的坐标为(2m2+1,2m),|AB|=(x +1)+(x +1)=m(y +y )+4=4m2+4,
1 2 1 2
由△NAB是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,得NC⊥AB,过C与AB垂直的直线的
1
方程为y=-m(x-2m2-1)+2m,令x=0,得y=2m3+3m,故点N的坐标为(0,2m3+3m),又|NC|= |
2
AB|=2m2+2,
故 (2m2+1)=2m2+2,
√1+m2
令 =t,t≥1,则t(2t2-1)=2t2,解得t=
√1+m2
1+√3 1+√3 √3 1 -3(1+√3)
,即√1+m2= ,解得m2= ,又直线MN的方程=为yx+2m3+3m,令y=0,得到点M的横坐标为Mx=−2m4−3m2=
2 2 2 m 2
.
8.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,21)已知O为坐标原点,抛物线
E:x2=2py(p>0),过点C(0,2)作直线l交抛物线E于点A、B(其中点A在第一象限),⃗OA·⃗OB
=-4且⃗AC=λ⃗CB(λ>0).
(1)求抛物线E的方程;
(2)当λ=2时,过点A、B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线,求该圆的方程.
解析 直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x ,y )(x >0),B(x ,y ),
1 1 1 2 2
由A、B在抛物线上,得y =
x2 x2
.
1 1 ,y2= 2
2p 2p
(1)由{y=kx+2, 消y并整理得x2-2pkx-4p=0,
x2=2py
所以{x
1
+x
2
=2pk,
x x =-4 p,
1 2
由 ·
x2
·
x2
=-4,所以-4p+4=-4,解得
⃗OA ⃗OB=−4,得x1x2+ y1y2=−4,所以x1x2+ 1 2
2p 2p
p=2,
所以抛物线E的方程为x2=4y.
(2)由{y=kx+2,
消y并整理得2x−4kx−8=0,所以
{x
1
+x
2
=4k,
x2=4 y x x =-8,
1 2
1
当λ=2时,⃗AC=2⃗CB,所以x1=−2x2,又x1>0,所以x1=4,x2=−2,k= ,
2
