文档文本内容
10.3 抛物线
考点清单
学生用书P87 知识结构化 考点清单化
考点一 抛物线的定义和标准方程
１.抛物线的定义
到一定点Ｆ和定直线ｌ Ｆ ｌ 距离相等的点的轨迹叫做抛物
( ∉ )
线.定点Ｆ叫做抛物线的焦点 定直线ｌ叫做抛物线的准线.
ꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２ ０２
２.抛物线的标准方程
焦点在ｘ轴上的统一方程为ｙ２ ｍｘ ｍ 焦点在ｙ轴上
(１) ＝ ( ≠０)ꎻ
的统一方程为ｘ２ ｎｙ ｎ 简记 对称轴看一次项 符号决定
＝ ( ≠０)ꎬ : ꎬ
开口方向.
标准方程的求法 定义法和待定系数法.
(２) :
注意 到一定点Ｆ和定直线ｌ(Ｆ ｌ)距离相等的点的轨
∈
迹是过点Ｆ且垂直于ｌ的直线.
考点二 抛物线的几何性质
标准
ｙ２ ｐｘ(ｐ ) ｙ２ ｐｘ(ｐ ) ｘ２ ｐｙ(ｐ ) ｘ２ ｐｙ(ｐ )
方程 ＝２ >０ ＝－２ >０ ＝２ >０ ＝－２ >０
图形
范围 ｘ ꎬｙ Ｒ ｘ ꎬｙ Ｒ ｘ Ｒꎬｙ ｘ Ｒꎬｙ
≥０ ∈ ≤０ ∈ ∈ ≥０ ∈ ≤０
ｐ ｐ ｐ ｐ
准线 ｘ ｘ ｙ ｙ
＝－ ＝ ＝－ ＝
２ ２ ２ ２
( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ )
焦点 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
０ － ０ ０ ０ －
２ ２ ２ ２
对称性 关于ｘ轴对称 关于ｙ轴对称
顶点 ( ꎬ )
０ ０
离心率 ｅ
＝１
焦半 ｐ ｐ ｐ ｐ
ｘ ｘ ｙ ｙ
径长 ０＋ － ０＋ ０＋ － ０＋
２ ２ ２ ２
焦点
ｘ ｘ ｐ (ｘ ｘ ) ｐ ｙ ｙ ｐ (ｙ ｙ ) ｐ
弦长 ０＋ １＋ － ０＋ １ ＋ ０＋ １＋ － ０＋ １ ＋
其中Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 是抛物线上两动点 且ＰＱ过焦点Ｆ 线段ＰＦ称为抛物线的焦半径 线段ＰＱ称为抛物线的焦点弦.
( ０ꎬ ０)ꎬ ( １ꎬ １) ꎬ ꎬ ꎬ
知识拓展 .焦点弦的性质
１
以抛物线ｙ２ ｐｘ(ｐ )为例ꎬ设ＡＢ是抛物线的焦点弦ꎬ直
＝２ >０
线ＡＢ的倾斜角为 θꎬＦ 是抛物线的焦点ꎬＡ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬ
１ １ ２
ｙ )ꎬＡ、Ｂ在准线上的射影为Ａ 、Ｂ ꎬ则有以下结论:
２ １ １
ｐ２
( )ｘ ｘ ꎬｙ ｙ ｐ２ꎻ
１ １ ２＝ １ ２＝－
４ ｐ
( )若Ａ位于ｘ轴上方ꎬＢ位于ｘ轴下方ꎬ则 ＡＦ ꎬ ２ ｜ ｜＝ θ
１－ｃｏｓ
ｐ
ＢＦ ꎻ
｜ ｜＝ θ
１＋ｃｏｓ
ｐ
( ) ＡＢ ｘ ｘ ｐ ２ ꎬ抛物线的通径长为 ｐꎬ通径是最
３ ｜ ｜＝ １＋ ２＋ ＝ ２θ ２
ｓｉｎ
短的焦点弦ꎻ
ｐ２
( )Ｓ ꎻ
４ △ ＡＯＢ＝ θ ２ｓｉｎ
( ) １ １ ２ 为定值ꎻ ５ ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ
｜ ｜ ｜ ｜
( )以ＡＢ为直径的圆与抛物线的准线相切ꎻ
６
( )以ＡＦ(或ＢＦ)为直径的圆与ｙ轴相切ꎻ
７
( )以Ａ Ｂ 为直径的圆与直线ＡＢ相切ꎬ切点为Ｆꎬ Ａ ＦＢ
８ １ １ ∠ １ １
°ꎻ
＝９０
( )ＡꎬＯꎬＢ 三点共线ꎬＢꎬＯꎬＡ 三点也共线. ９ １ １
.如图所示ꎬＡＢ是抛物线 ｘ２ ｐｙ(ｐ )的焦点弦ꎬ分别过
２ ＝２ >０
ＡꎬＢ作抛物线的切线ꎬ交于点Ｐꎬ连接ＰＦꎬ则有以下结论:
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ ０３
ｐ
( )点Ｐ的轨迹是一条直线ꎬ即抛物线的准线ｌ:ｙ ꎻ
１ ＝－
２
( )两切线互相垂直ꎬ即ＰＡ ＰＢꎻ
２ ⊥
( )ＰＦ ＡＢꎻ
３ ⊥
æｘ ｘ ｐ ö
( )点Ｐ的坐标为ç Ａ＋ Ｂꎬ ÷.
４ è － ø
２ ２
题型方法
学生用书P88 题型经典 方法实用
一、抛物线定义的应用 选择题和填空题的关键.
１.求轨迹问题 例2 (２０１８课标 理ꎬ１６ꎬ５分)已知点Ｍ 和抛物线Ｃ
Ⅲ (－１ꎬ１) :
主要抓住到定点的距离和到定直线的距离的几何特征 并验证 ｙ２ ｘ 过Ｃ的焦点且斜率为ｋ的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点.若
ꎬ ＝４ ꎬ ꎬ
其满足抛物线的定义 然后直接利用定义便可确定抛物线的 ＡＭＢ ° 则ｋ .
ꎬ ∠ ＝９０ ꎬ ＝
方程. 解析 解法一 由题意可知Ｃ的焦点坐标为 所以过
: (１ꎬ０)ꎬ
２.求最值问题 ｙ æｙ ö
焦点 斜率为ｋ的直线方程为ｘ 设Ａç １ ｙ ÷
主要把握两个转化 一是把抛物线上的点到焦点的距离转化为 (１ꎬ０)ꎬ ＝ ｋ ＋１ꎬ è ｋ ＋１ꎬ １ øꎬ
:
抛物线上的点到准线的距离 二是把抛物线上的点到抛物线的 { ｙ
ꎻ æｙ ö ｘ
准线距离转化为抛物线上的点到焦点的距离 在解题时要准确 Ｂç ２ ｙ ÷ 将直线方程与抛物线方程联立得 ＝ ｋ ＋１ꎬ整
ꎬ è ｋ ＋１ꎬ ２ øꎬ
把握题设条件 进行有效转化 探求最值问题. ｙ２ ｘ
ꎬ ꎬ ＝４ ꎬ
例1 已知圆Ｃ与圆 ｘ２ ｙ ２ 外切 与直线 ｙ 相
(１) ＋( －３) ＝１ ꎬ ＝０ 理得ｙ２ ４ ｙ 从而得ｙ ｙ ４ ｙ ｙ . Ｍ
切 则圆Ｃ的圆心的轨迹为 － ｋ －４＝０ꎬ １＋ ２＝ ｋ ꎬ １ ２＝－４ ∵ (－１ꎬ
ꎬ ( )
Ａ.
双曲线
Ｂ.
椭圆
Ｃ.
直线
Ｄ.
抛物线
１)ꎬ∠
ＡＭＢ
＝９０
°
ꎬ∴
Ｍ→Ａ
Ｍ→Ｂ
＝０ꎬ
æｙ öæｙ ö
(２) 设抛物线Ｃ : ｙ ＝
８
１ ｘ２ ꎬ 点Ｐ为抛物线Ｃ上一动点 ꎬ Ａ (０ꎬ２)ꎬ 即 è ç ｋ １ ＋２ø ÷ è ç ｋ ２ ＋２ø ÷ ＋( ｙ １－１)( ｙ ２－１)＝０ꎬ
Ｂ (４ꎬ５)ꎬ Ｏ为坐标原点 ꎬ 当 ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＢ ｜ 取得最小值时 ꎬ 四边形 即ｋ２ －４ ｋ ＋４＝０ꎬ 解得ｋ ＝２ .
ＯＡＢＰ的面积为
( ) 解法二 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则
{ｙ２
１＝４
ｘ
１ꎬ①
Ａ.１８ Ｂ.１４ Ｃ.１０ Ｄ.６ : ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ ｙ２ ｘ
解析 由题意知 圆Ｃ的圆心到点 的距离比到直 ２＝４ ２ꎬ②
(１) ꎬ (０ꎬ３) ｙ ｙ
线ｙ 的距离大 即圆Ｃ的圆心到点 的距离与到直线 得ｙ２ ｙ２ ｘ ｘ 从而ｋ ２－ １ ４ .
＝０ １ꎬ (０ꎬ３) ②－① ２－ １＝４( ２－ １)ꎬ ＝ｘ ｘ ＝ｙ ｙ
ｙ 的距离相等 根据抛物线的定义可知 所求轨迹是抛物 ２－ １ １＋ ２
＝－１ ꎬ ꎬ 设ＡＢ的中点为Ｍ′ 连接ＭＭ′.
线 故选 . ꎬ
ꎬ Ｄ 直线ＡＢ过抛物线ｙ２ ｘ的焦点
∵ ＝４ ꎬ
(２)
抛物线Ｃ
:
ｙ
＝
１ ｘ２
ꎬ
即ｘ２
＝８
ｙ.易知Ａ
(０ꎬ２)
是抛物线的焦
∴
以线段ＡＢ为直径的
☉
Ｍ′与准线ｌ
:
ｘ
＝－１
相切.
８ Ｍ ＡＭＢ °
点 抛物线的准线方程为ｙ .设点Ｐ到准线的距离为ｄ 作 ∵ (－１ꎬ１)ꎬ∠ ＝９０ ꎬ
ꎬ ＝－２ ꎬ 点Ｍ在准线ｌ ｘ 上 同时在 Ｍ′上
ＢＭ垂直于准线 垂足为Ｍ 如图 则 ＰＡ ＰＢ ＰＢ ｄ ∴ : ＝－１ ꎬ ☉ ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜＋｜ ｜ ＝｜ ｜＋ ≥ 准线ｌ是 Ｍ′的切线 切点为Ｍ 且Ｍ′Ｍ ｌ
∴ ☉ ꎬ ꎬ ⊥ꎬ
｜
ＢＭ
｜＝７ꎬ
将ｘ
＝４
代入ｙ
＝
１ ｘ２
ꎬ
可得ｙ
Ｐ＝２ꎬ
此时Ｐ
(４ꎬ２)ꎬ
ＯＡ 即ＭＭ′与ｘ轴平行
ꎬ
８ ｙ ｙ
点Ｍ′的纵坐标为 即 １＋ ２ ｙ ｙ
∥ ＢＰ ꎬ∴ Ｓ 四边形ＯＡＢＰ＝ (２＋３)×４ ＝１０ .故选 Ｃ . ∴ １ꎬ ２ ＝１⇒ １＋ ２＝２ꎬ
２
故ｋ ４ ４ .
＝ｙ ｙ ＝ ＝２
１＋ ２ ２
答案 Ｄ Ｃ
(１) (２)
二、抛物线焦点弦问题的求解方法
１.当直线与抛物线相交且直线过焦点时 要充分考虑抛物线的
ꎬ
定义 将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离进行
ꎬ
转化 利用数形结合的方法或将交点坐标 ｘ ｙ ｘ ｙ 进
ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ( ２ꎬ ２)
行整体运算 如用根与系数的关系对 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ
( １＋ ２ꎬ １ ２ꎬ １＋ ２ꎬ １ ２ 答案
进行整体运算 求解.
２
)
２.熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 抛物线的定义和标准方程
学生用书P254
线ｘ
＝２
与抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
交于Ｄ
ꎬ
Ｅ两点
ꎬ
若ＯＤ
⊥
ＯＥ
ꎬ
１.(２０２２全国乙ꎬ理５ꎬ文６ꎬ５分ꎬ综合性)设Ｆ为抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝
则
(
Ｃ的焦
)
点坐标为
( ) ( )
ｘ的焦点 点Ａ在Ｃ上 点Ｂ 若 ＡＦ ＢＦ 则 ＡＢ
４ ꎬ ꎬ (３ꎬ０)ꎬ ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ ｜ ｜＝ １ １
Ａ. ꎬ０ Ｂ. ꎬ０ Ｃ.(１ꎬ０) Ｄ.(２ꎬ０)
４ ２
( )
答案 Ｂ
Ａ.２
答案 Ｂ
Ｂ.２ ２ Ｃ.３ Ｄ.３ ２ ３.(２０１９课标
Ⅱ
ꎬ文９ꎬ理８ꎬ５分ꎬ综合性)若抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>
２.(２０１１ 陕西 ꎬ２ꎬ５分ꎬ基础性)设抛物线的顶点在原点 准线 的焦点是椭圆
ｘ２ ｙ２
的一个焦点 则ｐ
ꎬ ０) ｐ＋ ｐ ＝１ ꎬ ＝ ( )
方程为ｘ 则抛物线的方程是 ３
＝－２ꎬ ( )
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.８
Ａ. ＝－８ Ｂ. ＝８ 答案 Ｄ
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
Ｃ.
答
＝
案
－４
Ｂ
Ｄ. ＝４ ４.(２０１２安徽ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)过抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点Ｆ的直线
交该抛物线于Ａ Ｂ两点 Ｏ为坐标原点.若 ＡＦ 则 ＡＯＢ的面
３.(２０２０课标 理ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)已知Ａ为抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ꎬ ꎬ ｜ ｜＝３ꎬ △
Ⅰ : ＝２ 积为
ｐ 上一点 点Ａ到Ｃ的焦点的距离为 到ｙ轴的距离为 ( )
( >０) ꎬ １２ꎬ
则ｐ
９ꎬ ＝ ( ) ２ ３ ２
Ａ. Ｂ. ２ Ｃ. Ｄ.２ ２
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.６ Ｄ.９ ２ ２
答案 Ｃ 答案 Ｃ
４.(２０１７课标
Ⅱ
文ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)过抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝４
ｘ的焦 ５.(２０１８北京文ꎬ１０ꎬ５分ꎬ基础性)已知直线ｌ过点
(１ꎬ０)
且垂
点Ｆ 且斜率为 的直线交Ｃ于点Ｍ Ｍ在ｘ轴的上方 ｌ为Ｃ
直于ｘ轴.若ｌ被抛物线ｙ２
＝４
ａｘ截得的线段长为
４ꎬ
则抛物线
ꎬ ３ ( )ꎬ
的准线 点Ｎ在ｌ上且ＭＮ ｌ 则Ｍ到直线ＮＦ的距离为 的焦点坐标为 .
ꎬ ⊥ꎬ
答案 ( ꎬ )
１ ０
( )
６.(２０１３安徽ꎬ１３ꎬ５分ꎬ应用性)已知直线ｙ ａ交抛物线ｙ ｘ２
＝ ＝
Ａ. ５ Ｂ.２ ２ Ｃ.２ ３ Ｄ.３ ３ 于Ａ Ｂ两点.若该抛物线上存在点Ｃ 使得 ＡＣＢ为直角 则ａ
答案 Ｃ ꎬ ꎬ ∠ ꎬ
的取值范围为 .
５.(２０２１北京ꎬ１２ꎬ５分ꎬ基础性)已知抛物线 ｙ２ ｘ 的焦点为
＝４ 答案 [ ꎬ )
Ｆ 点Ｍ在抛物线上 ＭＮ垂直ｘ轴于点Ｎ.若 ＭＦ 则点Ｍ １ ＋∞
的
ꎬ
横坐标为
ꎬ
ＭＮＦ的面积为
｜
.
｜＝６ꎬ ７.(２０２１全国乙文ꎬ２０ꎬ１２分ꎬ综合性)已知抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
ꎻ△
的焦点Ｆ到准线的距离为 .
答案 ꎻ >０) ２
５ ４ ５ 求Ｃ的方程
６.(２０２１新高考 ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)已知Ｏ为坐标原点 抛物 (１) ꎻ
Ⅰ ꎬ
线Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
的焦点为Ｆ
ꎬ
Ｐ为Ｃ上一点
ꎬ
ＰＦ与ｘ轴垂
(２)
已知Ｏ为坐标原点
ꎬ
点Ｐ在Ｃ上
ꎬ
点Ｑ满足Ｐ→Ｑ
＝９
Ｑ→Ｆ
ꎬ
求
直 Ｑ为ｘ轴上一点 且ＰＱ ＯＰ.若 ＦＱ 则Ｃ的准线方程 直线ＯＱ斜率的最大值.
ꎬ ꎬ ⊥ ｜ ｜＝６ꎬ
为 . 解析 ( ) 抛物线ｙ２ ｐｘ(ｐ )的焦点Ｆ到准线的距离
１ ∵ ＝２ >０
为 ꎬ ｐ . 抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ.
答案 ｘ ３ ２ ∴ ＝２∴ ＝４
７.(２０１２ 陕西
＝－
ꎬ１ ２ ３ꎬ５分ꎬ应用性)如图是
(
２
)由已知不妨设点Ｐ(
４
ｘ２
０
ꎬ
４
ｘ
０
)ꎬＱ(ｘ
１
ꎬｙ
１
)ꎬ
则Ｐ→Ｑ (ｘ ｘ２ꎬｙ ｘ )ꎬ
抛物线形拱桥 当水面在 ｌ 时 拱顶离 ＝ １－４ ０ １－４ ０
ꎬ ꎬ
水 后 面 水 ２ 面 米 宽 ꎬ 水面宽 ４ 米 米 . .水位下降 １ 米 ∵
Ｆ(
１
ꎬ
０
)ꎬ
∴
Ｑ→Ｆ
{ ＝ ｘ
(
１－ ｘ
ｘ
２ １
ꎬ
－ (
ｙ
１
)ꎬ
ｘ )ꎬ
ꎬ Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆꎬ １－４ ０＝９ １－ １
答案 ２ ６ ∵ ＝９ ∴ ｙ １－４ ｘ ０＝９ ( － ｙ １ )ꎬ
年 高 考 ８ 第 ｜ Ａ .( 一 Ｂ ２ ｜ ０ 象 ＝ ２１ ３ 限 ꎬ 上 则 的 海 直 Ａ ꎬ ꎬ 线 １ Ｂ １ꎬ Ａ 在 ５ Ｂ 分 抛 的 ꎬ 物 斜 综 线 率 合 上 为 性 ꎬ ) 焦 已 点 知 为 抛 物 Ｆ . ꎬ 线 ｜ Ａ : Ｆ ｙ２ ｜ ＝ ＝ ２ ２ ｐ ꎬ ｘ ( ｜ ｐ Ｂ > Ｆ ０ ｜ ) ＝ ꎬ ４ 若 ꎬ 整理得 ì î í ï ï ï ï ｘ ｙ １ １ ＝ ＝ １ １ ４ ０ ( ｘ ０ ９ ꎬ ＋４ ｘ２ ０ )ꎬ ∴ ｋ ＯＱ＝ ｙ ｘ １ １ ＝ ９＋ ４ ｘ ４ ０ ｘ２ ０ ꎬ
１０
答案 ５ 当ｋ 最大时ꎬｘ ꎬ
年 ＯＱ ０>０
２
模
考点二 抛物线的几何性质 ｋ ４ ４ １ ꎬ
拟 学生用书P255 ∴ ＯＱ＝ ≤ ＝
１.(２０１３四川ꎬ６ꎬ５分ꎬ综合性)抛物线ｙ２ ｘ的焦点到双曲线 ｘ ９ ＋４ ｘ ０ ２ ３６ ３
＝４ ０
ｙ２
ｘ２ 的渐近线的距离是 当且仅当 ｘ ９ 时取“ ”ꎬ
︵
－
３
＝１ ( ) ４ ０＝ｘ ＝
０
教
师 １ ３ 此时ｘ ３ ꎬ点Ｐ的坐标为( ꎬ )ꎬ
Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ. ３ ０＝ ９ ６
用 ２ ２ ２
书 答案 Ｂ
因此ｋ 的最大值为 １ .
︶ ２.(２０２０课标 ꎬ文７ꎬ理５ꎬ５分ꎬ综合性)设Ｏ为坐标原点 直 ＯＱ
Ⅲ ꎬ ３
２ ０４
由题设可得ｘ ｘ ５ .
１＋ ２＝
２
{
ｙ ３ｘ ｔꎬ
由 ＝ ＋ 可得 ｘ２ (ｔ )ｘ ｔ２ ꎬ
２ ９ ＋１２ －１ ＋４ ＝０
ｙ２ ｘ
＝３
(ｔ ) (ｔ )
则ｘ ｘ １２ －１ .从而 １２ －１ ５ ꎬ得ｔ ７ .
１＋ ２＝－ － ＝ ＝－
９ ９ ２ ８
８.(２０１９课标 理ꎬ１９ꎬ１２分ꎬ综合性)已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的 所以ｌ的方程为ｙ ＝ ３ ｘ － ７ .
Ⅰ : ＝３
２ ８
{
焦点为Ｆ 斜率为 ３ 的直线ｌ与Ｃ的交点为Ａ Ｂ 与ｘ轴的交
ｙ ３ ｘ ｔꎬ
ꎬ ２ ꎬ ꎬ ( )由→ＡＰ Ｐ→Ｂ可得ｙ ｙ .由 ＝ ＋ 可得ｙ２ ｙ ｔ .
点为Ｐ. ２ ＝３ １＝－３ ２ ２ －２ ＋２ ＝０
ｙ２ ｘ
若 ＡＦ ＢＦ 求ｌ的方程
＝３
(１) ｜ ｜＋｜ ｜＝４ꎬ ꎻ 所以ｙ ｙ .从而 ｙ ｙ ꎬ故ｙ ꎬｙ .
１＋ ２＝２ －３ ２＋ ２＝２ ２＝－１ １＝３
若→ＡＰ Ｐ→Ｂ 求 ＡＢ .
(２) ＝３ ꎬ ｜ ｜ 代入Ｃ的方程得ｘ ꎬｘ １ .故 ＡＢ ４ １３.
解析 设直线ｌ:ｙ ３ ｘ ｔꎬＡ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ ).
１＝３ ２＝
３
｜ ｜＝
３
＝ ＋ １ １ ２ ２
２
( )
( )由题设得Ｆ ３ ꎬ ꎬ故 ＡＦ ＢＦ ｘ ｘ ３ ꎬ
１ ０ ｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋ ２＋
４ ２
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ ０５
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P256
考点一 抛物线的定义和标准方程 ４.(２０２１广东湛江一模ꎬ６)已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ 的焦
: ＝－２ ( >０)
１.(２０２２武汉２月调研ꎬ３)已知抛物线ｙ２ ＝２ ｐｘ ( ｐ >０) 的焦点为 点为Ｆ ꎬ 点Ｍ是Ｃ上的一点 ꎬ Ｍ到直线ｙ ＝２ ｐ的距离是Ｍ到Ｃ
的准线距离的 倍 且 ＭＦ 则ｐ
Ｆ 点Ｍ 为抛物线上一点 则 ＭＦ ２ ꎬ ｜ ｜＝６ꎬ ＝ ( )
ꎬ (２ꎬ２ ２) ꎬ ｜ ｜＝ ( )
Ａ.４ Ｂ.６ Ｃ.８ Ｄ.１０
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ 答案 Ａ
答案 Ｂ
２ > . ０ ( ) ２ 的 ０２ 焦 ２ 山 点 东 ꎬ 点 烟 Ｐ 台 在 、德 抛 州 物 一 线 模 上 ꎬ 且 ５) 横 已 坐 知 标 点 为 Ｆ ８ 为 ꎬ Ｏ 抛 为 物 坐 线 标 ｙ２ 原 ＝ 点 ２ ｐｘ ꎬ ( 若 ｐ ５ ０ . ) ( 与 ２０ 抛 ２２ 物 福 线 建 ｘ ４ ２ ＝ 月 ２ 百 ｐ ２ 校 ｙ ( 联 ｐ ２ 合 >０ 测 ) 评 在 ꎬ 第 １５ 一 )已 象 知 限 抛 内 物 的 线 交 ｙ 点 ２ ＝ 为 ２ ｐ １ Ｐ ｘ ( ( ｐ ｘ １ ０ > ꎬ
△
ＯＦＰ的面积为
２ ２ꎬ
则该抛物线的准线方程为
( )
ｙ
与
０)
圆
ꎬ 若
Ｃ
点
相切
Ｐ在
则
圆
ｐ
Ｃ
ｐ
:( ｘ － １０) ２ ＋
.
( ｙ － １０) ２ ＝８ 上 ꎬ 且直线ＯＰ
ｘ １ ｘ ꎬ １ ２＝
Ａ. ＝－ ２ Ｂ. ＝－１ 答案 ３
ｘ ｘ １０
Ｃ.
答
＝
案
－２
Ｂ
Ｄ. ＝－４ ６.(２０２１广东肇庆二模ꎬ１５)已知点Ｐ是抛物线ｘ２
＝８
ｙ上的一
３.(２０２２湖北九师联盟３月质检ꎬ８)如图 已知抛物线Ｃ ｙ２
个动点
ꎬ
则点Ｐ到点Ａ
(２ꎬ０)
的距离与到抛物线的准线的距离
ꎬ : ＝
之和的最小值为 .
ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 直线ｌ与Ｃ相交于Ａ Ｂ两点 与ｙ轴相
２ ( >０) ꎬ ꎬ ꎬ
交于Ｅ点.已知 ＡＦ ＢＦ 若 ＡＥＦ ＢＥＦ的面积分 答案
｜ ｜＝７ꎬ｜ ｜＝３ꎬ △ ꎬ△ ２ ２
Ｓ 考点二 抛物线的几何性质
别为Ｓ Ｓ 且 １ 则抛物线Ｃ的方程为
１ꎬ ２ꎬ Ｓ
２
＝３ꎬ ( )
１.(２０２２广东粤港澳大湾区普通高中毕业联考ꎬ４)已知圆Ｏ
:
ｘ２
ｙ２ 与抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线相切 则ｐ的值为
＋ ＝２ : ＝２ ( >０) ꎬ
( )
Ａ. ２ Ｂ.２ Ｃ.２ ２ Ｄ.４
答案 Ｃ
２.(２０２２百校联盟教育教学质量检测(一)ꎬ８)已知 Ａ Ｂ 是抛
ꎬ
物线Ｅ ｙ２ ｘ上的点 Ｃ是ｘ轴上的点 ＡＣ ｘ轴 ＡＢＣ为等
: ＝ ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ△
边三角形 则Ａ的横坐标为
ꎬ ( )
１ ４ １６
Ａ. Ｂ. Ｃ.３ Ｄ.
３ ３ ３
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ 答案 Ｂ
Ａ. ＝２ Ｂ. ＝４
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ３.(２０２２江苏连云港二模ꎬ８)直线ｌ ｙ ｘ 与抛物线Ｃ ｙ２
Ｃ. ＝６ Ｄ. ＝８ : ＝－ ＋１ : ＝
答案 Ｂ ｘ交于Ａ Ｂ两点 圆Ｍ过点Ａ Ｂ且与抛物线Ｃ的准线相切
４ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
则圆Ｍ的半径是
( ) ｜ →ＡＦ ｜＋｜ Ｂ→Ｆ ｜＋｜ Ｃ→Ｆ ｜＝ ( )
或 或
Ａ.４ Ｂ.１０ Ｃ.４ １０ Ｄ.４ １２
Ａ.６ Ｂ.８ Ｃ.１０ Ｄ.１２
答案 Ｄ
答案 Ｄ
４.(２０２１山东枣庄二模ꎬ４)已知点 (１ꎬ１) 在抛物线Ｃ : ｙ２ ＝２ ｐｘ ( ｐ ６.(２０２２河北九师联盟３月质检联考(一模)ꎬ１６)已知Ａ Ｂ为
ꎬ
>０)
上
ꎬ
则Ｃ的焦点到其准线的距离为
( ) 抛物线Ｃ : ｙ２ ＝４ ｘ上两点 ꎬ Ｏ为坐标原点 ꎬ 若ＯＡ ⊥ ＯＢ ꎬ 直线ＡＢ
１ １
必过定点 则定点的坐标为 ＡＢＯ的面积的最小值
Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ.２ ꎬ ꎻ△
４ ２ 是 .
答案 Ｂ
答案 ( ꎬ )ꎻ
５.(２０２１山东聊城二模ꎬ４)已知 ＡＢＣ的三个顶点都在抛物线 ４ ０ １６
△
ｘ２ ｙ 上 且 Ｆ 为抛物线的焦点 若→ＡＦ １ →ＡＢ →ＡＣ 则
＝８ ꎬ ꎬ ＝ ( ＋ )ꎬ
３
年
高
考
年
模
拟
︵ 教
师
用
书
︶
２ ０６
B组 综合应用题组 学生用书P257
45分钟 55分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) 四、解答题(共２５分)
１.(２０２２江苏泰州二调ꎬ７)在平面直角坐标系ｘＯｙ中 点Ａ ７.(２０２２福建龙岩一模ꎬ２１)设点Ｆ 动圆经过点Ｆ且和
ꎬ (１ꎬ (１ꎬ０)ꎬ
Ｂ 动点Ｃ在线段ＯＢ上 ＢＤ ｙ轴 ＣＥ ｙ轴 ＣＦ 直线ｘ 相切 记动圆的圆心Ｐ的轨迹为曲线Ｅ.
０)ꎬ (９ꎬ６)ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ＝－１ ꎬ
ＢＤ 垂足分别是Ｄ Ｅ Ｆ ＯＦ与ＣＥ相交于点Ｐ.已知点Ｑ在点 求曲线Ｅ的方程
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ (１) ꎻ
Ｐ的轨迹上 且 ＯＡＱ ° 则 ＡＱ 过点Ｆ的直线交曲线Ｅ于Ａ Ｂ两点 另一条与直线ＡＢ平
ꎬ ∠ ＝１２０ ꎬ ｜ ｜＝ ( ) (２) ꎬ ꎬ
行的直线交ｘ轴于点Ｍ 交ｙ轴于点Ｎ 若 ＮＡＢ是以点Ｎ为
４ ２ ꎬ ꎬ △
Ａ.４ Ｂ.２ Ｃ. Ｄ. 直角顶点的等腰直角三角形 求点Ｍ的横坐标.
３ ３ ꎬ
答案 Ａ 解析 ( )由题意ꎬ知点Ｐ到点Ｆ的距离等于点Ｐ到直线ｘ
１
２.(２０２２广东深圳二模ꎬ８)过抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点Ｆ作 的距离ꎬ所以点Ｐ的轨迹是以Ｆ( ꎬ )为焦点ꎬ直线ｘ
＝２ ( >０) ＝－１ １ ０ ＝－１
直线ｌ ꎬ 交抛物线于Ａ ꎬ Ｂ两点 ꎬ 若 ｜ ＦＡ ｜＝３｜ ＦＢ ｜ꎬ 则直线ｌ的倾 为准线的抛物线ꎬｐ ＝２ ꎬ故曲线Ｅ的方程是ｙ２ ＝４ ｘ.
斜角等于
Ａ.３０ °或 １５０ ° Ｂ.４５ °或 １３５ ° ( ) { ( ２ ｘ )设 ｍｙ 直线 ꎬ ＡＢ的方程为ｘ ＝ ｍｙ ＋１ ꎬＡ(ｘ １ ꎬ { ｙ ｙ １ )ꎬ ｙ Ｂ(ｘ ２ ｍ ꎬｙ ꎬ ２ )ꎬ ｙ 联立 ｙ 得
°或 ° 与ｐ的值有关 ＝ ＋１ 消去ｘ得 ｙ２ ｍｙ ꎬ则 １＋ ２＝４ 则 １＋ ２
Ｃ.６０ １２０ Ｄ. ｙ２ ｘꎬ －４ －４＝０ ｙ ｙ ꎬ ＝
答案 Ｃ ＝４ １ ２＝－４ ２
ｙ ｙ
３.(２０２１石家庄３月质检ꎬ７)已知Ｆ是抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦 ｍꎬｍ １＋ ２ ｍ２ ꎬ
: ＝８ ２ ＋１＝２ ＋１
２
点
则
ꎬ Ｍ
ＭＦ
是
的
Ｃ
值
上
为
一点 ꎬ ＭＦ的延长线交ｙ轴于点Ｎ.若Ｍ→Ｆ ＝２ Ｆ→Ｎ ꎬ 即ＡＢ的中点Ｃ的坐标为( ２ ｍ２ ＋１ ꎬ ２ ｍ)ꎬ ｜ ＡＢ ｜ ＝ (ｘ １＋１ ) ＋ (ｘ ２＋
｜ ｜ ( ) ) ｍ(ｙ ｙ ) ｍ２ ꎬ
１ ＝ １＋ ２ ＋４＝４ ＋４
Ａ.８ Ｂ.６ Ｃ.４ Ｄ.２ 由 ＮＡＢ是以点Ｎ 为直角顶点的等腰直角三角形ꎬ得 ＮＣ
答案 Ａ △ ⊥
ＡＢꎬ过Ｃ与ＡＢ垂直的直线的方程为ｙ ｍ(ｘ ｍ２ ) ｍꎬ令
二、多项选择题(共５分) ＝－ －２ －１ ＋２
ｘ ꎬ得ｙ ｍ３ ｍꎬ故点Ｎ的坐标为( ꎬ ｍ３ ｍ)ꎬ又 ＮＣ
４.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ１２)已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ ＝０ ＝２ ＋３ ０ ２ ＋３ ｜ ｜＝
: ＝２ (
的准线ｌ的方程为ｙ 过Ｃ的焦点Ｆ的直线与Ｃ交于 １ ＡＢ ｍ２ ꎬ
>０) ＝－１ꎬ ｜ ｜＝２ ＋２
Ａ Ｂ两点 以Ａ Ｂ为切点分别作Ｃ的两条切线 且两切线交于 ２
点
ꎬ
Ｍ 则下
ꎬ
列结
ꎬ
论正确的是
ꎬ 故
１＋
ｍ２(
２
ｍ２
＋１
)
＝２
ｍ２
＋２
ꎬ
ꎬ ( )
Ａ.
Ｃ的方程为ｘ２
＝２
ｙ
令 ｍ２ ｔꎬｔ ꎬ则ｔ( ｔ２ ) ｔ２ꎬ解得ｔ １＋ ３ꎬ即 ｍ２
ＡＭＢ ° １＋ ＝ ≥１ ２ －１ ＝２ ＝ １＋
Ｂ.∠ ＝９０ ２
Ｍ恒在ｌ上
Ｃ. １＋ ３ꎬ解得ｍ２ ３ꎬ又直线ＭＮ的方程为ｙ １ ｘ ｍ３ ｍꎬ
ＭＦ ２ ＡＦ ＢＦ ＝ ＝ ＝ ｍ ＋２ ＋３
Ｄ.｜ ｜ ＝｜ ｜｜ ｜ ２ ２
答案 ＢＣＤ ( )
三、填空 题(每 小题５分ꎬ共１０分)
令ｙ
＝０
ꎬ得到点Ｍ的横坐标为ｘ
Ｍ＝－２
ｍ４
－３
ｍ２
＝
－３ １＋ ３ .
２
５.(２０２２辽宁东北育才学校模拟ꎬ１５)设抛物线Ｅ ｙ２ ｘ的焦 ８.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ２１)已知Ｏ为
: ＝８
点为Ｆ
ꎬ
过点Ｆ的直线与抛物线交于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
过弦ＡＢ的中 坐标原点
ꎬ
抛物线Ｅ
:
ｘ２
＝２
ｐｙ
(
ｐ
>０)ꎬ
过点Ｃ
(０ꎬ２)
作直线ｌ交抛
点Ｍ作Ｅ的准线的垂线 与抛物线Ｅ交于点Ｐ 若 ＰＦ ７ 物线Ｅ于点Ａ Ｂ 其中点Ａ在第一象限 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 且→ＡＣ
ꎬ ꎬ ｜ ｜＝ ꎬ 、 ( )ꎬ ＝－４ ＝
２
则 ＡＢ . λＣ→Ｂ λ .
｜ ｜＝ ( >０)
答案 求抛物线Ｅ的方程
１４ (１) ꎻ
６.(２０２２福州一模ꎬ１６)已知抛物线Ｃ
:
ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
ꎬ
过Ｆ
(２)
当λ
＝２
时
ꎬ
过点Ａ
、
Ｂ的圆与抛物线Ｅ在点Ａ处有共同的
的动直线ｌ交Ｃ于Ａ Ｂ两点 过Ａ Ｂ分别作Ｃ的切线ｌ ｌ ｌ 切线 求该圆的方程.
与ｌ 交于点 Ｐ.经探 ꎬ 究可知点 ꎬ Ｐ 必 ꎬ 在一条定直线上 其 １ꎬ 方 ２ꎬ 程 １ 解析 ꎬ 直线ｌ的斜率显然存在ꎬ设直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ ꎬ
２ ꎬ ＝ ＋２ 为 记ｌ ｌ 与ｙ轴的交点分别为Ｍ Ｎ 若ｌ的倾斜角 Ａ(ｘ ꎬｙ )(ｘ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬ
ꎻ １ꎬ２ ꎬ ꎬ １ １ １>０ ２ ２
为 ° 则四边形ＰＭＦＮ的面积为 . ｘ２ ｘ２
３０ ꎬ 由Ａ、Ｂ在抛物线上ꎬ得ｙ １ꎬｙ ２.
答案 ｘ ꎻ １＝ ｐ ２＝ ｐ
＝－１ ４ ２ ２
{ｙ ｋｘ ꎬ
(
１
)由
ｘ２
＝
＝２
＋
ｐｙ
２ 消ｙ并整理得ｘ２
－２
ｐｋｘ
－４
ｐ
＝０
ꎬ 则线段ＡＢ的垂直平分线方程为ｙ
－
２
５
＝－２
(ｘ
－１
)ꎬ即ｙ
＝－２
ｘ
＋
{ｘ ｘ ｐｋꎬ
所以 １＋ ２＝２ ９ .对ｙ
＝
１ ｘ２ 求导得ｙ′
＝
１ ｘ.
ｘ ｘ ｐꎬ ２ ４ ２
１ ２＝－４ 则抛物线Ｅ在点Ａ处的切线斜率为 ꎬ
ｘ２ ｘ２ ２
由Ｏ→ＡＯ→Ｂ ꎬ得ｘ ｘ ｙ ｙ ꎬ所以ｘ ｘ １ ２ ꎬ所
＝－４ １ ２＋ １ ２＝－４ １ ２＋ ｐ ｐ＝－４ 过点Ａ且与切线垂直的直线方程为ｙ １ (ｘ )ꎬ即 ｙ
２ ２ －４＝－ －４ ＝
以 ｐ ꎬ解得ｐ ꎬ ２
－４ ＋４＝－４ ＝２
所以抛物线Ｅ的方程为ｘ２ ｙ. １ ｘ .
＝４ － ＋６
{ｙ ｋｘ ꎬ {ｘ ｘ ｋꎬ ２
(
２
)由
ｘ２
＝
＝４
＋
ｙ
２ 消ｙ并整理得ｘ２
－４
ｋｘ
－８＝０
ꎬ所以
ｘ
１
１ ｘ
＋
２＝
２＝
－
４
８ ꎬ 由ｙ ＝－２ ｘ ＋ ２ ９ 及ｙ ＝－ ２ １ ｘ ＋６ 得圆心坐标为
(
－１ ꎬ１ ２ ３
)
ꎬ
当λ 时ꎬ→ＡＣ Ｃ→Ｂꎬ所以ｘ ｘ ꎬ又ｘ ꎬ所以ｘ ꎬｘ ( )
＝２ ＝２ １＝－２ ２ １>０ １＝４ ２＝ 则圆的半径为 ( )２ １３ ２ １２５ꎬ
－１－４ ＋ －４ ＝
ꎬｋ １ ꎬ ２ ４
－２ ＝ ( )
２ ( ) 所以所求圆的方程为(ｘ )２ ｙ １３ ２ １２５.
＋１ ＋ － ＝
所以线段ＡＢ的中点坐标为 ꎬ５ ꎬＡ的坐标为( ꎬ )ꎬ ２ ４
１ ４ ４
２
第
十
章
圆
锥
曲
线
２ ０７
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P258
１.(２０２２ ５３原创题)已知过点Ａ 的动圆Ｐ与直线ｘ 解析 ( )由已知得 ＭＦ ＭＮ ꎬ故由抛物线的定义得Ｍ
(１ꎬ０) ＝ １ ｜ ｜＝｜ ｜
的轨迹Ｃ是以Ｆ为焦点ꎬｌ为准线的抛物线ꎬ
相切 则到直线ｙ ｘ的距离为 ２的圆心Ｐ的个数为
－１ ꎬ ＝ ( ) 所以抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ.
２ ＝８
( ) 由已知得ｌ 的方程为ｙ ｋ(ｘ )(ｋ )ꎬ代入ｙ２ ｘ得
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４ ２ ① １ ＝ ＋２ ≠０ ＝８
答案 Ｃ ｋｙ２ ｙ ｋ ꎬ由于 ｌ 与 Ｃ 有两个交点 ＰꎬＱꎬ故 Δ
－８ ＋１６ ＝０ １ ＝６４－４×
２.(２０２２ ５３原创题)已知抛物线ｙ １ ｘ２ 的焦点为Ｆ 过Ｆ １６
ｋ２
>０
ꎬ解得
－１<
ｋ
<１
ꎬ又ｋ
≠０
ꎬ
＝ ꎬ 所以斜率ｋ的取值范围为( ꎬ ) ( ꎬ ).
４ －１ ０ ∪ ０ １
作直线ｌ与抛物线交于Ａ
ꎬ
Ｂ两点
ꎬ
且→ＡＦ
＝４
Ｆ→Ｂ
ꎬ
Ｏ为坐标原点
ꎬ 证明 设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则ｙ ｙ ８ ｙ ｙ
则 ＯＡＢ的面积为 . ② : ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ １＋ ２＝ ｋ ꎬ １ ２＝１６ꎬ
△
则 ＴＰ ＴＱ ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
答案 ５ ｜ ｜｜ ｜＝ ( １＋２) ＋ １ ( ２＋２) ＋ ２
æ ö æ ö
２ ç １ ÷ ｙ ｙ ç １ ÷.
３.(２０２２ ５３原创题)已知定点Ｆ
(２ꎬ０)ꎬ
动点Ｎ在直线ｌ
:
ｘ
＝
＝è１＋ｋ２ ø｜ １ ２｜＝１６è１＋ｋ２ ø
－２
上
ꎬ
过点Ｎ作ｌ的垂线与ＮＦ的垂直平分线交于点Ｍ
ꎬ
记点 设ｌ
２
的方程为ｙ
＝
ｋ
(
ｘ
－２)ꎬ
代入ｙ２
＝８
ｘ得ｋｙ２
－８
ｙ
－１６
ｋ
＝０ꎬ
设
Ｍ的轨迹为Ｃ.
Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则ｙ ｙ ８ ｙ ｙ
求曲线Ｃ的方程 ( ３ꎬ ３)ꎬ ( ４ꎬ ４)ꎬ ３＋ ４＝ ｋ ꎬ ３ ４＝－１６ꎬ
(１) ꎻ
过Ｔ Ｆ作斜率均为ｋ的两条直线ｌ ｌ 若ｌ ｌ 与 ｙ ｙ ｙ ｙ
(２) (－２ꎬ０)、 １ꎬ ２ꎬ １ꎬ ２ ＡＦ ＢＦ ３ ４ ３ ４ ４ ｙ ｙ
曲线Ｃ分别有两个交点Ｐ Ｑ和Ａ Ｂ. ｜ ｜｜ ｜＝ ｋ ＋４ ｋ ＋４ ＝ ｋ２ ＋ ｋ ( ３＋ ４)＋１６
ꎬ ꎬ
ＴＰ ＢＦ æ ö ＴＰ ＢＦ
求斜率ｋ的取值范围 求证 ｜ ｜ ｜ ｜. ç １ ÷ 故 ＴＰ ＴＱ ＡＦ ＢＦ 即｜ ｜ ｜ ｜.
① ꎻ ② :
｜
ＡＦ
｜
＝
｜
ＴＱ
｜
＝１６è１＋ｋ２ øꎬ ｜ ｜｜ ｜＝｜ ｜｜ ｜ꎬ
｜
ＡＦ
｜
＝
｜
ＴＱ
｜
