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2025二轮复习专项训练25
圆锥曲线的方程与性质
[考情分析] 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题第
一问的形式命题，题目常为中档难度．
【练前疑难讲解】
一、圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF |＋|MF |＝2a(2a>|FF|)．
1 2 1 2
(2)双曲线：||MF |－|MF ||＝2a(2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误．
2．圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆：＋＝1(a>b>0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a>b>0)(焦点在y轴上)．
(2)双曲线：－＝1(a>0，b>0)(焦点在x轴上)或－＝1(a>0，b>0)(焦点在y轴上)．
(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
二、椭圆、双曲线的性质
椭圆、双曲线的性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.
②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F(－c，0)，F(c，0)．
1 2
②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F(0，－c)，F(0，c)．
1 2
三、抛物线的性质
抛物线的焦点坐标与准线方程
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.
(2)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点
P在C上， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知 ， 是双曲线 的左、
右焦点，若双曲线上存在点P满足 ，则双曲线离心率的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
3．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆 的离心率
分别为它的左、右焦点， 分别为它的左、右顶点， 是椭圆 上的一个动点，且
的最大值为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．当 不与左、右端点重合时， 的周长为定值
B．当 时，
C．有且仅有4个点 ，使得 为直角三角形
D．当直线 的斜率为1时，直线 的斜率为
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线 的焦点为
为抛物线 上的任意三点（异于坐标原点 ），
，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司C．设 到直线 的距离分别为 ，则
D．若直线 的斜率分别为 ，则
三、填空题
5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ，过 作一条渐近线的垂线交双曲线 的左支于点 ，已知 ，则双曲线
的渐近线方程为 ．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线
为l．若C恰过 ， ， 三点中的两点，则C的方程为 ；若过C
的焦点的直线与C交于A，B两点，且A到l的距离为4，则 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·浙江温州·三模）已知 是椭圆 的左右焦点， 上两
点 满足： ， ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭
圆上的任意一点，若 的最大值是 ，则椭圆 的方程为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为
，且 的一条渐近线与直线 平行，则双曲线 的标准方程为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽合肥·一模）双曲线 的焦距为4，则 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·湖北·期末）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左，
右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若 ， ，则双曲线 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2024·陕西商洛·三模）已知点 在抛物线 上，抛物线 的准线与 轴交于
点 ，线段 的中点 也在抛物线 上，抛物线 的焦点为 ，则线段 的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，则抛物线
学科网（北京）股份有限公司的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知抛物线C： 的顶点为O，经
过点 ，且F为抛物线C的焦点，若 ，则p＝（ ）
A． B．1 C． D．2
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃武威·阶段练习）已知椭圆 ，则
（ ）
A． 的焦点都在 轴上 B． 的焦距不相等
C． 有公共点 D．椭圆 比椭圆 扁平
10．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引
论》中证明，方程 表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性
质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记
.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
11．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线 与
学科网（北京）股份有限公司的离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的焦点在x轴上， 的焦点在y轴上
B． 的焦点到其渐近线的距离与 的焦点到其渐近线的距离相等
C． 的最小值为
D．
12．（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为
三、填空题
13．（2024·山东·二模）已知椭圆 的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，如果
，那么点 到 轴的距离是 .
14．（2023·广东深圳·一模）若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆
的离心率为 ．
15．（2024·湖南长沙·一模）已知 为坐标原点， ， ， ，向量
，动点 满足 ，写出一个 ，使得有且只有一个点 同时满足
，则 .
16．（2023·四川成都·一模）已知双曲线 的渐近线与圆
学科网（北京）股份有限公司相切，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．（2021·陕西西安·三模）已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，
且右焦点为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 交椭圆 于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ．求直线 的
方程．
18．（21-22高二上·河北保定·期中）已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M 满足直线AM
与BM的斜率之积为 ，记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)若直线 和曲线C相交于E，F两点，求 .
19．（2021·四川·二模）已知点 ，直线 ， 为 轴右侧或 轴上动点，且点
到 的距离比线段 的长度大1，记点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知直线 交曲线 于 ， 两点（点 在点 的上方）， ， 为曲线 上
两个动点，且 ，求证：直线 的斜率为定值.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·山西·一模）已知 是椭圆 的左､右焦点，经过 的直
线 与椭圆 相交于 两点，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·山东潍坊·三模）已知 ， 分别为椭圆 ： 的左、右焦点，点
在 上，若 大于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·四川雅安·一模）已知 为双曲线 的左、右焦点，
点 在 上，若 ， 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，
过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
5．（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线 的左顶点，点B和点C在双曲线
的左支上，若 是等腰直角三角形，则 的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司6．（2023·湖北武汉·三模）已知点M，N是抛物线 ： 和动圆C：
的两个公共点，点F是 的焦点，当MN是圆C的直径时，直
线MN的斜率为2，则当 变化时， 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·天津滨海新·三模）已知双曲线 ： ，抛物线 ：
的焦点为 ，准线为 ，抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点为 ，且 在第一象限，
过 作 的垂线，垂足为 ，若直线 的倾斜角为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·天津·一模）已知双曲线 与抛物线 ，
抛物线 的准线过双曲线 的焦点 ，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为
点 ，延长 与抛物线 相交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率等
于（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津·一模）以双曲线 的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径
的圆交抛物线 于A，B两点.已知 ，则抛物线的焦点到准线的距
离为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． 或4 B． C． 或4 D．4
二、多选题
10．（2024·江苏南通·二模）已知椭圆 （ ）的左，右焦点分别为 ，
，上，下两个顶点分别为 ， ， 的延长线交 于 ，且 ，则
（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．直线 的斜率为
C． 为等腰三角形
D．
11．（2024·全国·模拟预测）关于方程 表示的曲线 ，下列说法正
确的是（ ）
A． 可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若 为双曲线，则 为钝角
C．若 为锐角，则 为焦点在 轴上的椭圆
D．若 为椭圆， 为椭圆 上不与长轴顶点 重合的点，则
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，以线段 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为
．则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则双曲线 的渐近线方程为
学科网（北京）股份有限公司B．若点 为线段 的三等分点，则双曲线 的离心率为3
C．若点 为线段 的三等分点， ，则双曲线 的方程为
D．若 的面积为1，则双曲线 的焦距长的最小值为4
13．（2024·广西贺州·一模）“双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体
积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光
线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上
任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为 的双曲线C的离心率为 ，并且过点 ，坐标原点O为双
曲线C的对称中心，点M的坐标为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．若从 射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C．
D．过点 作 垂直 的延长线于H，则
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司14．（2024·陕西咸阳·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭
圆 上任意一点， 为曲线 上任意一点，则 的最小
值为 .
15．（24-25高三上·云南德宏·阶段练习）已知椭圆 （ ）的长轴长为4，
离心率为 .若 ， 分别是椭圆的上、下顶点， ， 分别为椭圆的上、下焦点， 为
椭圆上任意一点，且 ，则 的面积为 .
16．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
过原点 的直线 与 交于 两点．若 ，且 的面积为
2，则 的焦距为 ．
17．（2024·江苏·一模）设双曲线C： ( ， )的一个焦点为F，过F作一
条渐近线的垂线，垂足为E．若线段EF的中点在C上，则C的离心率为 ．
四、解答题
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆 的离心率为 ，点
在椭圆 上，过点 的两条直线 ， 分别与椭圆 交于另一点A，B，且直线
， ， 的斜率满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明直线 过定点；
学科网（北京）股份有限公司(3)椭圆C的焦点分别为 ， ，求凸四边形 面积的取值范围．
19．（2024·吉林白山·一模）已知 分别为双曲线 的左、右顶点，
为双曲线 上异于 的任意一点，直线 、 斜率乘积为 ，焦距为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点（ 不与 重合），记直线 ，
的斜率为 ， ，证明： 为定值．
20．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 与抛物线 ：
有相同的焦点 ，且椭圆 过点 ．
(1)求椭圆 与抛物线 的标准方程；
(2)椭圆 上一点 在 轴下方，过点 作抛物线 的切线，切点分别为 ，求 的
面积的最大值．
21．（2024·河北·二模）已知椭圆 的离心率 ．
(1)若椭圆 过点 ，求椭圆 的标准方程．
(2)若直线 ， 均过点 且互相垂直，直线 交椭圆 于 两点，
直线 交椭圆 于 两点， 分别为弦 和 的中点，直线 与 轴交于点
学科网（北京）股份有限公司，设 .
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 ．
22．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点 到定点 的距离比到定直线
的距离小 ，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 上的两个动点，若 恰好为平行四边形 的其中三个顶
点，且该平行四边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形 的
面积为 ，求证： .
学科网（北京）股份有限公司
