文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 满足
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上不同两点，
且 中点的横坐标为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．（2023·高三课时练习）已知椭圆 的左准线为l，左、右焦点分别为 、 ，抛物线 的准
线也为l，焦点是 ， 与 的一个交点为点P，则 的值等于（ ）
A． B． C．4 D．8
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 两点，
为坐标原点，记 与 的面积分别为 和 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直
线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限， 为等边三角形，则双曲线的离心率
（ ）A． B．5 C． D．7
6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点 的坐标为 ，点 是双曲线在第二象限的部分上一点，且 ， ，则
双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、多选题
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知非零常数a，若点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，直
线 与 相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数 ，那么下列说法中正确的有（ ）．
A．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当 时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
三、填空题
8．（2023·高三课时练习）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上，且
，则 =______.
9．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线 与
C无公共点”的e的一个值______________．
10．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
_________．
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·江西·高三校联考期末）如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形 的
面积等于8，则E的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，
在 上（ 位于第一象限），且点 ， 关于原点对称，若 ， ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
3.（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线l与
双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若 ，且双曲线的离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点P在双曲线上且
位于x轴上方，则下列结论正确的是（ ）
A．线段 的最小值为1
B．点P到两渐近线的距离的乘积为C．若 为直角三角形，则 的面积为5
D． 的内切圆圆心在直线 上
5．（2023秋·山西太原·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 两个不
同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若点 ，则 的最小值是3
B． 的最小值是2
C．若 ，则直线 的斜率为
D．过点 分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 ，则点 的横坐标为
三、填空题
6．（2023·高三课时练习）已知 、 是椭圆 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
，若 的面积为9，则b=______．
7．（2023·广西柳州·统考模拟预测）双曲线 的一条渐近线与曲线 交于M、N两个不
同的点，则 __________．
8．（2023·高三课时练习）设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点， ， ，过点M作
轴于点 ，过点N作 轴于点 ，M与 不重合，N与 不重合，设 ，
则点T的轨迹方程是______.
9．（2023秋·海南·高三统考期末）如图，已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足 ，且 ，则椭圆C的离心率为________．
10．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，若 在抛物线C上，且满足
，则 的最小值为______.
四、解答题
11．（2023·高三课时练习）已知 、 是双曲线 的左、右焦点.
(1)求证：双曲线C上任意一点M到双曲线两条渐近线的距离之积为常数；
(2)过 且垂直于x轴的直线交C于P、Q两点， ，且C过点（1，0），求双曲线C的方程.
12．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，点A是椭圆 的短
轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，P在y轴上，且 轴， .
(1)若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.
