文档内容
第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断.............................................................................................4
知识点2：弦长公式.............................................................................................................................4
知识点3：点差法.................................................................................................................................6
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系................................................................................................7
题型二：求中点弦所在直线方程问题..............................................................................................11
题型三：求弦中点的轨迹方程问题..................................................................................................14
题型四：利用点差法解决对称问题..................................................................................................19
题型五：利用点差法解决斜率之积问题..........................................................................................23
题型六：弦长问题..............................................................................................................................27
题型七：三角形面积问题..................................................................................................................35
题型八：四边形面积问题..................................................................................................................41
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................48
05课本典例·高考素材........................................................................................................................53
06易错分析·答题模板........................................................................................................................57
答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长......................................................................................57考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的全国卷的考查情况来
2024年北京卷第13题，5分
看，本节是高考的热点，特别是解答题
2024年甲卷（理）第20题，12分
（1）直线与圆锥曲线 中，更是经常出现．直线与圆锥曲线综
2023年I卷第22题，12分
的位置关系 合问题是高考的热点，涉及直线与圆锥
2023年II卷第21题，12分
（2）弦长问题 曲线关系中的求弦长、面积及弦中点、
2023年甲卷（理）第20题，12分
（3）中点弦问题 定点、定值、参数取值范围和最值等问
2022年I卷第21题，12分
题．多属于解答中的综合问题．近两年
2022年II卷第21题，12分
难度上有上升的趋势，但更趋于灵活．
复习目标：
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．
（3）了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质．
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方程，则
（1）直线与圆锥曲线相交⇔ ；
（2）直线与圆锥曲线相切⇔ ；
（3）直线与圆锥曲线相离⇔ .
【诊断自测】3．已知椭圆 ，直线 ，则直线l与椭圆
C的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】对于直线 ，整理得 ，
令 ，解得 ，
故直线 过定点 .
∵ ，则点 在椭圆C的内部，
所以直线l与椭圆C相交.
故选：A.
知识点2：弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜
角．
【诊断自测】已知椭圆 的离心率为e，且过点 和 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．
【解析】（1）由题意知： ，∴
，∴ ，所以椭圆 ；
（2）法一 设 及AB中点 ，由题意知
， ，以上两式相减得： ，
可化为： 即 ，故 ，
又∵M在直线 上，所以 ，解得： ，
即 ，直线 ，化简为：
联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
法二 设直线 ，
联立 ， 整理得：
，则中点 ，满足直线方程 ，解得
所以AB：联立 整理得： ，由韦达定理知
由弦长公式得： ．
知识点3：点差法
（1） 是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为 ，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故
（2）运用类似的方法可以推出；若 是双曲线 的弦，中点 ，则
；若曲线是抛物线 ，则 ．
【诊断自测】以两条坐标轴为对称轴的椭圆 过点 和 ，直线 与椭圆 相交于 两点，
为线段 的中点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求直线 的方程；
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，
由已知可得， ，解得 ，
所以，椭圆的方程为 .（2）设 ，
则有 ， ，
两式作差可得 ，
所以有 .
又 ，
所以有 ，
所以直线 的斜率 ，
所以，直线的方程为 ，整理可得， .
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线 与曲线 的公共点的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】当 时，曲线 ，即 ，双曲线右半部分；
一条渐近线方程为： ，直线与渐近线平行；
当 时，曲线 ，即 ，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有 个公共点.
故选：B
【典例1-2】直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于直线 恒过点 ，
要使直线 与椭圆 恒有公共点，
则只要 在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得 且 ，
故实数m的取值范围为 .
故选：C．
【方法技巧】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元
后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过
判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴
平行，或直线与圆锥曲线相切．
【变式1-1】已知抛物线方程 ，过点 的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有
（ ）条A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为点 不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意；
当直线斜率 时，易知 满足条件；
当直线斜率存在且 时，设直线方程为 ，
由 ，整理得到 ，
由 ，解得 .
综上所述：满足条件的直线有 条.
故选：D
【变式1-2】若直线 与曲线C: 交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立方程组 ，整理得 ，
设方程 的两根为 ，
因为直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，
则满足 ，解得 ，
又由 ，解得 ,
所以 的取值范围是 .
故选：D.
【变式1-3】已知直线 与曲线 恰有三个不同交点，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】曲线 可化为 ，
当 时， ，则 ，
故此时曲线为椭圆 的上半部分；
当 时， ，则 ，
故此时曲线为双曲线 的上半部分，且渐近线方程为 ；
直线 ，表示一组斜率为 的平行直线，
如图，当直线 过点(2,0)时， ，解得 ；
当直线 与椭圆上半部分相切时，
由 ，消 化简得 ，
由 ，解得 ，
又直线与椭圆上半部分相切，则 ，故 ，
要使直线 与曲线 恰有三个不同交点，
结合图形可得，实数 的取值范围为 .
故选：D.
【变式1-4】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线 ，则过点 与 有且只有一个
公共点的直线共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】C
【解析】分析条件可得：点 在双曲线的渐近线 上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图：
所以过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线只有两条：
一条是切线：x=2，一条是过点 且与另一条渐近线平行的直线.
故选：C
题型二：求中点弦所在直线方程问题
【典例2-1】若椭圆 的弦 恰好被点 平分，则 的直线方程为 .
【答案】
【解析】由题意，直线 斜率存在，设 ， ，则有 ， ，
在椭圆 上，有 ， ，
两式相减，得 ，即 ，
得 ，即直线 的斜率为 ，
则 的直线方程为 ，即 .
故答案为：
【典例2-2】已知 为椭圆 内一点，经过 作一条弦，使此弦被 点平分，则此弦所在
的直线方程为 .
【答案】
【解析】易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 ，
弦所在的直线与椭圆相交于 ， 两点，
设 ， ，则 ，①
②
- 得 ，
① ②
， ，
，
∴此弦所在的直线方程为 ，
即 ．
故答案为： .
【方法技巧】
点差法
【变式2-1】已知双曲线方程是 ，过定点 作直线交双曲线于 两点，并使 为
的中点，则此直线方程是 ．
【答案】
【解析】设 得 ，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.由题得
，设
所以 ，
两式相减得 ，
由题得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线的方程为 即 .
故答案为：
【变式2-2】过点P(2，2)作抛物线 的弦AB，恰好被P平分，则弦AB所在的直线方程是
【答案】x-y=0
【解析】由题得直线存在斜率，设 ， ， ， ，弦 所在直线方程为： ，
即 ，
联立 ，消去 整理得 ．
不满足题意，
当 时，
由题得 且 ，
弦 恰好是以 为中点，
．
解得 ．满足
所以直线方程为 ，
故答案为：x-y=0
【变式2-3】抛物线 的一条弦被 平分，那么这条弦所在的直线方程是 .
【答案】
【解析】设弦的两个端点的坐标，用点差法，即：代入抛物线方程后作差，代入 点坐标得到弦所在的直
线的斜率，由点斜式求出直线的方程.设弦的两个端点为 ，
分别代入抛物线方程，得：
- 得： ，即 ，
① ②
又因为 被点 平分，所以 ，则 ，
即弦 所在的直线的斜率 .
所以这条线所在的直线方程为： ，即 .
故答案为： .
题型三：求弦中点的轨迹方程问题
【典例3-1】已知椭圆 内有一点 ，弦 过点 ，则弦 中点 的轨迹方程是
.【答案】
【解析】设 ，中点 ，
则 ，相减得 ，
斜率存在时，
∴ ，
又 是 中点，且直线 过点 ，
所以 ，化简得 ，
斜率不存在时，方程为 ，中点为 适合上述方程．
∴点 的轨迹方程是 ．
故答案为： ．
【典例3-2】斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中点的轨迹方程是 ．
【答案】 ( 或 ).
【解析】设直线为 ，与双曲线交点为 ，
联立双曲线可得： ，则 ，即 或 ，
所以 ，故 ，则弦中点为 ，
所以弦的中点的轨迹方程为 ( 或 ).
故答案为： ( 或 )
【方法技巧】
点差法
【变式3-1】直线 （ 是参数）与抛物线 的相交弦是 ，则弦
的中点轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ， 中点 ，
则 .
，过定点 ，
.
又 ，（1） ，（2）
得： ，
. 于是 ，即 .
又弦中点轨迹在已知抛物线内，
联立
故弦 的中点轨迹方程是
【变式3-2】已知椭圆 .
(1)求过点 且被 点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
【解析】（1）因为 ，
所以 在椭圆 的内部，则所求弦必然存在，
设这条弦与椭圆 交于点 ，
由中点坐标公式知 ，
把 代入 ，则 ，
作差整理得 ，可得 ，
所以这条弦所在的直线方程为 ，即 .
（2）由题意可知：过点 引椭圆的割线的斜率存在且不为0，
设割线方程为 ，联立方程 ，消去 得 ，
则 ，解得 ，
设过点 的直线与椭圆截得的弦的中点 ，交点为 ，
根据椭圆性质可知 ，则 ，
令 ，则 ，
可得 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，可知 ，
则 ，所以 ，
则 ，可得 ，
把 代入 ，则 ，
两式相减得 ，整理得 ，即 ，整理得 .
【变式3-3】已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
(3)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程．
【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为 、 ，
设 ，当 时， ．
当 时， ，
两式相减得 ，即 (*)，
因为 ， ， ，
所以，代入上式并化简得 ，显然 满足方程.
所以点P的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
（2）设 ，在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式并化简得点Q的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
x+4 y=0
所以，点 的轨迹方程x+4 y=0（在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式可求得 ．所以直线方程为 ．
【变式3-4】已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其
中 为坐标原点）.直线 在绕着定点转动的过程中，求弦 中点 的轨迹方程.
【解析】设直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
因为点 在抛物线上，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
由 ，得 ，
由 ，得 ，
则 ，得 ，
所以直线 恒过定点 ，
设M(x,y)，则 ，
因为点 在抛物线上，
所以 ，
两式相减得 ，
当 时， ，即 ，
因为直线 恒过定点 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
当 ， 亦满足上式
所以所求为 .题型四：利用点差法解决对称问题
【典例4-1】已知 ，在拋物线 上存在两个不同的点关于直线 对称，则 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】设抛物线上关于直线 对称的两点为 ， ，
则 ，两式相减得 ，
由条件可知， ，即 ，
所以 中点的纵坐标为 ，横坐标为 ，即中点坐标为 ，
由题意可知， 中点应在抛物线内，即 ，得 .
故答案为：
【典例4-2】已知双曲线C： ．
(1)若直线 与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点 对称，求直线l的方程．
【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为 ，要使直线 与双曲线C有公共点，则有 ，
即实数k的取值范围为 ．
（2）设点 ， ．∵点 恰好为线段AB的中点，
∴ ， ．
由 ，两式相减可得，
，
即 ，∴ ，
∴直线l的斜率 ，∴直线l的方程为 ，
即 ．
【方法技巧】
点差法
【变式4-1】（2024·江西南昌·模拟预测）已知点 在抛物线 上，也在斜率为1的直
线 上.
(1)求抛物线 和直线 的方程；
(2)若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求直线 的方程.
【解析】（1）因为 在抛物线 上，所以 ，解得：
所以抛物线 为： ，
又直线 的斜率为1，所以直线 方程为： ，即 .
（2）由（1）设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，有 ，解得 ，
设 ，则 ，于是线段 的中点坐标为 ，
显然点 在直线 上，即 ，解得 ，符合题意，
所以直线 的方程为 .
【变式4-2】已知椭圆 的焦距为 ，左右焦点分别为 、 ，圆
与圆 相交，且交点在椭圆E上，直线 与椭圆E交于A、B
两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）因为圆 与圆 相交，且交点在椭圆 上，所以 ，，
设 ， ， 的中点 ，
，①－② ，
，
，
则椭圆E的方程： ；
（2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为 ，
， ，PQ中点 ，
，
，
， ，即 ，
由N在l上， ，此时 ，
故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为 ．
【变式4-3】已知O为坐标原点，点 在椭圆C： 上，直线l： 与C
交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则
∵ 在椭圆上，则两式相减得 ，整理得
∴ ，即 ，则
又∵点 在椭圆C： 上，则
联立解得
∴椭圆C的方程为
（2）不存在，理由如下：
假定存在P，Q两点关于l： 对称，设直线PQ与直线l的交点为N，则N为线段PQ的中点，连接
ON
∵ ，则 ，即
由（1）可得 ，则 ，即直线
联立方程 ，解得
即
∵ ，则 在椭圆C外
∴假定不成立，不存在P，Q两点关于l对称
【变式4-4】双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说
明理由．【解析】（1）椭圆 ： ，
所以双曲线 .
所以双曲线的方程为 .
（2）画出图象如下图所示，设 ，
，
两式相减并化简得 ，即 ，
所以直线 的方程为 .
题型五：利用点差法解决斜率之积问题
【典例5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 ，过点 作倾斜角
为 的直线与 交于 ， 两点，当 为线段 的中点时，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，所以 ，
两式相减得 ，即 ，又 ，所以 ，整理得 ，
又 ， ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：D.
【典例5-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 两点，
为 中点， 为坐标原点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，所以 ，
将 ， 两点坐标代入椭圆方程可得： ，
两式作差可得： ，
所以 ，则 ，
故选：D
【方法技巧】
点差法
【变式5-1】椭圆 与直线 交于M，N两点，连接原点与线段 中点所得直线的
斜率为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，两式相减得 ，
由已知椭圆 与直线 交于M，N两点，可知 ，
故 ，即 ，
设线段 中点为 ，则 ，而 ，
连接原点与线段 中点所得直线的斜率为 ，即 ，
故 ，即 ，
故选：A
【变式5-2】已知点 是离心率为2的双曲线 上的三点，直线
的斜率分别是 ，点 分别是线段 的中点， 为坐标原点，直线
的斜率分别是 ，若 ，则 ．
【答案】15
【解析】因为双曲线 的离心率为2，所以 ，
不妨设 ，
因为点 在 上，所以 ，两式相减，
得 ，
因为点 是 的中点，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，同理 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：15
【变式5-3】抛物线 的焦点为 ，过 的直线与该抛物线交于不同的两点 、 ，若，则线段 的中点与原点连线的斜率为 .
【答案】
【解析】依题意 的斜率存在，设直线方程为 ，
代入 得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ， ，
所以 的中点坐标为 ，
所以线段 的中点与原点连线的斜率为 .
故答案为：
【变式5-4】已知椭圆 ，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB
的中点.若直线l与OM的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ， ，
将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得 ， ，
两式相减可得 .
又因为M为AB的中点，所以 ，
所以 ，所以 ， ，
又直线l与OM的斜率之积为 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆C的离心率 .
故选：D.
题型六：弦长问题
【典例6-1】（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点
在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，Q(x ,y )
2 2
由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，所以 ， ，
所以
【典例6-2】（云南省2024届高三9月名校联考数学卷）动圆 经过原点，且与直线 相切，记
圆心 的轨迹为 ，直线 与 交于 两点，则 .
【答案】6
【解析】
如图，设动圆 的圆心M(x,y)，由题意得 ，
两边取平方， ，化简得 ，故圆心 的轨迹方程为 .
联立方程 ，消去 整理得，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 .
故答案为：6.
【方法技巧】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式： ．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
【变式6-1】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为 ，长轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l： 与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长 ．
x2 y2
【解析】（1）由题意可设C: + =1(a>b>0)，
a2 b2则 ，即 ，且 ，可得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）设 ，
将直线 与椭圆 联立，得 ，解得 或
所以弦长 .
【变式6-2】在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 的轨迹
为 ．
(1)求 的方程；
(2)若直线 交 于 两点，且 ，求直线 的方程．
【解析】（1）根据题意由 可知，
动点 的轨迹为以 为焦点，实轴长为 的双曲线，
即 ，所以 ，
所以可得 的方程为 ；
（2）如下图所示：依题意设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 与 的方程 ，
消去 整理可得 ，则 ；
且 ，解得 ；
所以 ，
解得 ，满足 ，符合题意；
所以直线 的方程为 .
【变式6-3】已知抛物线 ，过点 作一条直线交抛物线于 ， 两点，且点 为线段
的中点．
(1)求线段 所在的直线方程．
(2)求线段 的长．
【解析】（1）设点 ，点 ，线段 所在的直线方程的斜率为k
1°当斜率k不存在时，线段 所在的直线方程为 ，
解方程得
所以 ， 或 ，
此时，线段 的中点坐标为 ，不合题意；
2°当斜率k存在时， ， 在抛物线上， ， ．
两式相减，得 ．
∵点 是 的中点，∴ ，即
，
直线的方程为 ，即 ；
综上，线段 所在的直线方程为 .
（2）由（1）知，直线方程为： ，与抛物线方程联立得：消元得 ，
， ，
．
【变式6-4】已知椭圆 ： 的离心率为 且椭圆经过点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的左焦点 作斜率为 的直线 交椭圆于 、 两点，求 ．
【解析】（1）
由题意得 ，解得 ，
椭圆 的方程为 ；
（2）由（1）得，椭圆 的左焦点 ，右焦点 ，
则直线 的方程为： ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 ，得 ，显然 ，
则 ，
所以 ．
【变式6-5】（2024·四川德阳·二模）已知直线 与椭圆 相切于点 ，直线 的斜率为 ，设直线 与椭圆分别交于点 、 (异于点 )，与直线 交于点 .
（1）求直线m的方程：
（2）证明： 成等比数列
【解析】（1）由题知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 只有一组实数解，
即 只有一实根，
得 .
解得 .
故直线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
则 且 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 .
即 ，
即 ､ ､ 成等比数列.
【变式6-6】（2024·河南开封·二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
上顶点为 ，且 ．
(1)求 的离心率；
(2)射线 与 交于点 ，且 ，求 的周长．
【解析】（1）依题意可得上顶点 ，左，右焦点分别为F (−c,0)， ，
1
所以 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以离心率 ；
（2）由（1）可得 ， ，则椭圆方程为 ，
射线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
解得 或 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 的周长 ．【变式6-7】（2024·陕西宝鸡·二模）已知点B是圆 上的任意一点，点 ，线
段 的垂直平分线交 于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线 与E交于点M，N，且 ，求m的值.
【解析】
（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以 为焦点的椭圆，设其方程为
所以 ，所以
所以方程为
（2）设
联立 可得
所以由 得
因为
所以可解得题型七：三角形面积问题
【典例7-1】（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知椭圆C： 的焦距为 ，离
心率为 .
(1)求C的标准方程；
(2)若 ，直线l： 交椭圆C于E，F两点，且 的面积为 ，求t的值.
【解析】（1）由题意得， ， ，
又 ，则 ，
则 ，
所以C的标准方程为 .
（2）由题意设 ， ，如图所示：
联立 ，
整理得 ， ，
则 ， ，
故 .
设直线l与x轴的交点为 ，又 ，则 ，
故 ，
结合 ，解得 .
【典例7-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知抛物线 的顶点在原点 ，焦点坐标为
.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与抛物线 交于 两点，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意 ，得 ， 抛物线 的方程为 .
（2）设 ，
联立 ，消去 得 ，
，
，
易知，直线 恒过定点 ，
故△ 的面积 ，
故△ 面积的最小值为 .
【方法技巧】
三角形的面积处理方法： 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）已知椭圆 ，离心率为 ，点
在椭圆C上．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ， ，过 直线 交椭圆 于 、 两点，且直线 倾斜角为 ，求 的面
积．
【解析】（1）因为椭圆 的离心率 ，所以 ，点 代入椭圆C得： ；联立解得 ， ，
所以 ，所求椭圆方程为
（2）直线 的斜率 ，
故直线 的方程为： ，．
与椭圆方程联立，消去 得： ，
∴ 或 ．
∴ 的面积为
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）点 是曲线 上任一点，已知曲线 在点
处的切线方程为 ．如图，点P是椭圆 上的动点，过点P作椭圆C的切
线l交圆 于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求 面积的最大值．
【解析】（1）设 ，则 ，
设 ，则 ， ，
设 ，则 ，
故 即 ，所以 即
所以 即 的轨迹方程为： .
（2）由（1）可得 ，故直线 .到 的距离为 ，
故 面积 ，
因为 ，故 即 ，
当且仅当 时等号成立，故 面积的最大值为 .
【变式7-3】（2024·上海·二模）已知双曲线 .
（1）若双曲线 的一条渐近线方程为 ，求双曲线 的标准方程；
（2）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，若 ，且 的面积为9，求
的值.
【解析】（1）因为双曲线 的渐近线为 ，而它的一条渐近线为 ,
所以 ,
所以双曲线的标准方程为 ,
（2）因为 ，所以 ,
因为 的面积为9，所以 ,
又因为 ，
所以 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ，所以 ，所以 .
【变式7-4】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与
交于 两点，且当 ， 时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）当 ， 时，直线 的解析式为 ．
设A(x ,y )，B(x ,y )，联立 消去 并整理得 ，
1 1 2 2， ，
，解得 ．
，
，
整理得 ，解得 （舍负），
抛物线 的方程为 ．
（2）由（1）知， ，设 ， ，联立
消去 并整理得 ， ， ，
， ．
， ，
即 ，
整理得 ．
将 ， ，代入上式得 ．
又 ， ，且 ，
解得 或 ．
点 到直线 的距离 ，
，
的面积 ．
又 或 ，
当 时， 的面积最小，且最小面积为 ．【变式7-5】（2024·河南·三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，圆
经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，两条切线相交
于点 ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，设 的方程为 ，
因为圆 经过抛物线 的焦点 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）如图所示，
设 ，则 ，联立方程组 整理得 ，
所以 ，且 ，
所以 .
由 ，可得 ，则 ，所以抛物线 的过点A的切线方程是 ，
将 代入上式整理得 ，同理可得抛物线 的过点 的切线方程为
由 解得 ，所以 ，
所以 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
当 时， ，
所以 面积的最小值为 .
题型八：四边形面积问题
【典例8-1】已知 ， 在椭圆C： 上， ， 分别为C的左、右焦
点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形 的面积的取值范围．
【解析】（1）因为 ， 在椭圆C： 上，
所以 ,解得 ， ，
所以 ，C的离心率为 ；
（2）由（1）得 ， ，
故 ，
因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，所以四边形 的面积 ，
当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号成立.
【典例8-2】已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 上的点 的横坐标为1，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过焦点 作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线 交于 ､ 和 ､ 四点，求四边形
面积的最小值.
【解析】（1）由已知知： ，解得 ，
故抛物线 的方程为： .
（2）由（1）知： ，设直线 的方程为： ， 、 ，则直线
的方程为： ，
联立 得 ，则 ，所以 ， ，
∴ ，
同理可得 ，
∴四边形 的面积 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴四边形 面积的最小值为2.
【方法技巧】
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点
（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，
面积=对角线长度乘积的一半．【变式8-1】（2024·湖南·三模）已知椭圆 ，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线
与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若 ，证明：直线 和 的斜率之积为定值；
（2）若 ，求四边形 的面积的最大值．
【解析】（1）证明：设 ，则 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∵ 在椭圆上，∴
∴ 为定值．
（2）设 ，依题意： ， 点在第一象限，∴ ．
联立： 得： ，
∴ ， ，
设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵
（当 时取等号），
∴ ．
∴四边形 的面积的最大值为
【变式8-2】（2024·江苏镇江·三模）如图，椭圆C： ( )的中心在原点 ，右焦点 ，
椭圆与 轴交于 两点，椭圆离心率为 ，直线 与椭圆C交于点 .(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C弧 上动点，当四边形 的面积最大时，求P点坐标.
【解析】（1）设 ，又离心率 ，则 .
，则 .
法一：则C： ， 点代入得 ，
法二：则 ， 点代入得 ，
所以C方程为： .
（2）因为 ，而 的面积为定值，所以只要 的面积最大.
设 ，则 ①.
， ，则线段AM长度为定值.
由图知，P在直线 的上方，直线 ： ，
P到直线 的距离为
只需求 的最大值.
法一：设 ，代入 得： ，
因为 ，得 .
当 时，联立①，解得： ， .
法二：因为
.
所以 ，
当且仅当 时， .所以当四边形 的面积最大时，此时点P坐标为 ( ).
【变式8-3】已知定点 ，圆 ， 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线
和半径 相交于点 ．
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 的直线 与轨迹 交于 两点，若点 满足 ，求四边形 面积的最大值．
【解析】（1）因为 为圆 上的动点，线段 的垂直平分线和半径 相交于点 ，
所以由线段垂直平分线的性质可得： ，
所以 ，
故点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆．其中 ， ，
所以 ，
故点 的轨迹 的方程为 ．
（2）由题意，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
所以 ，
所以
点 到直线 的距离 ，
所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
因为所以
所以四边形 面积的最大值为 ．
【变式8-4】已知椭圆 ： 的长轴长为4，左、右顶点分别为 ， ，经过点 的动直
线与椭圆 相交于不同的两点 ， （不与点 ， 重合）．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)求四边形 面积的最大值；
【解析】（1）由题意，得 ，解得 ，
所以椭圆 方程为 ，
， ， ，
则离心率为 .
（2）当直线 的斜率 不存在时，由题意，得 的方程为 ，
代入椭圆 的方程，得 ， ，
又因为 ， ，
所以四边形 的面积 ,
当直线 的斜率 存在时，设 的方程为 ，
设 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
由题意，可知 恒成立，
则 ， ，
四边形 的面积令 ，则四边形 的面积
， ，
所以 ，
综上所述，四边形 面积的最大值 .
【变式8-5】已知点 ，点B为直线 上的动点，过点B作直线 的垂线l，且线段 的
中垂线与l交于点P．
(1)求点P的轨迹 的方程；
(2)设 与x轴交于点M，直线 与 交于点G（异于P），求四边形 面积的最小值．
【解析】（1）由题意点 到直线 的距离与到点 的距离相等，所以点P的轨迹是以 为焦
点，以直线 为准线的抛物线，
所以方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ，则 .
如图，设 与 轴的交点为 ，则易知 为 的中位线，所以 .
联立 ，得 ， ，
不妨设 ，则 ，
四边形 面积为
,
当且仅当 时，取到最小值，所以四边形 面积的最小值为 .1．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线
段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线
与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.3．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦
点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲
线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
5．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.6．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦
点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，
则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝
角，
又 ，则
为钝角，
又 ，则 ，D正确.故选：ACD.
1．已知抛物线的方程为 ，直线l绕点 旋转，讨论直线l与抛物线 的公共点个数，并
回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什
么情况？
（2） 与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
【解析】(1)直线l与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交于两个公共点
和相交只有一个公共点(图中直线l)，
0
观察图形知，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l与抛物线相切(图中直线l，l)和相交于一个公共点
1 2
(图中直线l 与x轴平行)；
0
(2)直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，方程为 ，即 ，
由 消去x得： ，k=0时，y=1， ，方程组只有一个解，由图知直线l与抛物线相交，只有一个公共点，直线l的斜率为
0；
时， ，
或 时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线l与抛物线相切，只有一个公共点，直
线l的斜率分别为 ；
时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线l与抛物线交于两点，直线l的斜率
；
时，方程组没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，没有公共点，直线l的斜
率 ；
直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-2，显然方程组 没有实数解，由图知直线l与抛物线相离，
没有公共点，直线l的斜率不存在，
所以抛物线 与直线l的方程组成的方程组解的个数与抛物线 与直线l公共点的个数相等.
2．过抛物线 的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径画圆，观察它与抛物
线的准线l的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？
【解析】取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所
示：
由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，
在直角梯形APQB中，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．圆半径为r，则 ，分别过点A，B做右准线的垂线，则构成一个直角梯形，
两底长分别为 , （e为离心率）
圆心到准线的距离d为梯形的中位线长即
∵椭圆0＜e＜1，∴ ，∴相离
双曲线e＞1，可得d＜r，相交．
3．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒
可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2m的反射式望远镜，
其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜 弧所在的曲线为抛物线，另一
个反射镜 弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知 ， 是双曲线的两个焦点，其中 同时又是
抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位mm），分别求抛物线和双曲线的方程．
【解析】对于双曲线，有 ， ， ，
，
双曲线的方程为 ；
抛物线的顶点的横坐标是 ，
抛物线的方程为 ．
4．在抛物线 上求一点 ，使得点 到直线 的距离最短．
【解析】根据题意设 ，
所以点 到直线 的距离为：当且仅当 时等号成立，此时
所以当 时，点 到直线 的距离最短，为
5．设抛物线的顶点为O，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于B，C两点，经过抛物线上一点P且
垂直于轴的直线与轴交于点Q．求证： 是 和 的比例中项．
【解析】设抛物线方程为 ，则焦点为 ，
联立 解得 ，
则 ， ，
设 ，则 ，
，
则 ，
所以 是 和 的比例中项.
6．如果直线 与双曲线 没有公共点，求 的取值范围.
【解析】直线方程与双曲线方程联立： 得： ,
当 时，即 时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当 时， <0，即 或 ，无公共点.
综上所述： 或 .
答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长
1、模板解决思路
首先，联立直线与圆锥曲线方程，消去一个变量得到关于另一个变量的二次方程。然后，利用韦达定
理求出交点横（纵）坐标和。最后，利用弦长公式（涉及两点间距离公式和根的判别式）求出弦长。
2、模板解决步骤第一步：联立直线与圆锥曲线的方程，通过消元法得到一个关于x或y的二次方程。
第二步：利用二次方程的求根公式，求出交点的坐标和（利用韦达定理，即根与系数的关系）。
第三步：根据弦长公式，代入交点坐标和，求出弦长。
【经典例题1】已知双曲线 ，直线 被 所截得的弦长为 ，则 ．
【答案】
【解析】设双曲线 与直线 交于 两点，
由 消去 整理得 ，则 ，解得 ，
且 ，
所以 ．
由 ，解得 ，所以 ．
故答案为：
【经典例题2】若直线 和椭圆 交于 两点，则线段 的长为 ．
【答案】
【解析】由 消y得 ．
设 ， ，则 ， ，
所以 ．
故答案为：
