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第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系................................................................................................2
题型二：求中点弦所在直线方程问题................................................................................................2
题型三：求弦中点的轨迹方程问题....................................................................................................3
题型四：利用点差法解决对称问题....................................................................................................4
题型五：利用点差法解决斜率之积问题............................................................................................5
题型六：弦长问题................................................................................................................................5
题型七：三角形面积问题....................................................................................................................6
题型八：四边形面积问题....................................................................................................................8
02 重难创新练......................................................................................................................................9
03 真题实战练....................................................................................................................................12题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．若直线 与圆 相离，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．2
2．已知双曲线 ，过点 作直线 ，使 与 有且只有一个公共点，则满足条件的直线 共
有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．过双曲线 ： 左焦点为 和点 直线 与双曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
5．已知椭圆M： ，点 在其上，直线l交椭圆于A，B两点， 的重心是
坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的中点为点 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：求中点弦所在直线方程问题
7．已知椭圆 ＋ ＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为
．8．过点 且被点 平分的双曲线 的弦所在直线方程为 _.
9．抛物线 ，过点 引一条弦，使它恰好被 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
题型三：求弦中点的轨迹方程问题
10．直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线 的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
11．已知抛物线 的弦 斜率为1，则弦 中点 的轨迹方程 .
12．求过定点 的直线被双曲线 截得的弦AB的中点的轨迹方程.
13．给出双曲线 .
（1）求以 为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点 的直线l与所给双曲线交于 ， 两点，求线段 的中点P的轨迹方程.
14．过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点.求线段 的中点 的轨迹方程.题型四：利用点差法解决对称问题
15．在已知抛物线 上存在两个不同的点M，N关于直线 对称，则实数k的取值范围为
．
16．（2024·陕西宝鸡·一模）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于A，B
两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
17．已知曲线C的方程是 ，其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
18．（2024·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ：
与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，椭圆 上是否存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，若存在，求出 ， 的坐标，
若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆 ，点 关于直线 的对称点 在 上，且点 与 不重合，则
（ ）A． B． C． D．
题型五：利用点差法解决斜率之积问题
20．已知 为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
21．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两
点，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．已知双曲线C： 的焦点到渐近线的距离为 ，直线l与C相交于A，B两点，若线段
的中点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型六：弦长问题
23．已知抛物线 ： 的焦点为 ．
(1)求抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若 ，求线段AB的长．
24．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ，求直线方程．25．已知抛物线 过点 ，其焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，
.
(1)求抛物线 的标准方程，并写出其准线方程；
(2)求直线 的方程.
26．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，一条渐近线的
方程为 ．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线 与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
27．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知椭圆E： 的离心率为 ，且过点
.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点 且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B
两点，求AB的长度.
题型七：三角形面积问题
28．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，直线 过F且与抛物线 交于
A，B两点，线段AB的中点为M，当 时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线 的方程；(2)若直线 与抛物线 的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当 的面积取最小值时，求直
线 的方程.
29．已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ， 两
点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点，求 的面积.
30．（2024·甘肃·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别是 ， ，上、下顶点分别
是 ， ，离心率 ，短轴长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，若 ，试求 内切圆的面积.
31．（2024·吉林长春·一模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、
.设 是椭圆 上一点，满足 ⊥ 轴， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且倾斜角为45°的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求 的面积.
32．（2024·河北·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，焦点 在 轴上，离心率等于3，且经过点（-3,8），直线 与双曲线交于点A、B．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求△ 的面积.
题型八：四边形面积问题
33．（2024·陕西·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆E的离心率为
，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当 时，求四边形 面积的最大
值．
34．设椭圆 ： （ ），长轴的两个端点分别为 ， ，短轴的两个端点分别为 ， ．
(1)证明：四边形 为菱形；
(2)若四边形 的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程．
35．已知E是曲线 上任一点，过点E作x轴的垂线，垂足为H，动点D满足
(1)求点D的轨迹 的方程；
(2)若点P是直线l： 上一点，过点P作曲线 的切线，切点分别为M，N，求使四边形
OMPN面积最小时 的值．36．已知椭圆 的左右焦点分别是 离心率 ，点 为椭圆上的一个动点，
面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 是椭圆上不重合的四个点， 与 相交于 ，若直线 ， 均不与坐标轴重合，且
，求四边形 面积的最小值.
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相交，则这些直线被
椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东肇庆·一模）已知直线 ： 与双曲线 ： 交于 ， 两点，
点 是弦 的中点，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，
， ，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
4．（2024·安徽·一模）抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ．过点 作直线与抛物
线交于 两点，其中点A在点B的右边．若 的面积为 ，则 等于（ ）A． B．1 C．2 D．
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的 的弦中最短的弦长为
8，点 在 上， 是线段 上靠近点 的五等分点，则 （ 为坐标原点）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知M是抛物线 上的一点，F是抛物线的焦点，以 为始边、
为终边的角 ，则点M的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）设椭圆 的弦AB与 轴， 轴分别交于 两点，
，若直线AB的斜率 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点 的直线 ，
与E分别相交于A(x ,y )，B(x ,y )和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， ．
1 1 2 2
下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若AD，BC的斜率分别为 ， ，则
D．若 的面积为 ，则 的面积为
9．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 与点 关于原点对称，过
点 的直线 与抛物线 交于 两点（点 和点 在点 的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线 ，使得
B．若 为 的中线，则C．若 为 的角平分线，则
D．对于任意直线 ，都有
10．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的
直线与 交于 两点，点 为点 在 上的射影，线段 与 轴的交点为 ， 的延长线交 于点 ，
则（ ）
A． B．
C． D．直线 与 相切
11．（多选题）（2024·浙江·二模）设双曲线 与直线 交于 与 两点，
则可能有（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）（2024·广东·二模）抛物线 ： 焦点为F，且过点 ，斜率互为相反
数的直线 ， 分别交 于另一点C和D，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 过定点
B． 在C，D两点处的切线斜率和为
C． 上存在无穷多个点到点F和直线 的距离和为6
D．当C，D都在A点左侧时， 面积的最大值为
13．（多选题）（2024·贵州毕节·模拟预测）已知直线 交椭圆 于A，B两点， ，
为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与 关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A．若 ，则椭圆的离心率为
B．若 ，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线 平行于x轴，则
14．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设点 （ ）是抛物线 上任意一点，过点
作抛物线 的两条切线，分别交抛物线 于点 和点 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．C． D．直线 与抛物线 相切
15．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E
上一动点，若 是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 ．
16．（2024·安徽·一模）椭圆C： 的左右焦点分别为 、 ，点M为其上的动点.当 为钝
角时，点M的横坐标的取值范围是
17．（2024·辽宁·模拟预测）过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点， ， 是 的准线
上两点，以 为直径的圆与 切于点 ，且以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积为64，则直线
的斜率为 .
18．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上的两点．若直线 的斜率为 ，
且 ，延长 分别交 于 两点，则四边形 的面积为 ．
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值
为 ．
3．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关
于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
6．（2024年上海秋季高考数学真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点
的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点
在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点
为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
10．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
11．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、
下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
12．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线 与抛物线 交于
两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆 的离心率是 ，点
在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
14．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，
已知 ．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的
距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
16．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率
为 ．
(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
17．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B
满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的方程．
18．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，
且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．19．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
20．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
21．（2022年新高考北京数学高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
22．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．23．（2021年天津高考数学试题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为
，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．
若 ，求直线 的方程．
24．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
25．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
