文档内容
第 08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系................................................................................................2
题型二：求中点弦所在直线方程问题................................................................................................5
题型三：求弦中点的轨迹方程问题....................................................................................................6
题型四：利用点差法解决对称问题....................................................................................................9
题型五：利用点差法解决斜率之积问题..........................................................................................13
题型六：弦长问题..............................................................................................................................15
题型七：三角形面积问题..................................................................................................................18
题型八：四边形面积问题..................................................................................................................21
02 重难创新练....................................................................................................................................25
03 真题实战练....................................................................................................................................41题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
1．若直线 与圆 相离，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A．0或1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题意直线 与圆 相离，所以圆心到直线的距离 ，即
，
而 ，即点 在椭圆 的内部，
所以过点 的直线与椭圆 的交点个数是2.
故选：D.
2．已知双曲线 ，过点 作直线 ，使 与 有且只有一个公共点，则满足条件的直线 共
有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】易知双曲线的焦点 ，顶点 ，渐近线为 ，
由 可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过 点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
故选：D.3．过双曲线 ： 左焦点为 和点 直线 与双曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得双曲线 ： 左焦点为 ，
则直线l的斜率为 ，
故直线l的方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 ，
故直线l与 平行，且l过双曲线的左焦点，
故直线 与双曲线 的交点个数是1，
故选：B
4．过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，
设直线 的斜率等于 ，则当 时，直线 的方程为 ，
满足直线与抛物线 仅有一个公共点，
当 时，设直线 的方程为 ，
代入抛物线的方程可得： ，有 ，解得 ，故切线方程为 ，
当斜率不存在时，直线方程为 ，该直线也与抛物线 相切，
故满足条件的直线方程有三条.
故选：C．
5．已知椭圆M： ，点 在其上，直线l交椭圆于A，B两点， 的重心是
坐标原点，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将 代入椭圆方程得， ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
设 ，则 ， ，
故 ，
又 ，两式相减得， ，
变形得到 ，即 ，
故 ， ，解得 .
故选：B
6．直线l与双曲线 交于A，B两点，线段AB的中点为点 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设A(x ,y )，B(x ,y )，则直线l的斜率为
1 1 2 2代入 ，得 ，两式相减得： .
又线段AB的中点为点 ，则 .
则 .经检验满足题意.
故选：D
题型二：求中点弦所在直线方程问题
7．已知椭圆 ＋ ＝1内有一点P(2,3)，过点P的一条弦恰好以P为中点，则这条弦所在的直线方程为
．
【答案】
【解析】设弦为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，则 ，
所以弦所在直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
8．过点 且被点 平分的双曲线 的弦所在直线方程为 _.
【答案】
【解析】由于双曲线图象关于 x 轴对称，且 M 不在 x 轴上，所以所求直线不平行于 y 轴，即斜率为实数，设所求直线斜率为 a，与双曲线两交点坐标为 （3+t，-1+at） 和 （3-t，-1-at）．
坐标代入双曲线方程，得：
两式相减，得
∴所求直线方程为 ，即
9．抛物线 ，过点 引一条弦，使它恰好被 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
【答案】 ．
【解析】设过点 的弦的两个端点分别为 ， ，则：
，两式相减，得： ，
，
又因为点 恰好是线段 的中点，
，
故该弦所在直线的斜率为 ，
所以该弦所在直线的方程为： ，即 ．
故答案应填： ．
题型三：求弦中点的轨迹方程问题
10．直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线 的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，线段AB的中点为 ，连接 （ 为坐标原点）．由题意知 ，则 ，
∴点 的轨迹方程为x+4 y=0．
又点 在椭圆内，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .
11．已知抛物线 的弦 斜率为1，则弦 中点 的轨迹方程 .
【答案】 （ ）
【解析】设直线 的方程为 ，
联立 ，
由于 ，所以 ，
设A(x ,y ),B(x ,y ),则 故
1 1 2 2
因此 ，
设 ， 由于 ，则 ，
故 的轨迹方程为 ，（ ）
故答案为： （ ）
12．求过定点 的直线被双曲线 截得的弦AB的中点的轨迹方程.【解析】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为 ，且设该直线被双曲
线截得的弦AB对应的中点为 ， ， .
由 得 .
则 ，即 ，且 ，所以 ，即 ， ，且
， ，
所以 ， .
由 ，即 ， ，代入 消去k得 .
又 ，且 ， ，故 或 .
故弦AB的中点的轨迹方程为 （ 或 ）.
13．给出双曲线 .
（1）求以 为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点 的直线l与所给双曲线交于 ， 两点，求线段 的中点P的轨迹方程.
【解析】（1）设弦的两端点为 ， ，则 ，
两式相减得到 ，又 ， ，
所以直线斜率 .
以 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为： ，整理得 ．
故求得直线方程为 .
（2）设 ， ， ，按照（1）的解法可得 ，①
由于 ， ，P，A四点共线，得 ，②
由①②可得 ，整理得 ，检验当 时， ， 也满足方程，故的中点P的轨迹方程是 .
14．过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点.求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】设 ， ，
代入得 ，
化简得 ，
又 ，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为 .
题型四：利用点差法解决对称问题
15．在已知抛物线 上存在两个不同的点M，N关于直线 对称，则实数k的取值范围为
．
【答案】
【解析】设 ， 关于直线 对称，
∴ ，∴ ，即 ．
设线段 的中点为 ，则 ．
∵中点P在 内，∴ ，解得 或 ．
故答案为： .
16．（2024·陕西宝鸡·一模）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l： 与抛物线C交于A，B
两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
时，直线 ，联立 ，可得 ，
设 ， ， ， ，
则 ， ．
，
点 到直线 的距离距离 ，
的面积 ．
（2）∵点 ， 关于直线 对称，∴直线 的斜率为 ，
∴可设直线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
由 ，可得 ，
设 ， ， ， ，则 ，
故 的中点为 ，
∵点 ， 关于直线 对称，∴ 的中点 ，在直线 上，
∴ ，得 ，∵ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
17．已知曲线C的方程是 ，其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
【解析】（1） ，即 ，
当 时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线；
（2）设 ， ， ，
则 ， ，两式相减得到： ，
即 ，故 ，
故 的中点为 ，代入直线得到 ，
解得 或 （舍），故 .
（3）假设存在，直线方程为 ，双曲线方程为 ，
设 ， ， 中点为 ，则 ， ，
两式相减得到 ，
即 ， ，又 ，
解得 ， .
此时直线 方程为： ，即 ，
，化简得到 ，方程无解，故不存在.
18．（2024·江苏南京·模拟预测）已知椭圆 ： （ ）过点 ，直线 ：
与椭圆 交于 ， 两点，且线段 的中点为 ， 为坐标原点，直线 的斜率为-0.5.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，椭圆 上是否存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，若存在，求出 ， 的坐标，
若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设 ， ，则 ，
即 ．
因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，
两式相减得 ，即 ，又 ，所以 ，即 ．
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意可知，直线 的方程为 ．
假设椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，
设 ， ， 的中点为 ，所以 ， ，
因为 ， 关于直线 对称，所以 且点 在直线 上，即 ．
又因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，
两式相减得 ，
即 ，所以 ，即 ．
联立 ，解得 ，即 ．
又因为 ，即点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，
所以椭圆 上不存在点 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称．
19．已知椭圆 ，点 关于直线 的对称点 在 上，且点 与 不重合，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 , ，
由题意可得 ，即： ，
又 的中点 在直线 上，
所以 ，解得y =t，故 ，
0
而 在椭圆 上．故 ，解得 或 ，由于 时 与 坐标相同，故 ．
故选：C．
题型五：利用点差法解决斜率之积问题
20．已知 为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 .
【答案】 /0.5
【解析】由题意，
为抛物线 上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，
设 ，线段AB中点为 ，
∴ ， ，
∴ 即
∴直线AB的斜率为：
故答案为：21．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两
点，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，
即 ， ，故 .
故选：B
22．已知双曲线C： 的焦点到渐近线的距离为 ，直线l与C相交于A，B两点，若线段
的中点为 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】因为双曲线的标准方程为 ，
所以它的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，化简得 ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
设 ，所以 ①， ②，
- 得， ，
① ②
化简得 ③，
因为线段 的中点为 ，所以 ，代入③，整理得 ，
显然 ，所以直线 的斜率 .
故选：B
题型六：弦长问题
23．已知抛物线 ： 的焦点为 ．
(1)求抛物线 的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若 ，求线段AB的长．
【解析】（1）因为 ，解得 ，
则抛物线 的焦点坐标F(1,0)，准线方程为x=−1；
（2）不妨设 ， ，
因为 ，所以 ，
当x=2时，解得 ，
不妨令 ， ,
此时直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ，
则 ．
24．已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，且椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点， ，求直线方程．
【解析】（1）抛物线 的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆中 ，
因为椭圆的离心率为 ，即 ，
所以 ， ，
所以椭圆方程为
（2）当直线斜率不存在时，易知此时 ，不合题意；
所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=k(x−1)，如下图所：
联立 得 ，
设 ，则 ，
根据焦点弦公式可得 ，
解得 ， ，
所以直线方程为 或
25．已知抛物线 过点 ，其焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，
.
(1)求抛物线 的标准方程，并写出其准线方程；
(2)求直线 的方程.
【解析】（1）由题意将点 代入抛物线方程可知 ，解得 .
所以抛物线 的标准方程为 ，焦点 ，
因此准线方程为 .
（2）由（1）得直线 的方程为 .
设 ，如图所示：联立直线 和抛物线方程 ，消去 得 .
易得 ，且 .
由抛物线焦点弦公式可知 .
所以 ，解得 或 （舍去）.
故直线 的方程为 .
26．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，一条渐近线的
方程为 ．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线 与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【解析】（1）由题意知 ，且 ，
，
所以双曲线的离心率 ．
（2）由（1）知双曲线方程为 ，
将 即 代入 ，得 ，
不妨设 ，
所以 ．
27．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知椭圆E： 的离心率为 ，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点 且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B
两点，求AB的长度.
【解析】（1）由题意知， ，所以 ， ，设椭圆E的方程为 .
将点 的坐标代入得： ， ，所以椭圆E的方程为 .
（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为 ，上顶点为 ，所以直线m斜率为 ，
由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为 ，即 ，
联立 ，可得 ，
， ， ，
所以 .
题型七：三角形面积问题
28．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为F，直线 过F且与抛物线 交于
A，B两点，线段AB的中点为M，当 时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 与抛物线 的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当 的面积取最小值时，求直
线 的方程.
【解析】（1）设 ，由题知 时， ，故抛物线方程为
；
（2）设 ，联立抛物线方程得 ，∴ ， ，而
， ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故直线 的方程为 ．
29．已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ， 两
点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点，求 的面积.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
所以直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ，
由抛物线定义得 ，
即 ，所以 .
所以抛物线的方程为 .
（2）由 知，方程 ，
可化为 ，
解得 ， ，故 ， .
所以 ， .
则 面积
30．（2024·甘肃·一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别是 ， ，上、下顶点分别
是 ， ，离心率 ，短轴长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，若 ，试求 内切圆的面积.【解析】（1）由题意得 ，又 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由 ， ，知 的斜率为 ，因 ，故 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得： ，
设 ， ，则 ， ，
则 的面积 ，
由 的周长 ，及 ，得内切圆 ，
所以 的内切圆面积为 .
31．（2024·吉林长春·一模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、
.设 是椭圆 上一点，满足 ⊥ 轴， .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且倾斜角为45°的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求 的面积.
【解析】（1）由条件可知 ，解得： ， ，
所以椭圆 的标准方程是 ；
（2）设直线 ， ， ，直线 与椭圆方程联立，得 ，
， ，
.
32．（2024·河北·模拟预测）已知双曲线的中心在原点，焦点 在 轴上，离心率等于3，且经过点
（-3,8），直线 与双曲线交于点A、B．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求△ 的面积.
【解析】解:(1)设 代入(-3，8)得
∴方程为:
(2)联立的
题型八：四边形面积问题
33．（2024·陕西·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆E的离心率为
，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当 时，求四边形 面积的最大
值．
【解析】（1）依题意可知 ，解得故椭圆的方程为 ．
（2）延长 交E于点 ，由（1）可知 ，
设 ，设 的方程为 ，
由 得 ，
故 ．
设 与 的距离为d，则四边形 的面积为S，
，
又因为
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故四边形 面积的最大值为2．
34．设椭圆 ： （ ），长轴的两个端点分别为 ， ，短轴的两个端点分别为 ， ．
(1)证明：四边形 为菱形；
(2)若四边形 的面积为120，边长为13，求椭圆C的方程．【解析】（1）因为长轴的两个端点分别为 ， ，短轴的两个端点分别为 ， ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，
又因为 ，所以四边形 为菱形；
（2）由（1）可知：四边形 为菱形，
因为四边形 的面积为120，边长为13，
所以有 ，椭圆的标准方程为： .
35．已知E是曲线 上任一点，过点E作x轴的垂线，垂足为H，动点D满足
(1)求点D的轨迹 的方程；
(2)若点P是直线l： 上一点，过点P作曲线 的切线，切点分别为M，N，求使四边形
OMPN面积最小时 的值．
【解析】（1）设
由 得， ，所以
所以，点D的轨迹方程为
（2）由圆的切线性质知，切线长
所以，四边形面积 ，
所以，当OP最小时，面积最小．
而OP的最小值即为O到直线的距离 ，此时
又因为 ，所以此时 .
36．已知椭圆 的左右焦点分别是 离心率 ，点 为椭圆上的一个动点，
面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 是椭圆上不重合的四个点， 与 相交于 ，若直线 ， 均不与坐标轴重合，且
，求四边形 面积的最小值.【解析】（1）当 为椭圆的上下顶点时 面积最大为 ，
所以 ，解得 ,
椭圆 的方程: .
（2）（i）当 中有一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，
解得 ，所以 ，
则四边形 面积为 ；
（ii）当 斜率 存在且 时，设 ： ， ，
联立 得 ，
所以
，
又因为 ： ，
所以只用将 中的 替换为 可得 ，
所以四边形 面积为 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取得等号，
综上，四边形 面积的最小值为 .1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相交，则这些直线被
椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设斜率 的平行直线与椭圆相交于 ，且中点为 ，
可得 .
由 ，两式相减得 ，
整理得 ，可得 ，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为 .
故选：C.
2．（2024·广东肇庆·一模）已知直线 ： 与双曲线 ： 交于 ， 两点，
点 是弦 的中点，则双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设A(x ,y )，B(x ,y )，可得 ， ，
1 1 2 2
两式相减可得 ，
点 是弦 的中点，且直线 ： ，可得 ， ， ，
即有 ，即 ，
双曲线的渐近线方程为 ．经验证此时直线与双曲线有两个交点.
故选：B．
3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，
， ，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
【答案】D
【解析】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为 ， ， ，垂足为H．
设 ， ，则 ．
而 ，所以 ，
l的斜率为 ．同理，l的斜率小于0时，其斜率为 ．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为 ，则 ，
可求得 ，可求得l斜率为 ，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为 ．
故选：D
4．（2024·安徽·一模）抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ．过点 作直线与抛物
线交于 两点，其中点A在点B的右边．若 的面积为 ，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】由题可知 ， ，直线 斜率必存在，且 ，
由对称性不妨设 ，则A和B在第一象限，因为 ，所以 ，过 作 轴交于点 ，
则 ，即 ，
又点 在 上，所以 即 ，
代入 得 ，
整理得 ，即 ，
所以 或 ，此时 或 ，
因为A和B在第一象限，所以 ，故 ，
所以
，
所以 即 .
故选：D.
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的 的弦中最短的弦长为
8，点 在 上， 是线段 上靠近点 的五等分点，则 （ 为坐标原点）的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为过点 的 的弦中最短的弦长为8，所以 ，
即 的方程为 ．
设 ，由 是线段 上靠近点 的五等分点，得 ，
所以 ，
故 ，即 ，
不妨设点 在第一象限，易知 为锐角，
当 取最大值时，直线 的斜率 也最大，
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时 ，
， ，
，
即 的最大值为 ．
故选：B．
6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知M是抛物线 上的一点，F是抛物线的焦点，以 为始边、
为终边的角 ，则点M的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过 作 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，
抛物线 ，则焦点 ，准线方程为 ，根据抛物线的定义得 ，
在 中，
，
．
故选：D．
7．（2024·浙江·二模）设椭圆 的弦AB与 轴， 轴分别交于 两点，
，若直线AB的斜率 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设 ，
直线 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ， ，所以 .
因为 在椭圆上，所以 ，
两式相减得 ，即 .
又因为 ，且 ， ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点 的直线 ，
与E分别相交于A(x ,y )，B(x ,y )和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时， ．
1 1 2 2
下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若AD，BC的斜率分别为 ， ，则
D．若 的面积为 ，则 的面积为
【答案】C
【解析】当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为 ，所以点A的横坐标为p，所以 ，
又 ，所以 ，故A选项错误；
若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，
故可设直线AB的方程为 ，联立 化简可得 ，
方程 的判别式 ，
由已知 ， 为方程 的两根，
所以 ， ， ，故B选项错误；
设直线CD的方程为 ， ， ，联立 ；
化简可得 ，方程 的判别式 ，所以 ， ． ，
若直线AD的斜率存在，则 ， ， ，
因为直线AD经过点F，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 ，选项C正确；
当直线AB垂直于x轴时，易知点 ，从而 ，
此时点D在过 ， 两点的直线上，且在抛物线E： 上，
从而求出点 ，从而 ，从而 ，故选项D错误．
故选：C.
9．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 与点 关于原点对称，过
点 的直线 与抛物线 交于 两点（点 和点 在点 的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线 ，使得
B．若 为 的中线，则
C．若 为 的角平分线，则
D．对于任意直线 ，都有
【答案】BD
【解析】由题意，设 ，不妨令 都在第一象限， ，
联立 和 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ，则 ．A选项，若 ，过点 作 垂直于准线 于点 ，
则 ，即 为等腰直角三角形，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故
A错误；
B选项，若 为 的中线，则 ，所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
则 ，故B正确；
C选项，若 为 的角平分线，则 ，作 垂直准线 于 ，
则 且 ，所以 ，即 ，
则 ，将 代入整理得 ，
则 ，所以 ，故C错误；
D选项， ，而 ，结合 ，
可得 ，即 恒成立，故D正确．
故选：BD．
10．（多选题）（2024·贵州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的
直线与 交于 两点，点 为点 在 上的射影，线段 与 轴的交点为 ， 的延长线交 于点 ，
则（ ）
A． B．
C． D．直线 与 相切【答案】ABD
【解析】由题知 ， ，设 ，则 ，
对于选项A，因为 ，所以 ，
令 ，得到 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，所以选项A正确，
对于选项B，由选项A知 ，所以 ，令 ，得到 ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 ，故选项B正确，
对于选项C，在 中， ，又由选项A知直线 为 的中垂线，
所以 ，得到 ，所以选项C错误，
对于选项D，因为 ，由 ，消 得到 ，
因为 ，所以直线 与 相切，故选项D正确，
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·浙江·二模）设双曲线 与直线 交于 与 两点，
则可能有（ ）
A． B．
C． D．【答案】ACD
【解析】联立方程组 ，可得 ，
因为双曲线与直线有两个交点，所以 ，
所以 ，B错误；
当 时， ，A正确；
当m>0时， ，C正确；
当 或 时， ，D正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2024·广东·二模）抛物线 ： 焦点为F，且过点 ，斜率互为相反
数的直线 ， 分别交 于另一点C和D，则下列说法正确的有（ ）
A．直线 过定点
B． 在C，D两点处的切线斜率和为
C． 上存在无穷多个点到点F和直线 的距离和为6
D．当C，D都在A点左侧时， 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为抛物线 ： 过点 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线 ： ，设点 关于抛物线对称轴即 轴的对称点为点 ，则 ，
因为 斜率互为相反数，不妨设 ，
则 ，联立 与抛物线 ： ，化简并整理得 ，
，
设 ，
则 ，
所以 ，同理 ，
直线 的方程为： ，
整理得
，
即直线 的方程为： ，这条直线的斜率是定值，
随着 的变化，这条可能直线会平行移动，
不妨取 ，此时 的方程依次是 ，
显然这两条直线是平行的，它们不会有交点，这就说明直线 过定点是错误的，故A错误；
对于B，对 求导，可得 ，从而 在C，D两点处的切线斜率和为
，故B正确；
对于C，设 上存在点P(x ,y )到点F和直线 的距离和为6，
0 0
由抛物线定义可知， ，其中 为点 到直线 的距离，
注意到当 时，恒有 成立，
这意味着 上存在无穷多个点到点F和直线 的距离和为6，故C正确；
对于D，设 与 交与点 ，联立直线 的方程： 与直线 的方程： ，
解得 ，即点 的坐标为 ，
设 面积为 ，
则 ,
注意到C，D都在A点左侧时，意味着 ，且 ，从而 的取值范围为 ，
从而 ，设 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 面积的最大值为 .
故选：BCD.
13．（多选题）（2024·贵州毕节·模拟预测）已知直线 交椭圆 于A，B两点， ，
为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与 关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A．若 ，则椭圆的离心率为
B．若 ，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线 平行于x轴，则
【答案】ACD
【解析】如图，直线l与 交于G，
对于A，若 ，则 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，设A(x ,y )，则 ，且 即 ，
0 0
所以 ，所以 ，故B错误；
对于C，由题意可知 是中位线，故 ，故C正确；
对于D，设点 ，则直线 ，
因为直线 平行于x轴，所以点 的中点 ，
所以由点G在直线l上且 得 ，
解得 ， 即 ，
因此 ，故D正确.
故选：ACD．
14．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设点 （ ）是抛物线 上任意一点，过点
作抛物线 的两条切线，分别交抛物线 于点 和点 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．直线 与抛物线 相切
【答案】BCD
【解析】对A：∵直线 的斜率为 ，
∴直线 的方程为 ，
即 ，
∵ ，∴直线 的方程为 ，
联立 ，消 得： ，
∵直线 与抛物线 相切，∴ ，
∴ ，∴选项A错误；对B：同理可得 ，∴ ，
∵ ，∴
整理得 ，
∵ ，∴ ，∴选项B正确；
对C：由 可得 ，
代入 得 ，∴选项C正确；
对D：将直线 的方程与抛物线 联立，
同理可得 ，
∴直线 与抛物线 相切，∴选项D正确.
故选：BCD.
15．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E
上一动点，若 是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，设 ，满足 ①，
当 时，可得： ②，
①②联立 ，
所以当 是锐角时，
再由 ，得到 ，开方得第一象限曲线解析式： ，
求导可得： 当 时， ，即此点处的切线斜率为 ；结合图象可知：圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是
故答案为：
16．（2024·安徽·一模）椭圆C： 的左右焦点分别为 、 ，点M为其上的动点.当 为钝
角时，点M的横坐标的取值范围是
【答案】
【解析】设 ，焦点 ， .
因为 为钝角，所以 ，
即 .
整理得： .
因为点M(x,y)在椭圆 上，
代入得 解得
又因为 ，所以点 纵坐标 的取值范围 .
故答案为： .
17．（2024·辽宁·模拟预测）过抛物线 的焦点 的直线交 于 ， 两点， ， 是 的准线
上两点，以 为直径的圆与 切于点 ，且以 ， ， ， 为顶点的四边形的面积为64，则直线
的斜率为 .
【答案】【解析】
设抛物线的准线 与 轴交于一点 ，过 作 于一点 ，
过 作 于一点 ，连接 ， ，
由抛物线的定义知， ， ，
， ，
又 ， ， ，
因此， ， ，
又 ，
则 ，
设 的中点为 ，则 ，因此 ，
，即 ，
因此以 为直径的圆与 切于点 ，且 为圆的半径，
而过 直线与 垂直时，在准线 只有唯一的交点，这个交点即为与 切于点 的圆的圆心，
因此在准线 只有一个圆与 切于点 ，
故要使以 的准线 上两点 为直径的圆与 切于点 ，
则 与 重合， 与 重合，
因此四边形 为直角梯形，
由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
则 ，联立可得 ，
整理得 ，
则 ， ，
因此 ，
又 的符号相反，因此， ，则 ，
又 ，
又梯形 的面积为64，则 ，
即 ，整理得， ，
解得 ，
因此，直线 的斜率为 .
故答案为： .
18．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 为 上的两点．若直线 的斜率为 ，
且 ，延长 分别交 于 两点，则四边形 的面积为 ．
【答案】50
【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)．
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
与抛物线 的方程联立，得 ，所以 ．
设 ，则 ， ，
故 ．
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
与抛物线 的方程联立，得 ．所以 ．
设 ，则 ， ，
故 ．
所以四边形 的面积为 ．
故答案为：50.1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
2．（2024年北京高考数学真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值
为 ．
【答案】 （或 ，答案不唯一）【解析】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
3．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∴∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关
于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【解析】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
6．（2024年上海秋季高考数学真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点
的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意得 ，则 ， ．
（2）当 时，双曲线 ，其中 ， ，
因为 为等腰三角形，则
①当以 为底时，显然点 在直线 上，这与点 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以 为底时， ，
设 ，则 , 联立解得 或 或 ，
因为点 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知 ，矛盾，舍去）；
③当以 为底时， ，设 ，其中 ，
则有 ，解得 ，即 ．
综上所述： .
（3）由题知 ，
当直线 的斜率为0时，此时 ，不合题意，则 ，
则设直线 ，
设点 ，根据 延长线交双曲线 于点 ，
根据双曲线对称性知 ，
联立有 ，
显然二次项系数 ，
其中 ，
①， ②，
，
则 ，因为 在直线 上，
则 ， ，
即 ，即 ，
将①②代入有 ，
即化简得 ，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且 ，解得 ，又因为 ，则 ，
综上知， ， ．
7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点
的四边形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【解析】（1）由题意 ，从而 ，
所以椭圆方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 斜率不为0，否则直线 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 ， ，
联立 ，化简并整理得 ，
由题意 ，即 应满足 ，
所以 ，
若直线 斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，在直线 方程中令 ，得 ，
所以 ，
此时 应满足 ，即 应满足 或 ，
综上所述， 满足题意，此时 或 .
8．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点
在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
【解析】（1）设F(c,0)，由题设有 且 ，故 ，故 ，故 ，
故椭圆方程为 .
（2）直线 的斜率必定存在，设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
由 可得 ，
故 ，故 ，
又 ，
而 ，故直线 ，故 ，
所以，
故 ，即 轴.
9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆 椭圆的离心率 ．左顶点为 ，下顶点
为 是线段 的中点，其中 ．
(1)求椭圆方程．
(2)过点 的动直线与椭圆有两个交点 ．在 轴上是否存在点 使得 ．若存在求出这
个 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，其中 为半焦距，
所以 ，故 ，
故 ，所以 ， ，故椭圆方程为： .
（2）
若过点 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为： ，
设 ，
由 可得 ，
故 且而 ，
故
，
因为 恒成立，故 ，解得 .
若过点 的动直线的斜率不存在，则 或 ，
此时需 ，两者结合可得 .
综上，存在 ，使得 恒成立.
10．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，
所以 .
（2）法一： ，则直线 的方程为 ，即 ，
，由（1）知 ，设点 到直线 的距离为 ，则 ，
则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点 ，
设该平行线的方程为： ，
则 ，解得 或 ，
当 时，联立 ，解得 或 ，
即 或 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，联立 得 ，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线 的方程为 或 .
法二：同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
设 ，则 ，解得 或 ，
即 或 ，以下同法一.
法三：同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
设 ，其中 ，则有 ，联立 ，解得 或 ，
即 或 ，以下同法一；
法四：当直线 的斜率不存在时，此时 ，
，符合题意，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立椭圆方程有 ，则 ，其中 ，即 ，
解得 或 ， ， ，
令 ，则 ，则
同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
则 ，解得 ，
此时 ，则得到此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
综上直线 的方程为 或 .
法五：当 的斜率不存在时， 到 距离 ，
此时 不满足条件.
当 的斜率存在时，设 ，令 ，
，消 可得 ，
，且 ，即 ，，
到直线 距离 ，
或 ，均满足题意， 或 ，即 或 .
法六：当 的斜率不存在时， 到 距离 ，
此时 不满足条件.
当直线 斜率存在时，设 ，
设 与 轴的交点为 ，令 ，则 ，
联立 ，则有 ，
，
其中 ，且 ，
则 ，
则 ，解的 或 ，经代入判别式验证均满足题意.
则直线 为 或 ，即 或 .
11．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
【解析】（1）依题意，得 ，则 ，
又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，
易得 ，则直线 的方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
而 ，则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
又 ，则 ， ，所以
，
又 ，即 ，
显然， 与 不重合，所以 .
12．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线 与抛物线 交于
两点，且 ．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
【解析】（1）设 ，
由 可得， ，所以 ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得： ．
（2）因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ，
由 可得， ，所以， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ．设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
而 或 ，所以，
当 时， 的面积 ．
13．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆 的离心率是 ，点
在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .
14．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，
已知 ．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
【解析】（1）如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .
15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的
距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．【解析】（1）设 ,则 ，两边同平方化简得 ，
故 .
（2）法一：设矩形的三个顶点 在 上,且 ，易知矩形四条
边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则 ,令 ，
同理令 ，且 ，则 ，
设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ，
则 ，易知
则令 ,
令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，
故 ,即 .
当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛盾，故 ,得证.
法二：不妨设 在 上，且 ，
依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在且不为0，
则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ，
直线 的方程为 ，
则联立 得 ，
，则
则 ，
同理 ，
令 ，则 ，设 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，此时 单调递减，
当 ， ，此时 单调递增，
则 ，，
但 ，此处取等条件为 ，与最终取等时
不一致，故 .
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动 个单位得抛物线 ,
矩形 变换为矩形 ,则问题等价于矩形 的周长大于 .
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则 ,从而
故
①当 时,
②当 时,由于 ,从而 ,
从而 又 ,
故 ,由此，
当且仅当 时等号成立，故 ，故矩形周长大于 .
.
16．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率
为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
【解析】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
17．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B
满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的方程．
【解析】（1） ，
离心率为 .
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
18．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，
且点 在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
【解析】（1）设 是椭圆上任意一点, ,
，当且仅当 时取
等号，故 的最大值是 .
（2）设直线 ,直线 方程与椭圆 联立,可得 ,设
，所以 ，因为直线 与直线 交于 ,
则 ,同理可得, .则
，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 .
19．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F
的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为 ，当 与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设 ，直线 ，
由 可得 ， ，
由斜率公式可得 ， ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，则 ，设 ，则
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，
所以直线 .
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设 ,直线
由 得： ， ,同理， .
直线MD: ,代入抛物线方程可得： ，同理， .
代入抛物线方程可得: ,所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以当 最大时， ，设直线 ，
代入抛物线方程可得 ， ，所以 ，所以直线
.
[方法三]：三点共线
设 ，
设 ,若 P、M、N三点共线，由
所以 ，化简得 ，
反之，若 ,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使 最大，则 ，
设 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 最大时， ，所以直线 .
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线 的斜率关
系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性
通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线 过定点，省去联立过程，也不失为一种简
化运算的好方法．
20．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【解析】（1）设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
21．（2022年新高考北京数学高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为
．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
【解析】（1）依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以
，
所以 ，即
即
即
整理得 ，解得
22．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于
P，Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
【解析】（1）因为点 在双曲线 上，所以 ，解得 ，即双曲
线 ．
易知直线l的斜率存在，设 ， ，
联立 可得， ，
所以， ， 且 ．
所以由 可得， ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得， ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，
故 ．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ，由（1）知，
，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），
于是，直线 ，直线 ，
联立 可得， ，
因为方程有一个根为 ，所以 ， ，
同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
联立 ，及 得 ， ，
同理， ， ，故 ，
而 ， ，
由 ，得 ，故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线 的斜率，从而联立求出点
坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式
的选择不一样．
23．（2021年天津高考数学试题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为
，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．
若 ，求直线 的方程．
【解析】（1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
24．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，
且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
【解析】（1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
25．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
【解析】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，据此整理可得点 的轨迹方程为 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的方程为 ，则当直线 与抛物线 相切时，其斜率k取到最值．联立
得 ，其判别式 ，解得 ，所以直线 斜率的
最大值为 ．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为 ．
设直线 的斜率为k，则 ．
令 ，则 的对称轴为 ，所以 ．故直线 斜率的
最大值为 ．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设 ．因为 ，所以 ．
于是 ，所以
则直线 的斜率为 ．
当且仅当 ，即 时等号成立，所以直线 斜率的最大值为 ．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于 的表达式，
然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，
为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线 的斜率k的平方关于 的表达式，利用换元方法转化为二
次函数求得最大值，进而得到直线 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设 ，求得x,y关于 的参数表达式，得到直线 的斜率
关于 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线 斜率的最大值.
