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重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题
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题型一：定比点差法
例1．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （ ）的直线
与 相交于 ， 两点，若 ，求
例2．已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取值范围．
例3．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动点，且
， 若 ，求 的值．变式1．设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 ， 在椭圆上，若 ，求点
的坐标
变式2．已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，点 是线段 上的
点，且 ，求点 的轨迹方程．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于P，Q两点， 为坐标原点．证明：
．例5．如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点P，Q
（均异于点 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
例6．已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于A，B两点．若直线 与直线
的斜率的和为 ，证明：直线 过定点．
变式3．已知椭圆 ， ， ， 为上的两个不同的动点， ，求证：直线
过定点．
题型三：极点极线问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程
是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．例8．（2023·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
例9．（2023秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M： （a＞b＞0）过A（－2，
0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点
Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．变式4．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线 与椭圆 共顶点，且它们的
离心率之积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为 ， ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线 与 的斜率分
别为 ， ，且 ．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，
A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线 上的动点（不在x轴上）， 与椭圆E的另一交点为
C， 与椭圆E的另一交点为D，记直线 与 的斜率分别为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）证明：直线 过一个定点，并求出此定点的坐标．
题型四：蝴蝶问题
例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为
．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点 ，
．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 （ ），四点 ， ，
， ， 中恰有三点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1， 为圆 的一条弦， 是 的中点，过 作圆 的两条弦 ， .若 ，
分别与直线 交于点 ， ，则 .
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆 中，弦 的中点 的坐标为 ，且两条弦 ，
所在直线斜率存在，证明： .例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆 弦的中点M，任意作两弦 和 ， 与
交弦 于P、Q，求证： .
变式6．（2023·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名
家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆 的方程为 ，直线 与圆 交
于 ， ，直线 与圆 交于 ， .原点 在圆 内.
（1）求证： .
（2）设 交 轴于点 ， 交 轴于点 .求证： .
变式7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 的左､右顶点分别
为点 ， ，且 ，椭圆 离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 的交于点 ，求
证：点 在直线 上.变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率
为 ，点P 为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k，直线BN
1
的斜率为k，若k＝2k，求直线l斜率的值．
2 1 2
变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆 的右焦点是 ，过点
F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在
以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点 作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的
斜率分别为k、k，则 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
1 2变式10．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别
是椭圆 的左、右顶点，右焦点 ， ，过 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，
在 轴上方．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；
(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ，
， ，求 的值．
变式11．（2023秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点 在椭圆 ：
上， 为坐标原点，直线 ： 的斜率与直线 的斜率乘积为
（1）求椭圆 的方程；
（2）不经过点 的直线 ： （ 且 ）与椭圆 交于 ， 两点， 关于原点的对称点为
（与点 不重合），直线 ， 与 轴分别交于两点 ， ，求证： .
变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于
圆 ，与点 对应的极线方程为 ，我们还知道如果点 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点 在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆 ，与
点 对应的极线方程为 .如上图，已知椭圆C： ， ，过点P作椭圆C
的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则
的最小值是 .
