专题8利用均值不等式求圆锥曲线中的最值（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年高考数学大题系列

专题 8 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值 一、考情分析 与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等 式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常 涉及函数与方程、化归转化等数学思想． 二、解题秘籍 (一) 利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和（积）为定值的性质求积（和）的最 大（小）值，如根据椭圆中 为定值，可求 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值 的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的 核心是建立参数之间的等量关系. 【例1】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 ： ， ， 是椭 圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，点 在椭圆 外，且 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若 ，点 为椭圆 上横坐标大于1的一点，过点 的直线 与椭圆有且仅有一个交点，并与 直线 ， 交于M，N两点， 为坐标原点，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值． 【解析】（1）因为点 在椭圆 上，所以 ，① 因为点 在椭圆 外，且 ，所以 ，即 ，② 由①②解得 ， ， 故椭圆 的方程为 ． （2）设点 ， ，设直线 ： ，由椭圆性质以及点 的横坐标大于1可知， ， 将直线 代入方程 并化简可得， ， 即 ， 因为直线 与椭圆有且仅有一个交点， 所以 ，即 ． 直线 的方程为： ；直线 的方程为 ： ， 联立方程 得 ，同理得 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时，不等式取等号， 故当 时， 取得最小值 ． 【例2】已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)若直线 被圆 截得的弦长为 ，设直线 与椭圆 交于A， 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值.【解析】（1） ， ， 由椭圆过点 得 ，解得 ， ， ∴椭圆 的方程为 . （2）直线 被圆 截得的弦长为 ，则圆心到直线l的距离d满足 ，解得 ， 当 的斜率存在时，设 ： ， ， ，圆心为原点 则有 ，∴ . 将 方程代入椭圆方程中整理得： ， ∴ ， ， ， ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号. 当 的斜率不存在时，则 ： ，过椭圆的左、右顶点，此时直线 与椭圆只有一个交点，不符合题意. ∴ 面积的最大值为2. (二) 把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值. 此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标（纵坐 标）的函数，然后利用均值不等式求最值. 【例3】已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得 的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ. (1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论；(2)求 的最大值. 【解析】（1）设 ，则 ，故圆 的方程 ，令 有 ，故 ，解 得 ， ，故 不变化，为定值 （2）由（1）不妨设 ，故 ， ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号.故 的最大值为 (三) 把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值 该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值. 【例4】（2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测）已知椭圆 的左，右焦点分别 为 且经过点 . (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求 面积的最大值（O为坐标原点） 【解析】（1）由椭圆的定义， 可知解得 ，又 . 椭圆C的标准方程为 . （2）设直线l的方程为 ， 联立椭圆方程，得 ， ，得 设 ，则 ， ， 点 到直线 的距离 ， . 当且仅当 ，即 时取等号； 面积的最大值为 . (四) 把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值 求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值. 【例5】（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆上一点.直线 不经过原点 ，且与椭圆交于 两点. （1）求椭圆的方程；（2）求 面积的最大值，并求当 面积最大时 的取值范围. 【解析】（1） ， . 将 代入得 ， 椭圆方程为 . （2）设 ， 与椭圆联立得： ， 所以 . 则 ， 因为 ，故 ， 所以 当且仅当 时取等号，此时 ，符合题意. 所以 ，即 面积的最大值为 . 当 不存在时，设 ，则 ，当 时取等号. 综上， 面积的最大值为1 当 面积最大时： 若 存在，则此时 ， 则 ，若 不存在，则此时 . 综上， .． (五)与斜率有关的最值问题 与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解， 二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式 求解. 【例6】（2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试）已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为2． (1)求 的方程； (2)已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值． 【解析】（1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ， 由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ， 所以该抛物线的方程为 ； （2）设 ，则 ， 所以 ， 由 在抛物线上可得 ，即 ， 据此整理可得点 的轨迹方程为 ， 所以直线 的斜率 ， 当 时， ；当 时， ， 当 时，因为 ， 此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立； 当 时， ； 综上，直线 的斜率的最大值为 . (六)与数量积有关的最值问题 求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然 后再利用均值不等式求最值. 【例7】设椭圆 的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C，曲线C的两条切线PA、PB交于点P， 且与C分别切于A、B两点，求 的最小值． 【解析】设椭圆的两切线为 ， ． ①当 轴或 轴时，对应 轴或 轴，可知切点为； ②当 与x轴不垂直且不平行时， ，设 的斜率为k，则 ， 的斜率为 ，并设 的交点为 ， 则 的方程为 ，联立 ， 得： ， ∵直线与椭圆相切，∴ ，得 ， ∴ ，∴k是方程 的一个根， 同理 是方程 的另一个根， ∴ 得 ，其中 ， ∴交点的轨迹方程为： ，∵ 也满足上式； 综上知：轨迹C方程为 ； 设 ， ，则在 与 中应用余弦定理知， ， 即 ，即 ， ， 令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时， 取得最小 ； 综上， 的最小为 . 三、跟踪检测 1．（2023届山东省青岛市高三上学期检测）在平面直角坐标系 中，动圆 与圆内切，且与圆 外切，记动圆 的圆心的轨迹为 . (1)求轨迹 的方程； (2)不过圆心 且与 轴垂直的直线交轨迹 于 两个不同的点，连接 交轨迹 于点 . （i）若直线 交 轴于点 ，证明： 为一个定点； （ii）若过圆心 的直线交轨迹 于 两个不同的点，且 ，求四边形 面积的最小值. 【解析】（1）设动圆 的半径为 ，圆心 的坐标为 由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 . 动圆 与圆 内切，且与圆 外切， 动圆 的圆心的轨迹 是以 为焦点的椭圆，设其方程为： ， 其中 从而轨迹 的方程为： （2）（i）设直线 的方程为 ，则 由 可得： 直线 的方程为 ， 令 可得 点的横坐标为：为一个定点，其坐标为 （ii）根据（i）可进一步求得： . ， 则 ， 四边形 面积 （法一） 等号当且仅当 时取，即 时， （法二）令 ， 则 当 ，即 时，2．已知椭圆 经过点 ，且椭圆的离心率 ，过椭圆的右焦点 作两条互相 垂直的直线，分别交椭圆于点 及 、 ． (1)求椭圆的方程； (2)求证： 为定值； (3)求 的最小值． 【解析】（1）由 ，得 ， ， ．①， 由椭圆过点 知， ②． 联立①②式解得 ， ． 故椭圆的方程是 ． （2） 为定值 ． 证明：椭圆的右焦点为 ，分两种情况． 不妨设当 的斜率不存在时， ， 则 ．此时 ， ， ； 当直线 的斜率存在时， 设 ，则 ． 又设点 ， ， ， ． 联立方程组 ， 消去 并化简得 ， ， ，， 由题知，直线 的斜率为 ， 同理可得 所以 为定值． （3） 解：由（2）知 ， ， 当且仅当 ，即 ，即 ， 时取等号， 的最小值为 ． 3．（2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试）已知离心率为 的椭圆 过 点 ，抛物线 ．(1)若抛物线 的焦点恰为椭圆 的右顶点，求抛物线方程； (2)若椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ，过 但不经过原点的直线 交椭圆 于 ，交抛物线 于 ，且 ，求 的最大值，并求出此时直线 的斜率． 【解析】（1）由 设 ， ，所以将点 代入椭圆 得： 椭圆 ，所以 的右顶点为 ，依题意 ，所以抛物线 方程为 ； （2）设直线 的方程为 ， ， ， ， 联立 ，消去 整理得 ，显然 则 ，所以 ， ； 联立 ，消去 整理得 ， ，且 由抛物线方程得 ，所以点坐标为 ， 将点 代入椭圆方程 有： 整理得： ，令 ，则 ， 当且仅当 即 ，即直线 的斜率 时 取等号， 所以 ， ， ，即 的最大值为 ，此时直线 的斜率为 ．4．平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 ，过焦点的最短弦长为 . (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为 的直线与椭圆交于 两点， 为椭圆上异于 的点，求 的面积的最大值. 【解析】（1）由题意得 ， 故椭圆的标准方程为 ； （2）设直线 的方程为 ，则 ，， ，设 ， ， 当 时， 当 到 的距离最大时，点 在第二象限且过 点的切线正好与 平行， 设切线方程为 ， ， ， 由 得 ，此时 ， 到 的距离最大为 ，故 的面积 ， 则 ， 故 ，当且仅当 时取等号. 当 时， 当 到 的距离最大时，点 在第四象限且过 点的切线正好与 平行， 设切线方程为 ， ， ， 由 得 ，此时 ， 到 的距离最大为 ， 故 的面积 ， 则 ， 故 ，当且仅当 时取等号. 所以 的面积的最大值为 . 5．平面直角坐标系中，过点 的圆 与直线 相切．圆心 的轨迹记为曲线 ． (1)求曲线 的方程； (2)设 为曲线 上的两点，记 中点为 ，过 作 的垂线交 轴于 ． ①求 ； ②当 时，求 的最大值．【解析】（1）设 ，由题意，则 到 的距离等于 到 的距离，故 的轨迹为抛物线 ； （2）设 ，则 ， ① 故 ， ，令 ，得 ，故 ，即 ， ②由题意 ，即 ，故 ． 6．已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，直 线 ，垂足分别为点 . (1)求证： ； (2)求证： 为定值，并求出该定值； (3)求 的最大值.【解析】（1）联立 与 得： ， 由直线与椭圆有一个公共点可知： ， 化简得： ； （2）由题意得： ， 因为 ，所以 ∥ ，故 ， 其中 ， ， 所以 ， 为定值，该定值为1； （3） ， 由题意得：点 在直线 的同侧， 所以 ， ，（其中 为 的夹角）， 由此可知： ， 当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最大值为4. 7.（2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟）在平面直角坐标系 中，椭圆的离心率 ，且点 在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程; （2）若点 都在椭圆 上，且 中点 在线段 (不包括端点)上.求 面积的最大值. 【解析】（1）离心率 ，将 代入椭圆方程，可得 ，又 ， ∴联立上述方程，可得： ， ， ∴椭圆方程为 ； （2）设 可得： ， 相减可得： ， 由题意， ，即 ， ∴直线 的斜率 ， 故可设直线 为 ，代入椭圆方程可得： ， 由 ，解得 ， ∴ ， ， 又 到 的距离为 ， ∴ 面积为 ， 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 .8．（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆 的上顶点为 ，过点 且与 轴垂直的直线被截得的线段长为 . （1）求椭圆 的标准方程﹔ （2）设直线 交椭圆 于异于点 的 两点，以 为直径的圆经过点 线段 的中垂线 与 轴的 交点为 ，求 的取值范围. 【解析】（1）由已知条件得： ，令 ，得 ， 由题意知： ，解得 ， ∴椭圆的标准方程为 ， （2）①当直线 的斜率不存在时，显然不合题意； ②当直线 斜率存在时，设 ， 当 时，此时 关于y轴对称，令 ， ∴ 且 ，则 ，又 ， ∴ ，解得 或 (舍)，则 符合题设. ∴此时有 ； 当 时，则 ，得 ， ， 设 ，则 ，得 ， ，且 ， 由 ，即 ， ∴ ，整理得 ，解得 （舍去）， 代入 得： ， ∴ 为 ，得： ， 则线段的 中垂线 为 ， ∴在 轴上截距 ，而 ， ∴ 且 ， 综合①②:线段 的中垂线 在 轴上的截距的取值范围是 . 9．（2022届河北省高三上学期12月教学质量监测）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 点 满足 ，点 的轨迹为 . （1）求 的方程； （2）不过 的直线 与 交于 ､ 两点，若直线 的斜率是直线 ､ 斜率的等差中项，直线 和线 段 的垂直平分线与 轴分别交于 ､ ，求 的最小值. 【解析】（1）由椭圆的定义知，点 在以 ， 为焦点且 的椭圆上， 所以其方程为：（2）由题意得直线 的斜率存在且不为0. 直线 的方程为 ， ， ， 直线方程与椭圆方程联立得 得 ， 所以 得 ， 由题意得 ，即 整理得 ∵直线 不过 ，∴ ， ∴ ，∴ ∵ ，∴ ，解得 或 线段 的中点为 ，线段 中垂线方程为 当 时， ，直线 与 轴交点的纵坐标 ， 或 当 时， 最小，最小值为2. 10．已知两圆 ，动圆 在圆 内部且和圆 内切，和圆 外切. （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）过点 的直线与曲线 交于 两点. 关于 轴的对称点为 ，求 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，设圆 的半径为 ，则有 ， ，因此， ， 于是得点 的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆，此时，焦距 ，短半轴长b有： ， 所以动圆圆心 的轨迹 的方程为： . （2）显然直线 不垂直于坐标轴，设直线 的方程为 ， ， 由 消去 得： ，则 ， ， 点 关于 轴的对称点 ， ， ，如图， 显然 与 在3的两侧，即 与 同号， 于是得 ， 当且仅当 ，即 时取“=”，因此，当 时， ， 所以 面积的最大值 .11．已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，分别过左、右焦点 ， 作两条平行直线 和 . （1）求 和 之间距离的最大值； （2）设 与 的一个交点为 ， 与 的一个交点为 ，且 ， 位于 轴同侧，求四边形 面积的 最大值. 【解析】（1）∵椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且 ， ∴ ， ∴ ， 设直线 ： ；直线 ： . ∴ 和 之间距离 ， 当 时， ； （2）根据题意，不妨设直线 与椭圆 交于A、D两点，直线 与椭圆 交于B、N两点， 则 ，且 ，即四边形ABND为平行四边形， ∴四边形 面积为四边形ABND面积的一半， 由（1）知， ， 联立方程 则 ，∴ ， ∴ ， ∴ ， 令 ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时，取等号. 故四边形 面积的最大值 . 12．（2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟）设椭圆 过 ， 两点， 为坐标原点． （1）求椭圆 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ， ，且 ？ 若存在，写出该圆的方程，并求 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）将 ， 的坐标代入椭圆 的方程得 ， 解得 ， ． 所以椭圆 的方程为 ．（2）假设满足题意的圆存在，其方程为 ，其中 ， 设该圆的任意一条切线 和椭圆 交于 ， 两点， 当直线 的斜率存在时，令直线 的方程为 ，① 将其代入椭圆 的方程并整理得 ， 由韦达定理得 ， ，② 因为 ，所以 ，③ 将①代入③并整理得 ， 联立②得 ，④ 2 5 因为直线 和圆相切，因此 ，由④得R ， 5 4 x2y2  所以存在圆 满足题意． 5 4 x2  x2  当切线 的斜率不存在时，易得 ， AB 1 2 5 4 由椭圆方程得 y2  y2  ，显然 ， 1 2 5 OAOB 4 x2y2  综上所述，存在圆 满足题意． 5 当切线AB的斜率存在时，由①②④得 |AB| x x 2 y  y 2  1k2 x x 2  1k2 x x 2 4xx 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  8km  2 4m2 4 1664k2 16m2 4 5  1k2 116k2  1k2   4  1k2   4k2 1 4k2 1  14k22 5  14k22 4 5 16k4 17k2 1 4 5 9k2 4 5 9   1  1 5 16k4 8k2 1 5 16k4 8k2 1 5 1 ， 16k2  8 k2 9 5 1 1  由 1 ，得 1 4， 16k2  8 16k2  8 k2 k24 5 即 |AB| 5． 5 4 5 当切线 的斜率不存在时，易得|AB| ， AB 5 4 5 所以 |AB| 5． 5 4 4 5 综上所述，存在圆心在原点的圆x2y2  满足题意，且 |AB| 5． 5 5 y2x 13．（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线 .   F A､B OAOB O （1）过抛物线焦点 的直线交抛物线于 两点，求 的值（其中 为坐标原点）； Cx ,y  Px ,y  Q  x ,y  （2）过抛物线上一点 0 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点 P P ､ Q Q ，交直线 A 1,1､B 1,1 y y x1 于 1 1 两点，求证： P Q为常数 D1,1 D M､N DM MN? N （3）已知点 ，在抛物线上是否存在异于点 的两个不同点 ，使得 若存在，求 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. y2 x  1  1 【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点 的直线为xmy ，联立xmy 得 F 4  4 y y m  1 2 1 ， 1，设 ， y2my 4 0   y 1 y 2  4 Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2    3 则 OAOBxx y y  y2y 2y y  ； 1 2 1 2 1 2 1 2 16 Cx ,y  Px ,y  A 1,1 （2）由题可设过点 0 0 的一条直线交抛物线于 P P ，交直线 x1 于 1 ，另一条直线交 y 1 y 1 抛物线于Q  x Q ,y Q ，交直线 x1 于B 1 1,1，则k A1C 0,k B1C 0， k A1C  x 0 0 1 ,k B1C  x 0 0 1 ，直线A 1 C方程 可表示为：y y 0 1 x11，直线 方程可表示为：y y 0 1 x11，联立直线 与抛物线方程 x 1 BC x 1 AC 0 1 0 1 y2 x   y 1 y 0 x11   x 1 0y2 x   y 1 y 0 x11可得   x 1 0 x 1 x 1  x 1 x 1 y2 0 y 0 1，故y y  0 ，即y  0 y ，同理联立直线 和抛物线方程化简可得 y 0 1 y 0 1  0 P y 0 1 P y 0 1 0 B 1 C x 1  x 1 x 1 x 1 y2 0 y1 0 0，故y y  0 ，y  0 y ，即 y 0 1  y 0 1 0 Q y 0 1 Q y 0 1 0  x 1  x 1   y21  y21  y 1 1y y y  0 y  0 y  0 y  0 y  0  0 1 P Q  y 1 0  y 1 0   y 1 0  y 1 0  y 1 y 1 0 0 0 0 0 0 （3） 假设存在点D满足DM MN ， M  y2,y  ,N  y2,y   D  M    y21,y 1  ,M  N    y2y2,y y  设 3 3 4 4 ， 3 3 4 3 4 3 ，  D  M  M  N    y21    y2y2 y 1y y 0 y 1,y  y 则 3 4 3 3 4 3 ，易知 3 4 3，  1   1  化简得 ，即y  y  y 11， y 3 1y 4 y 3 10 4 y 3 1 3  y 3 1 3  1 1 当 y 10 时，y 4  y 1 y 3 112  y 1   y 3 1  13，当且仅当 y 2 时取到等号，故 y 3 ； 3 3 3 3 4  1   1  当y 3 10时， y 4  y 3 1 y 3 11     2 y 3 1 y 3 11   1 ，当且仅当y 3 0时取到等号，因为y 3 1， 1 5 1 1 5 故 y 3 12 ，令 t y 3 1 ，则t t  2 ，但t y 3 1 2 能取到，此时 t t  2 ，故 y 4 ,1； y ,1 3, 4  故 .