文档内容
第 09 讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综
合问题（定点问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题
题型二：双曲线中的定点问题
角度1：双曲线中的直线过定点问题
角度2：双曲线存在定点满足某条件问题
题型三：抛物线中的定点问题
角度1：抛物线中的直线过定点问题
角度2：抛物线存在定点满足某条件问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率
为 .
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点 ， 轴交于点 ，线段 的中点为 ，
直线 过点 且垂直于 （其中 为原点），证明直线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析（1）依题意， ， 又 椭圆的标准方程为 .
（2）由（1）知右焦点坐标为 ，设直线 方程为 ， 由
得， ，
直线OP的斜率 ， 直线 的斜率 ，令
得点 坐标为 ， 直线 的方程为 ，即 ， 直线 恒过定点
.
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆 ： （ ）右焦点为 ，
为椭圆的上顶点， 为坐标原点， 且 的周长为 . 是椭圆上一动点， 是
直线 上一点，且直线 轴.
(1)求椭圆 的方程：
(2)记直线 与椭圆另一交点为 ，直线 是否过 轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理
由.
【答案】(1) ；(2)过定点N .
(1)解：因为椭圆的右焦点为 ， 为椭圆的上顶点，且 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
解得 ，
所以椭圆方程为 ；
(2) ，易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，
则若QM过定点，则定点位于x轴上，
当直线PQ斜率不为0时，设 ，与椭圆方程联立 ，得 ，
设 ，
则 ，
，
所以直线QM的方程为 ，
令 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
故直线QM过定点N .
例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，
一个焦点 与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交 于 两点，直线 与 关于 轴对称，证明：直线 恒过一定点．
【答案】(1) ；(2)详见解析.
(1)由 ，可得 ，
∴ ，又离心率为 ，
∴ ， ，
∴椭圆C的方程为 .
(2)设 ，
由 ，可得 ，∴ ，可得 ，
，
由直线 与 关于 轴对称，
∴ ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
可得 ，
所以直线 方程为 ，恒过定点 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 ，过点 的直线 和 相互垂直（斜率存在），
分别是 和 的中点．求证：直线 过定点．
【答案】证明见解析
由题意可知，设AB直线为 ， ， ,则
因为 分别是 的中点，所以 ，
因为 在椭圆 上，
所以 ，由 ，得 ，即，于是有 ，
所以 ，
，解得 ，∴ ．
（1）当 时， 点即是 点，此时，直线MN为 轴．
（2）当 时，将上式 点坐标中的 换成 ，同理可得 ．
①当直线MN不垂直于 轴时，直线MN的斜率 ，
其方程 ，化简得 ，
∴直线MN过定点 ．
②当直线MN垂直于 轴时， ，此时， ，直线MN也过定点 ．
综上所述，直线MN过定点 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，点 ，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于
x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．
【答案】证明见解析
设 ， ，则 ，
设AC与x轴的交点为 ， ， ，由定比分点公式坐标公式得： ； ，
即 ①， ②， ③， ④，
由②④得 ⑤
∵点A、B在椭圆上，得 ，
两式相减得 ，
将①②代入上式得 ⑥
∵点A、C在椭圆上，得 ，将③④代入上式同理可得 ⑦
对比⑤⑥⑦得 ，故直线AC恒过定点 ．
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））椭圆 的左顶点为 ，离
心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知经过点 斜率存在的直线 交椭圆 于 两点， 是直线 上一点. 若 ，求直
线 的方程.
【答案】(1) (2) 或 或
(1)解：由题意得 ，解得 .
所以椭圆 的方程为 .
(2)解：设 ，由 ，得 .
.
设 ，则 .
所以 .
由 ，知 ，即 ，
解得 ，所以 或 .
所以，直线l的方程为 或 或 .
4．（2022·陕西汉中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，M是一个动
点，且直线AM，BM的斜率之积是 ，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若过点 且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为 （ 与Q不重
合），直线 与x轴交于点G，求点G的坐标．
【答案】(1) (2)
(1)设 ，则直线AM的斜率为 ，直线BM的斜率为 ，
∴ ，整理得 ，
故E的方程为 ．
(2)由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为 ，
设 ， ，则 ，
将 代入 ，得 ．
则 ，
∴ ， ．则直线 方程为 ，
令 ，则
，
∴点G的坐标为 ．
角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的两焦点分别为 和 ，
短轴的一个端点为 ．
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)椭圆 上是否存在一点 ，使得 ? 若存在，求 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ;(2)不存在，理由见解析.
（1）由焦点坐标知 ，由短轴端点 知 ，所以 ，故所求椭圆标准方程
为 .
（2）假设椭圆C上存在一点 ，使得 ，则 ，即
，联立 ，得 ，此方程无解.故椭圆上不存在点P，使得 .
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C： （ ）的右顶点为 ，且
为其上一点.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2) 是椭圆 上异于左右顶点的一点，线段 的中垂线交 轴于点 ，且 为等边三角形，求
点横坐标.
【答案】(1) ， ；(2)B点横坐标 .(1)由题设， ，又 在椭圆上，则 ，可得 ，
所以椭圆C的方程 ，故离心率为 .
(2)令 且 ，则 中点为 ，中垂线斜率 ，
故线段 的中垂线为 ，故 ，
又 为等边三角形，即 ，
所以 ，且 ，
整理得 ，而 或 （舍），
所以 ，即 ，
当 时， ，经验证 为等边三角形，满足题设；
当 时， ，经验证 为等边三角形，满足题设；
所以 横坐标为 .
例题3．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线 的离心率为 ，右焦点
与点 的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线 的右支交于点 ､ ，试问是否存在一定点 ，使 恒成立，
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，
(1)设 ，由条件知 的斜率等于 ，
即 ，又 ， ,
， ，
双曲线 的方程为： .(2)存在点 满足 恒成立，且点 在 轴上.
理由如下:设点 ， 过点 ， 设直线 ,
由 ,消去 得 , ,
设 ，
由韦达定理得 ，①, ，②
， ､ 的斜率之和为 ，
即 ，因为 ， ，
所以代入整理得： ，③
将①②代入③可得 ，即 ,④
④式对任意实数 都成立， ，
,即存在点 满足 恒成立，且点 在 轴上.
同类题型归类练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的左右顶点分别为 ， ，
右焦点为 ，点 在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 为椭圆上不与 重合的任意一点，直线 分别与直线 相交于点 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
（1）由题知： ，将点 代入方程得： ，解得 ， 椭圆C的标准方程为
.
（2）由(1)知 ， .设 ，则 ，直线 的方程为 ，令 ，
则 ，即 ，直线 的方程为 ，令 ，则 ，即，即 .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶
点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线 相交于A、B两点，若直线FA、FB的
斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样
的定点，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在， .
(1)双曲线 的顶点坐标为 ，渐近线方程为 ，
依题意， ，椭圆上顶点为 到直线 的距离 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ．
(2)依题意，设直线l的方程为 ， 、 ，点 ，
由 消去y并整理得 ，则 ， ，
直线FA、FB的斜率之和为 ，
即 ，有 ，整理得 ，
此时 ， ，否则 ，直线l过F点，
因此当 且 ，即 且 时，直线l与椭圆 交于两点，直线l： ，
所以符合条件的动直线l过定点 ．
3．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程： ．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点 上任一点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试证明
为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点 ，且点M，N在C上，且 ，D为垂足．证明：存在定点Q，使
得 为定值．
【答案】(1) (2) (3)存在点 ，使得 为定值.
(1)设 ，因为P为椭圆C上一点，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故 为定值 .
(2)设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 .
则 ，①
，②
①减②得： ，
.
又 ， .
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为 的平行弦中点的轨迹方程：
(3)设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 .
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
得 ，结合 可得： ，
解得： 或 （舍）.
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 ，
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 ，
若 与 重合，则 ，故存在点 ，使得 为定值.
4．（2022·上海·格致中学高二期末）已知椭圆 ，过定点 的直线交椭圆于 两点，其
中 .(1)若椭圆短轴长为 且经过点 ，求椭圆方程；
(2)对（1）中的椭圆，若 ，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(3)若直线 与 轴不垂直，问：在 轴上是否存在点 使得 恒成立？如果存在，求出
的关系；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2) 面积的最大值为 ， 或
(3)存在，
(1) 椭圆短轴长为 ， ，解得： ； 椭圆方程为 ；
点 在椭圆上， ，解得： ， 椭圆方程为 .
(2)由题意可设直线 ， ， ，
由 得： ， ，
， ，
（当且仅当 ，即 时取
等号），面积的最大值为 ，此时直线 的方程为： 或 .
(3) 直线 与 轴不垂直，可设直线 ， ， ，
由 得： ，
，则 ， ，
， ，即 ，
，即 ，
，则 ，
，
， ，则 ，
轴上存在点 使得 恒成立，此时 .
题型二：双曲线中的定点问题
角度1：双曲线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线 的离心率为 ，两条准线间的距离
为 .
(1)求 的标准方程；
(2)斜率为 的直线l过点 ，且直线 与 的两支分别交于点 ， ，
①求 的取值范围；
②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点.
【答案】(1) ；(2)① ；②证明见解析．
(1)由已知得 可得 ，
又双曲线中 ，所以C的标准方程为： ．(2)设直线 ， ， ，
由 ，消去y可得， ，
则 ， ， ，
①因为直线与双曲线交于两支，所以 且 ，即 ，解得：
；
②设 ，令 ，
，即直线AD过定点 .
例题2．（2022·安徽·高二期末）设直线 （ ）与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于
， 两点，且 （ 为坐标原点）的面积为 .
(1)求 的值；
(2)与坐标轴不垂直的直线 与 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ， 为 的右焦点，若
， ， 三点共线，证明：直线 经过 轴上的一个定点.
【答案】(1)m=1(2)证明见解析
(1)双曲线C： （m >0）的渐近线方程为 ，
不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为（m， m）和（m， - m），
所以
解得m=1.
(2)由（1）知C： ，则F的坐标为（2，0），
设l与x轴交于点（p，0） ，则l的方程为 （ ），
设 .则 .
联立 ，得 ，由题可知 ，所以
因为 ，F，N三点共线，所以 ，
即 ，即 ，
所以
因为k≠0，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
解得 ，
所以直线l经过x轴上的定点
例题3．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆 ： 的圆心为 ，圆N：
的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切，动圆的圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，直线 是否过定点？若过定点，求出定
点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) ， ；(2)过， .
(1)设圆E的圆心为 ，半径为r，
则 ， ，所以 ．
由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，
所以动圆的圆心E的轨迹方程为 ， ；
(2)设 ， ，直线l的方程为 ．
由 得 ，且 ，故 又 ，所以 ．
又 ， ，
所以
，
即 ．又
故 或 ．
若 ，则直线l的方程为 ，
过点 ，与题意矛盾，所以 ，故 ，
所以直线l的方程为 ，过点 ．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：
的距离之比是常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l： 的距离之比是常数 ，
所以 ，
化简得 ，
所以曲线E的方程为 .
(2)设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为 ， ，分别联立 ，解得M( ， )，N( ，－ )，
此时直线MN的方程为 ，过点( ，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为 ，( )
由 ，消去y得 ，
所以 ，即 ，
， ，
因为AM⊥AN，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，
将 ， 代入化简得： ，
所以 或 ，
当 时，直线MN方程为 (不符合题意舍去)，
当 时，直线MN方程为 ，MN恒过定点( ，0)，
综上所述直线MN过定点( ，0).
2．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）已知双曲线的离心率为 ，且该双曲线经过点
.
(1)求双曲线C： 方程；
(2)设斜率分别为 ， 的两条直线 ， 均经过点 ，且直线 ， 与双曲线C分别交于A，B两点
（A，B异于点Q），若 ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存
在，说明理由.
【答案】(1) (2)过定点，（0，1）(1)离心率为 ，则 ， ，即双曲线方程为 .
又点 在双曲线C上，所以 ，
解得 ， ，
所以双曲线C的方程为 .
(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设 ， ，
则由 ，解得 ，
即 ，解得 ，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为 ，代入 ，
整理得 ，
设 ， ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，
所以 ，
整理得： ，即 ，
所以 或 .
当 时，直线AB的方程为 ，经过定点 ；
当 时，直线AB的方程为 ，经过定点 ，不符合题意.
综上，直线AB过定点（0，1）.
3．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 经过点 ，且虚轴的一个顶点到一
条渐近线的距离为 .
（1）求双曲线 的方程；（2）过点 的两条直线 ， 与双曲线 分别交于 ， 两点( ， 两点不与 点重合)，设直线 ，
的斜率分别为 ， ，若 ，证明：直线 过定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
（1）由题得双曲线 的一条渐近线方程为 ，虚轴的一个顶点为 ，
依题意得 ，即 ，
即 ，①
又点 在双曲线 上，
所以 ，即 ，②
由①②解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，点 ， 关于 轴对称，
设 ， ，
则由 ，解得 ，
即 ，解得 ，不符合题意，所以直线 的斜率存在.
不妨设直线 的方程为 ，代入 ，
整理得 ， ，
设 ， ，
则 ， ，
由 ，得 ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，整理得 ，即 ，
所以 或 .
当 时，直线 的方程为 ，经过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，经过定点 ，不符合题意.
综上，直线 过定点 .
角度2：双曲线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，
直线 与 的一条渐近线交于点P，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为双曲线 右支上的一个动点在 轴上是否存在定点 ，使得 ？若存在，求出
点 的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】(1) (2)满足条件的点M存在，坐标为
(1)根据双曲线的对称性不妨设直线 与渐近线 的交点为P，
则联立 得：
由 可得： ，即 ，
由离心率 可得： ，故
所以双曲线的标准方程为： ．
(2)假设存在点 满足题设条件．
由（1）知双曲线C的右焦点为 ．
设 为双曲线C右支上一点，则
①当 时， ．因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ．即 ．②当 时，
因为 ，所以
（ⅰ）当 时，上式化简得：
又 即： ，带入上式得：
所以 解得 ．即
（ⅱ）当 时， ，即 也能满足
综上可得：满足条件的点M存在，其坐标为 ．
例题2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知双曲线 ： ，
， ， ， ， 五点中恰有三点在 上.
(1)求 的方程；
(2)设 是 上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点 ，使得 ,若存
在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在，定点
(1)若 ， ， 在双曲线 上，则 ， ， 只能是双曲线 的顶点，
， ， 三点中只能有一点是顶点， 都在双曲线 上，
， ， 两点关于 上对称，
由双曲线顶点的位置特征分析可知， 在 上，
将 ， 代入双曲线 的方程 中，
则 ，得 ， ，故 的方程为 .(2)假设存在定点 满足题意， ， ， ，
.
①、当 轴时， , ， ，
在 中， ,
， ，此时 .
②、当 不与 轴垂直时，假设 ，满足 .
设 ，则 ， ，
，又 ， ，即 ，所以假设成立.
故存在定点 ，使得 .
例题3．（2022·上海·高三专题练习）在直角坐标系 中，直线 是双曲线 的一条渐
近线，点 在双曲线 上，设 为双曲线上的动点，直线 与y轴相交于点 ，点 关
于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相交于点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）在 轴上是否存在一点 ？使得 ，若存在，求 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求 点的坐标，使得 的面积最小.
【答案】（1） ；（2）存在， ；（3） 或 或 或 .
（1）由已知得 ，所以 ， ，所以双曲线方程为
（2）设 ，因为 ，令 得 ， ，令 得
因为 ，平方可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，存在 ；
（3）因为
，
当且仅当 时，取得最小值，
此时M的坐标是 或 或 或 .
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）直线l： 与双曲线C： 交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【答案】(1) ;(2)存在， 或 .
(1)将直线l的方程 代入双曲线C的方程 ，
整理得 ①
依题意，直线l与双曲线C交于不同两点，则
解得k的取值范围为 ．
(2)设A、B两点的坐标分别为 , ，则由①得 ②．
假设存在实数k，使得AF⊥BF，则 ，
即： ，
整理得 ③．
把②式及 代入③式化简得： ，
解得 或 ，
∴存在实数 或 ，使得AF⊥BF．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线方程为 1，F，F 为双曲线的左、右焦点，离心率为
1 2
2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 · 0，|PF||PF|＝6．
1 2
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F 作直线 交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得 为定值，若存在，
2
请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)x2 1(2)存在，m＝﹣1，定值为0
(1)由题意可得e 2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，
所以b a，
又因为 · 0，|PF||PF|＝6．所以 ,
1 2
由|PF|﹣|PF|＝2a，所以可得|PF|2+|PF|2﹣2|PF||PF|＝4a2，
1 2 1 2 1 2
而|PF|2+|PF|2＝4c2，
1 2所以4c2﹣12＝4a2，
可得b2＝3，a2＝1，
所以双曲线的方程为：x2 1；
(2)由(1)可得F(2，0)，
2
当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，
由M(m，0)，则 · m2﹣1，
当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立 ，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，
因为t2 ，y+y ，yy ，
1 2 1 2
因为 · (x﹣m，y)·(x﹣m，y)＝(ty +2﹣m)(ty +2﹣m)+yy＝(t2+1)yy+(2﹣m)t(y+y)+(2﹣m)2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝(t2+1)· (2﹣m)t· (2﹣m)2
(2﹣m)2，
要使 • 为定值，则 ，解得m＝﹣1，则 ，
所以Q(﹣1，0)．定值为0．
3．（2022·江苏徐州·高二期末）已知双曲线 的左焦点为 ， 到 的一条渐近
线的距离为1.直线 与 交于不同的两点 ， ，当直线 经过 的右焦点且垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)是否存在 轴上的定点 ，使得直线 过点 时，恒有 ？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在 ，理由见解析.
(1)双曲线 的左焦点 ，其中一条渐近线 ，则 ；
对双曲线 ，令 ，解得 ，则 ，解得 ，
故双曲线方程为： .(2)根据（1）中所求可知 ，假设存在 轴上的点 满足题意，
若直线 的斜率不为零，则设其方程为 ，联立双曲线方程 ，
可得 ，则 ，
即 ，此时直线 与双曲线交于两点 ，
则 ，则 ，
即 ，即 ，
则 ，此时 满足题意；
若直线 的斜率为零，且过点 ，此时 ，满足题意.
综上所述，存在 轴上的一点 满足 .
题型三：抛物线中的定点问题
角度1：抛物线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作斜率分别为 的两条直线 ，若 与抛物线 的另一个交点分别为 ，且有
，探究：直线 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.
【答案】(1) (2)直线 恒过定点
(1) 在抛物线上， ，解得： ，
抛物线 的方程为： .
(2)由（1）得： ；设 ， ，
则 ；同理可得： ；
， ，整理可得： ；
当直线 斜率为 时，其与抛物线 只有一个公共点，不合题意；当直线 斜率不为 时，设 ，
由 得： ，则 ， ，解得： ；
，则直线 过定点 ；
综上所述：直线 恒过定点 .
例题2．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线 上的点 到其准线的距
离为5．不过原点的动直线交抛物线 于 ， 两点， 是线段 的中点，点 在准线 上的射影为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 时，求证：直线 过定点．
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)由抛物线C的方程可得其准线方程 ，
依抛物线的性质得 ，解得 ．
∴抛物线C的方程为 ．
(2)当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线 ， 、 、 ，由
化简得 ， ， ， ，
，所以 ，所以 ， ，
所以
若 ，即 ，解得 或 （舍去），所以直线AB过定点 .
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知线段 是抛物线 的弦，且过抛物线焦点 .
(1)过点 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点 ，求证： 三点共线( 为坐标原点)；
(2)设 是抛物线准线上一点，过 作抛物线的切线，切点为 .求证：（i）两切线互相垂直；
（ii）直线 过定点，请求出该定点坐标.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
(1)解：由题知抛物线 的焦点 ，准线为 ，
所以，设直线 的方程为： ，
所以，联立方程 得 ，
设 ，则 ，
因为过点 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点 ，所以
因为 ，故
所以 ， ，
所以， ，即 三点共线.
(2)解：（i）设 ，
所以，设过 作抛物线的切线，斜率为 ，则方程为 ，
所以， 得 ，
所以， ，即 ，
设切线 的切线斜率分别为 ，
则 为方程 的实数根，
所以 ， ，
所以，两切线互相垂直.
(ii)由（i）知 ， ，
所以， ，即 ，
所以 ，
所以， ，所以，直线 的方程为 ，
整理得 ，即
所以，直线 过定点 .
同类题型归类练
1．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知抛物线C： （ ），直线 交抛物线C
于A，B两点，且三角形OAB的面积为 （O为坐标原点）.
(1)求实数p的值；
(2)过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定
点，并求出定点坐标.
【答案】(1) ；(2)证明见解析，定点 .
(1)解：由题得直线 过点 ，.
设 ，
联立 得 ，所以 ，
所以 .
所以三角形 的面积 ，
又 ，解得 （ 舍去）.
所以 .
(2)证明：由（1）抛物线 的方程为 ，
设 ，不妨令 ，则 ，
设直线 的方程为 ，
联立 消去 得 ，
则 ，
则直线 的方程为 ，
即 ，
则 ，即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
令 解得 所以直线 恒过定点
2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知动圆M过定点 ，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为
曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点 ， ，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：
当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】(1) (2)证明见解析，定点 ；
(1)解：设圆心 ，圆的半径为R，则 ，整理得 ．
所以动圆圆心的轨迹方程为 ．
(2)证明：抛物线的方程为 ，设 ， ， ，
则直线 的方程为 ，
得 ，
又 ，所以直线 的方程为 ．
同理可得直线 的方程为 ，
直线 的方程为
因为直线 过点 ，所以 ；
因为直线 过点 ，所以 ．
消去 ，得 ．
代入 的方程，得 ，所以直线 恒过一个定点 ．
3．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点F且垂直于x
轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点， 的周长为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是
否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1) (2)直线PQ过定点
(1)由题意 ，在 中代入 ，得 ，解得 ，
所以 ．
由勾股定理得| ，
则 的周长为 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ．
(2)由题意可知 ，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为 ， ， ．
联立 消去x，得 ， ，
则 ，从而 ．
因为P是弦AB的中点，所以 ，同理可得 ．当 ，即 时，直线PQ的斜率 ，
则直线PQ的方程为 ，即 ．
故直线PQ过定点 ；
当 ，即 时，直线PQ的方程为 ，也过点 ．
综上所述，直线PQ过定点 ．
4．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，过焦点F斜率
为 的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C，D为抛物线上的动点，且 ，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的最大值．
【答案】(1) (2)证明见解析；P点坐标为（4，0）(3)
(1)过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，
由题知，直线l的倾斜角为 ．∴在 中， ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
∴ ，∴在 中，又 ，
∴ ，∴ ，∴抛物线的标准方程为 ．
(2)由（1）可知，抛物线方程为 ，设直线CD的方程为： ， ， ，
直线与抛物线联立： ，得： ，
则 ， ，
∵ ， 且 ，∴ 则 ，
∴直线CD过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），
(3)由（2）可知P点坐标为（4，0），
∴ ，
∴ 的最大值为 ．
角度2：抛物线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））已知抛物线 的焦点为 ，过点 的
直线 交 于 ， 两点，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程：
(2)在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立（ 为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在
说明理由．
【答案】(1) (2)存在，
(1)当l与x轴垂直时，由题意易得 ，
从而 ，解得p＝1，
所以C的方程为 ；
(2)设 ， ， ，由题可知直线l斜率不为零，
设 ，代入抛物线方程 消去x，得 ，
从而 ， ，①
由 可得将①代入上式，得 恒成立，
所以 ，
因此存在点P，且满足题意，P点坐标为 ．
例题2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线 与抛物线
交于 ， 两点，当直线 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)在 轴上求一定点 ，使得点 到直线 和 的距离相等.
【答案】(1) (2)
(1)当直线 轴时，方程为 ，代入抛物线方程得 ， ，
∴ ，解得 .
∴抛物线N的标准方程为 ；
(2)设 .
联立 得 .∴ .①
由题意可知 ，
∴ ，即 .
∴ ，即 .
∴ .∵ ，可知 .
∴点C的坐标由抛物线的图象可知，还有点 满足题意，故这样的点有3个，坐标分别为
.
例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知 为抛物线 的焦点，过 的动直线交
抛物线 于 两点．当直线与 轴垂直时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 的斜率为1且与抛物线的准线 相交于点 ，抛物线 上存在点 使得直线 的斜
率成等差数列，求点 的坐标．
【答案】(1) (2)
（1）因为 ，在抛物线方程 中，令 ，可得 ，所以当直线与 轴垂直时，解得 ，抛物线的方程为 .
（2）（2）因为抛物线 的准线方程为 ，由题意可知直线 的方程为 ，所以
.联立 消去 ，得 ，设 ， ，则 ， ，若
存在定点 满足条件，则 ，即 ，因为点 均在抛物线上，
所以 .代入化简可得 ，将 ， 代入整理
可得 ，即 ，所以 ，解得 ，将 代入
抛物线方程，可得 ，于是点 即为满足题意的定点.
同类题型归类练
1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线 的焦点为 ，曲线 上有一点 满
足 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线 于异于原点的两点 ，直线 与 轴相交于 ，试探究 轴
上存在一点是否存在异于 的定点 满足 恒成立.若存在，请求出 点坐标；若不存在，请
说明理由.
【答案】(1) (2)存在，
(1) 在曲线 上，则 ，则 ，
而 ，故抛物线C的方程为 .
(2)易知直线 的斜率不为0，故设
联立： ，
故 .
，因为 ，
则
则 或 （舍），故 .因为 都在 轴上，要使得 ，
则 轴为 的角平分线，
若 ，则 垂直于 轴， 轴平分 ，则 垂直于 轴，
则直线 的方程为 ，此时 ，而 相异，故 ，同理
故 与 的斜率互为相反数，即
为定值.
故当 时，有 恒成立.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线E
于 两点， ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，连接PA，PB分别交抛物线E于另外两点C，D，使得 ？并
说明理由．
【答案】(1) (2)见解析
(1)因为点 是抛物线 的焦点，且
所以点 到点 的距离等于点 到直线
所以由抛物线的定义可知
所以抛物线 的标准方程为
(2)设
由 得： ，且 ，得
即 ，所以
代入抛物线方程 ，得
整理得 ，同理可得
故 是方程 的两根，
由韦达定理可得 ①
由题意，直线 的斜率一定存在，故设直线 的方程为与抛物线方程 联立可得
由韦达定理可得 ②
由①②可得
故在x轴的正半轴上存在一点 满足条件.
3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知抛物线 ，点 ，直线 过点
且与抛物线 相交于 两点．
(1)当 为变量时， 为抛物线 上的一个动点，当线段 的长度取最小值时， 点恰好在抛物线 的顶
点处，请指出此时 点运动的轨迹；
(2)当 为定值时，在 轴上是否存在异于点 的点 ，对任意的直线 ，都满足直线 关于 轴对称?
若存在，指出点 的位置并证明，若不存在请说明理由.
【答案】(1) 点的运动轨迹是 轴的 部分的线段；
(2)存在点 ，证明见解析.
(1)设 ，则 ，
当线段 的长度取最小值时， 点恰好在抛物线 的顶点处，即当 时，线段 的长度取最小值
；
，解得： ， ；
点的运动轨迹是 轴的 部分的线段.
(2)①当直线 斜率不存在时，对于 轴上任意异于点 的点 ，都满足直线 关于 轴对称；②当直线 斜率存在时，设 ， ， ，
由 得： ，则 ，
设 ，
直线 关于 轴对称， ，
，
即 ，
当 时， 恒成立，即 ；
综上所述：存在点 ，对任意的直线 ，都满足直线 关于 轴对称.
4．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线E于
A、B两点.
(1)当直线 的斜率为1时，求弦 的长度 ；
(2)在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接 ， 分别交抛物线E于另外两点C、D，使得 且
？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)8(2)存在，
(1)解：设 ， ， ， ，
由题意知，点F的坐标为 ，直线 的方程为 .
与抛物线 联立可得 .
由韦达定理有 ，故 .
(2)设 ， ， ， .
由 且 ，得 ，即 .
所以 ， .
代入抛物线 ，得 ，
整理可得 ，
同理可得 ，
故 是方程 的两根， ，
由韦达定理有 ， ，①
由题意，直线 的斜率一定存在，故设直线 的方程为 ，
与抛物线 联立可得 ，
由韦达定理有 ， ，②
由①②可得 ， ，
故x轴的正半轴上存在一点 满足条件.
第二部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
【答案】(1) (2)
（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，则 ，解得 ， ，所
以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入，可得 ， ，代入AB方程 ，可得 ，由
得到 .求得HN方程： ，过点 .②若过点 的直线
斜率存在，设 .联立 得
，可得 ， ，且
联立 可得 可求得此时
，将 ，代入整理得
，将 代入，得
显然成立，综上，可得直线HN过定点
