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§10.10 概率、统计与其他知识的交汇问题
题型一 概率、统计与数列的综合问题
例1 为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，
每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B
的概率均为.每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记
0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．
(1)若m＝2，求分数X的分布列与均值．(若结果不为整数，用分数表示)
(2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为 n分的概率为
G(n)，如G(1)＝.
①求G(2)；
②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出
λ；若没有，请说明理由．
解 (1)进行一次试验，
获得0分的概率为×＋×＝，
获得1分的概率为×＝，
获得2分的概率为×＝，
进行两次试验，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝4)＝×＝，
P(X＝3)＝××2＝，
P(X＝2)＝××2＋×＝，
P(X＝1)＝××2＝，
P(X＝0)＝×＝.
所以分数X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)①G(2)＝＋×＝，
②据题意有，
G(n)＝G(n－2)＋G(n－1)，其中n≥3，
设G(n)－λG(n－1)＝G(n－2)＋G(n－1)－λG(n－1)
＝G(n－2)＋G(n－1)＝[G(n－1)－λG(n－2)]．
比较系数得－λ＝，
解得λ＝，
所以{G(n)－λG(n－1)}是公比为－λ的等比数列，其中n∈N*，n≥2，λ＝.
思维升华 高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，
准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．
跟踪训练1 (2022·大连模拟)一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前
跳2步，若出现反面向前跳1步．
(1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，
①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；
②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值．
(2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为p，求p 的最大值．
n n
解 (1)①设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z，
则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝，
P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝，
P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝，
所以P(Y>Z)＝×＋×＝，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为.
②由①知X的所有可能取值为4,5,6,7,8，
所以P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝，P(X＝8)＝，
随机变量X的分布列为
X 4 5 6 7 8
P
E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.
(2)由题意得p＝，p＝，
1 2
当n≥3时，
p＝p ＋p ，
n n－1 n－2
p－p ＝－(p －p )
n n－1 n－1 n－2
＝(p －p )＝…
n－2 n－3
＝n－2(p－p)
2 1
＝n，
所以p＝n＋(n≥3)，
n因为p＝，p＝，
1 2
所以p＝n＋(n∈N*)，
n
当n为奇数时，n<0，
p<；
n
当n为偶数时，
p＝2＋＝>，且数列{p}为递减数列，所以p 的最大值为.
2 n n
题型二 概率、统计与函数的综合问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代
繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，
P(X＝i)＝p(i＝0,1,2,3)．
i
(1)已知p＝0.4，p＝0.3，p＝0.2，p＝0.1，求E(X)；
0 1 2 3
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p ＋px＋px2
0 1 2
＋px3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
3
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
(1)解 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)证明 设f(x)＝px3＋px2＋(p－1)x＋p，
3 2 1 0
因为p＋p＋p＋p＝1，
3 2 1 0
故f(x)＝px3＋px2－(p＋p＋p)x＋p，
3 2 2 0 3 0
若E(X)≤1，则p＋2p＋3p≤1，
1 2 3
故p＋2p≤p.
2 3 0
f′(x)＝3px2＋2px－(p＋p＋p)，
3 2 2 0 3
因为f′(0)＝－(p＋p＋p)<0，
2 0 3
f′(1)＝p＋2p－p≤0，
2 3 0
故f′(x)有两个不同零点x，x，且x<0<1≤x，
1 2 1 2
且x∈(－∞，x)∪(x，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x，x)时，f′(x)<0，
1 2 1 2
故f(x)在(－∞，x)，(x，＋∞)上单调递增，在(x，x)上单调递减，
1 2 1 2
若x＝1，因为f(x)在(x，x)上单调递减且f(1)＝0，
2 1 2
而当x∈(0，x)时，因为f(x)在(x，x)上单调递减，故f(x)>f(x)＝f(1)＝0，
2 1 2 2
故1为p＋px＋px2＋px3＝x的一个最小正实根，
0 1 2 3
若x>1，因为f(1)＝0且在(0，x)上单调递减，故1为p＋px＋px2＋px3＝x的一个最小正实
2 2 0 1 2 3
根，
综上，若E(X)≤1，则p＝1.
若E(X)>1，则p＋2p＋3p>1，
1 2 3故p＋2p>p.
2 3 0
此时f′(0)＝－(p＋p＋p)<0，
2 0 3
f′(1)＝p＋2p－p>0，
2 3 0
故f′(x)有两个不同零点x，x，
3 4
且x<0<x<1，
3 4
且x∈(－∞，x)∪(x，＋∞)时，f′(x)>0；
3 4
x∈(x，x)时，f′(x)<0，
3 4
故f(x)在(－∞，x)，(x，＋∞)上单调递增，在(x，x)上单调递减，
3 4 3 4
而f(1)＝0，故f(x)<0，
4
又f(0)＝p>0，故f(x)在(0，x)上存在一个零点 p，且p<1.
0 4
所以p为p＋px＋px2＋px3＝x的一个最小正实根，此时p<1，
0 1 2 3
故当E(X)>1时，p<1.
(3)解 意义：每一个该种微生物若繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖
后代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1.
思维升华 在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的
最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、
不等式或数列的有关性质去实现．
跟踪训练2 (2022·唐山模拟)某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，
即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，
胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的
获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示：
赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，
横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指
的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的 A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第
四轮比赛的失败者．
(1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果)
(2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X)；
(3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？
参考知识：正整数n>1时，n<，e为自然对数的底数，e≈2.718 28.解 (1)30,7.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7.
P(X＝2)＝2＝，
P(X＝3)＝C3＝，
P(X＝4)＝C4＝，
P(X＝5)＝C5＋4＝，
P(X＝6)＝P(X＝7)＝C6＝，
X的分布列如下：
X 2 3 4 5 6 7
P
则E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝.
(3)乙经败者组进入决赛的概率为
f(t)＝C(1－t)t5，0<t<1，
f′(t)＝4t4(5－6t)，
当0<t<时，f′(t)>0，f(t)在上单调递增，
当<t<1时，f′(t)<0，f(t)在上单调递减，
得f(t)的最大值为f ＝4××5＝×6＝×6，
由参考知识得6<，
故f <<，
所以，乙没有三成把握经败者组进入决赛．
课时精练
1．(2022·唐山模拟)设某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具
传染性．假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为
p，
(1)若n＝3，p＝，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值；
(2)某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两
种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份(k∈N*且k≥2)血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴
性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了．如果检验结果
为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k＋1次．
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为p＝1－，为使混合检
验需要的检验的总次数ξ的均值比逐份检验的总次数η的均值更少，求k的取值范围．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8.
解 (1)若n＝3，p＝，
依题意可知X服从二项分布，即X～B，
从而P(X＝i)＝Ci3－i，i＝0,1,2,3.
随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为E(X)＝3×＝1.
(2)由题意知ξ的所有可能取值为1，k＋1，
且P(ξ＝1)＝(1－p)k，
P(ξ＝k＋1)＝1－(1－p)k，
∴E(ξ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，
又∵E(η)＝k，依题意知E(ξ)＜E(η)，
即k＋1－k(1－p)k＜k，
∴＜(1－p)k，
∵p＝1－，
∴＜k，
∴ln k＞k.
即只需ln k－k>0，
设f(x)＝ln x－x，
则f′(x)＝－＝，
∴当0<x<3时，f′(x)>0，
当x>3时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝－＜0，
f(2)＝ln 2－≈0.026 4＞0，
f(4)＝ln 4－≈0.053 0＞0，
f(5)＝ln 5－≈－0.057 3＜0，
故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*.
2．(2022·泉州模拟)某公司为了解年宣传费x (单位：十万元)对年利润y (单位：十万元)的影响，统计甲、乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相
关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“＋”，反之用“－”号记录．
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
甲1 ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋
甲2 ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋
甲3 ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋
乙1 ＋ － － － ＋ ＋ － － ＋ ＋
乙2 ＋ ＋ － － ＋ ＋ － － － ＋
(1)根据以上信息，填写下面2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为
宣传费是否产生利润效益与地区有关？
产生利润效益 未产生利润效益 合计
甲地
乙地
合计
(2)现将甲、乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择y＝a＋b
和y＝c＋dln x两个模型拟合甲、乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，
得到以下表格信息：
经验回归方程 残差平方和(y－y)2 总偏差平方和(y－)2
i i i
甲地 y＝－0.28＋2 0.032 1.021
乙地 y＝1.3＋1.8ln x 0.142 11.614
根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以
甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并
给出适当的解释；
(3)该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲、乙两地
的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大．
参考公式：决定系数R2＝1－.
附：
α 0.05 0.025 0.010
x 3.841 5.024 6.635
α
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)根据题意填写列联表如下表所示：
产生利润效益 未产生利润效益 合计
甲地 24 6 30
乙地 10 10 20合计 34 16 50
零假设为H：宣传费是否产生利润效益与地区无关，根据列联表中的数据，经计算得到
0
χ2＝≈4.963＞3.841＝x ，
0.05
∴依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为宣传费是否产生利润效
0
益与地区有关．
(2)对于甲地，其模型决定系数R＝1－＝1－≈0.968 7，
对于乙地，其决定系数R＝1－＝1－≈0.987 8，
∴R<R，
∴乙地模型的拟合程度更高，故“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，
所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断是不正确的．
(3)设投入甲地的年宣传费为x(单位：十万元)，则投入乙地的费用为(3.6－x)(单位：十万元)，
设两地总的年利润为ω(x)(单位：十万元)，则
ω(x)＝－0.28＋2＋1.3＋1.8ln(3.6－x)＝2＋1.8ln(3.6－x)＋1.02,0<x<3.6，
∴ω′(x)＝＋＝
＝，
当0<<1.2，
即0<x<1.44时，ω′(x)>0，ω(x)单调递增，
当>1.2，即x>1.44时，ω′(x)<0，ω(x)单调递减，
∴当x＝1.44时，ω(x)取得最大值，最大值为1.8ln 2.16＋3.42.
故分配给甲地14.4万元，分配给乙地21.6万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大
利润为(18ln 2.16＋34.2)万元．
3．某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者
有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密
切接触者在接触一个患者后被感染的概率为p(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密
切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．
(1)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a，p的关系式和X的均值；
(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传
播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染，
按第1天算起，第n天新增患者的均值记为E(n≥2)．
n
①求数列{E}的通项公式，并证明数列{E}为等比数列；
n n
②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率 p′＝ln(1＋p)－p，当p′
取最大值时，计算此时p′所对应的E′值和此时p对应的E 值，并根据计算结果说明戴口
6 6
罩的必要性．(取a＝10)结果保留整数，参考数据：ln 5≈1.6，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7.
解 (1)由题意知，被感染人数服从二项分布
X～B(a，p)，
则P(X)＝CpX(1－p)a－X(0≤X≤a)，
E(X)＝ap.
(2)①第n天被感染人数为(1＋ap)n－1，
第n－1天被感染人数为(1＋ap)n－2，
由题目中均值的定义可知，
E＝(1＋ap)n－1－(1＋ap)n－2
n
＝ap(1＋ap)n－2(n≥2)，
则＝1＋ap，且E＝ap.
2
∴{E}是以ap为首项，1＋ap为公比的等比数列．
n
②令f(p)＝ln(1＋p)－p，
则f′(p)＝－＝.
∴f(p)在上单调递增，在上单调递减．
f(p) ＝f ＝ln －＝ln 3－ln 2－
max
≈1.1－0.7－0.3＝0.1.
当a＝10时，E＝10p(1＋10p)n－2，
n
则E′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4＝16，
6
E＝10×0.5×(1＋10×0.5)4＝6 480.
6
∵E>E′，
6 6
∴戴口罩很有必要．
4．(2022·济南模拟)某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 2k－
1(k∈N*)个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各元件之间相互独立．
当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常
运行的概率为p(例如：p 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p 表示控制
k 2 3
系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)．
(1)若每个元件正常工作的概率p＝.
①当k＝2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
②计算p.
3
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常
运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的
概率为，每件高端产品的利润是2元．请用p 表示出设备升级后单位时间内的利润y(单位：
k
元)，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元
件的个数来提高利润．解 (1)①因为k＝2，所以控制系统中正常工作的元件个数X的所有可能取值为0,1,2,3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p＝，所以X～B，
所以P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝，
所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为
X 0 1 2 3
P
控制系统中正常工作的元件个数X的均值为
E(X)＝3×＝2.
②由题意知，
p＝C32＋C41＋C50
3
＝＋＋＝＝.
(2)升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 4a 0
设备运行概率 p 1－p
k k
所以升级改造后单位时间内产量的均值为4ap.所以
k
产品类型 高端产品 一般产品
产量(单位：件) ap 3ap
k k
利润(单位：元) 2 1
设备升级后单位时间内的利润为y＝2ap＋3ap＝5ap，即y＝5ap.
k k k k
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有k＋1个元
件正常工作，其概率为p(1)＝p－Cpk(1－p)k－1；
k
第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率
为p(2)＝Cpk(1－p)k－1·[1－(1－p)2]＝Cpk＋1(1－p)k－1(2－p)；
第三类：原系统中有k－1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为p(3)＝Cpk－1(1－p)k·p2
＝Cpk＋1(1－p)k；
所以p ＝p－Cpk(1－p)k－1＋Cpk＋1(1－p)k－1·(2－p)＋Cpk＋1(1－p)k
k＋1 k
＝p＋Cpk(1－p)k(2p－1)，
k即p －p＝Cpk(1－p)k(2p－1)，
k＋1 k
所以当p>时，p －p>0，p 单调递增，
k＋1 k k
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当p≤时，p －p≤0，
k＋1 k
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为y＝5ap，
k
所以当p>时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当p≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
