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专题 24.3 弧、弦、圆心角的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】.............................................................................................1
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】.............................................................................................2
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】.....................................................................................................4
【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】.............................................................................................5
【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】.....................................................................................................6
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】.....................................................................................................7
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】.............................................................................................8
【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】.................................................................................................9
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】...................................................................11
【题型10 利用弧、弦、圆心角的关系求最值】....................................................................................................11
知识点：弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，
②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不
变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 由弧、弦、圆心角的关系判断结论正误】
【例1】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点
A，B重合），在点P运动的过程中，对于如下结论：①PA+PB的值为定值；②∠APB的度数为定值；
③∠POB的度数始终等于∠OPA度数的2倍；④若P´B=2P´A，则PB=2PA．正确的结论有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-1】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）下列说法正确的个数有（ ）
①半圆是弧；
②面积相等的两个圆是等圆；
③所对的弦长相等的两条弧是等弧；
④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；
⑤等弧所对的圆心角相等；
⑥平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-2】（23-24九年级·甘肃平凉·阶段练习）如图所示，在⊙O中，A´B=2C´D，那么（ ）
A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．无法比较
【变式1-3】（23-24九年级·山东临沂·期中）OR平分锐角∠MON，以O为圆心以任意长为半径画P´Q，分
别交OM，OR，ON于A，B，C三点，以C为圆心，以BC长为半径画弧与P´Q相交于异于B点的点D，连
接AD，BC．下列结论错误的是（ ）
A．A´B=B´C B．若OA=AD，则∠BOC=20°
C．BC∥AD D．AD=3BC
【题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求线段长度】
【例2】（2024·湖北襄阳·二模）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、
∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则点O到弦AB的距离为（ ）A．6 B．8 C．3 D．4
【变式2-1】（23-24九年级·四川南充·期末）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°,C是A´B的中点，
作CD⊥OB，与⊙O交于D，则图中与BD相等的线段有 条．
【变式2-2】（2024·安徽滁州·一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=4❑√2，D是弧AC
的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则BC的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【变式2-3】（23-24九年级·福建厦门·期中）如图，AB是⊙O直径，AC是弦，点E在弦AC上．D是A´C
的中点，AD=a，DE=b，若四边形BCDE为平行四边形，则⊙O的半径是（ ）5 3 b
A． b B． b C．❑√a2−b2 D．a+
3 2 2
【题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求角度】
【例3】（23-24九年级·广西百色·期末）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，
AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB−∠BCD等于（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【变式3-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC=132°，点B是
弧AC的中点，则∠D的度数是( )
A．66° B．35.5° C．33° D．24°
【变式3-2】（2024·山东烟台·一模）如图，以⊙O的半径为半径，自⊙O上的A点起，在圆上依次画弧
截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为O ，连接FA，FO ，则∠AFO = ．
1 1 1
【变式3-3】（23-24九年级·浙江·期中）如图，在△ABC中，∠B=70°，⊙O截三边所得的弦长
DE=FG=HI，则∠AOC= 度．【题型4 利用弧、弦、圆心角的关系求弧的度数】
【例4】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC=50°
，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，则弧AE的度数为 ．
【变式4-1】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径， BC=CD=DE，∠BOC=42°
，那么弧AE度数等于 ．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以点B为
圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求弧DE的度数．
【变式4-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点A．B．C在⊙O上，∠ACB=40°．弧AB的度数
为 ．【题型5 利用弧、弦、圆心角的关系求面积】
【例5】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，
AB=BC=CD=2 ， E 是 A ¿ D 的中点，则 △ADE 的面积是 ．
【变式5-1】（23-24九年级·河南濮阳·期中）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，圆的半径为2，且
CB=CD=2，AB=AD，则该S =（ ）
四边形ABCD
A．4❑√3 B．2❑√3 C．3❑√3 D．6
【变式5-2】（2024·湖北鄂州·一模）如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC
于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是（ ）A．❑√3 B．2❑√3 C．3❑√2 D．2❑√5
【变式5-3】（2024·湖北宜昌·二模）已知：AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，将B´C绕着点B逆时针
旋转一定的角度得到B´D，B´D交AB于E点，若点D在⊙O上，连接CD交AB于点F．
(1)直接判断AB与CD的位置关系；
(2)求证：AF=EF；
(3)若AE=6，EB=10，求阴影部分的面积．
【题型6 利用弧、弦、圆心角的关系求周长】
【例6】（23-24九年级·全国·课后作业）如图所示，A,B是半径为3的⊙O上的两点．若
∠AOB=120°,C是A´B的中点，则四边形AOBC的周长为 ．
【变式6-1】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若
BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图⊙O的弦AC=BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若
AD=3❑√6，则⊙O的周长为（ ）
A．6❑√3π B．4❑√6π C．3❑√3π D．4π
【变式6-3】（2024·河北·中考真题）如图，点P ~P 是⊙O的八等分点．若△P P P ，四边形
1 8 1 3 7
P P P P 的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
3 4 6 7
A．ab D．a，b大小无法比较
【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求线段比值】
【例7】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图， 将 上的 ⏜ 沿弦 翻折交半径 于点D， 再将 ⏜
⊙O BC OA
BC BD
DE
沿 BD翻折交BC于点E， 连接DE. 若AD=2OD， 则 的值 ．
AB【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，点P在劣弧AC
PH
上，且∠APB=120°，CH⊥BP于H，当AP=CH，则 = ．
HB
【变式7-2】（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）如图，A、C、D、B依次为一直线上4个点，CD=2，
△PCD为等腰直角三角形，且∠CPD=90°，⊙O过点A、B、P，且弧AB的度数=90°，则AC⋅BD的
值是 ．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与
A、C重合），连接DO并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若
的周长记为 ， 的周长记为 ，则C 的值为 ．
△CDG C △ABC C 1
1 2 C
2【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系进行证明】
【例8】（23-24九年级·湖南株洲·期中）（1）如图①，过⊙O上一点P作两条弦PA、PB，若PA=PB，
则PO平分∠APB，为什么？
（2）如图②，若点P在⊙O内，过点P的两条弦AC，DB相等，则PO平分∠APB吗？为什么？
（3）如图③，若点P在⊙O外，过点P作PA、PB，分别交⊙O于点A，C和B，D，且AC=BD，则
PO平分∠APB吗？为什么？
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，
AB=CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【变式8-2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DE平分∠BDC
．(1)求证：BD=CD；
(2)过点A向圆外作∠DAF=∠ACB，且AF=CD，求证：四边形ABDF为平行四边形．
【变式8-3】（2024·上海·模拟预测）如图，以AB为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧AB的中点，过点
C作CD∥AB且CD=OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与圆O交于点G，连接BD．
(1)求证：BD⊥AB；
(2)连接BE，OF，求证：BE⊥OF．
【题型9 利用弧、弦、圆心角的关系判断线段或弧长间的关系】
【例9】（2024•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，^AC恰好
经过点O，则^BC与^AC的关系是（ ）
1 1
A．^BC= ^AC B．^BC= ^AC C．^BC=^AC D．不能确定
2 3
【变式9-1】（23-24九年级·全国·单元测试）从圆内一点P引两条弦AB与CD，则∠APC与A´C、B´D度
数间的关系是 ．
【变式9-2】（23-24九年级·全国·单元测试）如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.
若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（ ）A．A´B
