文档内容
第 09 讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综
合问题（定点问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题
题型二：双曲线中的定点问题
角度1：双曲线中的直线过定点问题
角度2：双曲线存在定点满足某条件问题
题型三：抛物线中的定点问题
角度1：抛物线中的直线过定点问题
角度2：抛物线存在定点满足某条件问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率
为 .(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为 的直线 与椭圆相交于两点 ， 轴交于点 ，线段 的中点为 ，
直线 过点 且垂直于 （其中 为原点），证明直线 过定点.
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆 ： （ ）右焦点为 ，为椭圆的上顶点， 为坐标原点， 且 的周长为 . 是椭圆上一动点， 是
直线 上一点，且直线 轴.
(1)求椭圆 的方程：
(2)记直线 与椭圆另一交点为 ，直线 是否过 轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理
由.
例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆 的离心率为 ，
一个焦点 与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 交 于 两点，直线 与 关于 轴对称，证明：直线 恒过一定点．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 ，过点 的直线 和 相互垂直（斜率存在），
分别是 和 的中点．求证：直线 过定点．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，点 ，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于
x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））椭圆 的左顶点为 ，离
心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知经过点 斜率存在的直线 交椭圆 于 两点， 是直线 上一点. 若 ，求直
线 的方程.
4．（2022·陕西汉中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，M是一个动
点，且直线AM，BM的斜率之积是 ，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若过点 且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为 （ 与Q不重
合），直线 与x轴交于点G，求点G的坐标．
角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的两焦点分别为 和 ，短轴的一个端点为 ．
(1)求椭圆 的标准方程和离心率；
(2)椭圆 上是否存在一点 ，使得 ? 若存在，求 的面积；若不存在，请说明理由．
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C： （ ）的右顶点为 ，且
为其上一点.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2) 是椭圆 上异于左右顶点的一点，线段 的中垂线交 轴于点 ，且 为等边三角形，求
点横坐标.
例题3．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线 的离心率为 ，右焦点
与点 的连线与其一条渐近线平行.
(1)求双曲线 的方程；
(2)经过点 的直线 与双曲线 的右支交于点 ､ ，试问是否存在一定点 ，使 恒成立，
若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
同类题型归类练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的左右顶点分别为 ， ，
右焦点为 ，点 在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；
(2) 为椭圆上不与 重合的任意一点，直线 分别与直线 相交于点 ，求证： .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶
点，且椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线 相交于A、B两点，若直线FA、FB的
斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样
的定点，请说明理由．
3．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程： ．
(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点 上任一点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试证明
为定值．
(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．
(3)设椭圆上一点 ，且点M，N在C上，且 ，D为垂足．证明：存在定点Q，使
得 为定值．
4．（2022·上海·格致中学高二期末）已知椭圆 ，过定点 的直线交椭圆于 两点，其
中 .(1)若椭圆短轴长为 且经过点 ，求椭圆方程；
(2)对（1）中的椭圆，若 ，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(3)若直线 与 轴不垂直，问：在 轴上是否存在点 使得 恒成立？如果存在，求出
的关系；如果不存在，说明理由.
题型二：双曲线中的定点问题
角度1：双曲线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线 的离心率为 ，两条准线间的距离
为 .
(1)求 的标准方程；
(2)斜率为 的直线l过点 ，且直线 与 的两支分别交于点 ， ，
①求 的取值范围；
②若 是点 关于 轴的对称点，证明：直线 过定点.
例题2．（2022·安徽·高二期末）设直线 （ ）与双曲线 ： 的两条渐近线分别交于
， 两点，且 （ 为坐标原点）的面积为 .
(1)求 的值；(2)与坐标轴不垂直的直线 与 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ， 为 的右焦点，若
， ， 三点共线，证明：直线 经过 轴上的一个定点.
例题3．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆 ： 的圆心为 ，圆N：
的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切，动圆的圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，直线 是否过定点？若过定点，求出定
点坐标；若不过定点，请说明理由．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：
的距离之比是常数 ，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A( ，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
2．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）已知双曲线的离心率为 ，且该双曲线经过点
.
(1)求双曲线C： 方程；(2)设斜率分别为 ， 的两条直线 ， 均经过点 ，且直线 ， 与双曲线C分别交于A，B两点
（A，B异于点Q），若 ，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存
在，说明理由.
3．（2022·全国·高三专题练习）双曲线 经过点 ，且虚轴的一个顶点到一
条渐近线的距离为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）过点 的两条直线 ， 与双曲线 分别交于 ， 两点( ， 两点不与 点重合)，设直线 ，
的斜率分别为 ， ，若 ，证明：直线 过定点.
角度2：双曲线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，离心率为2，
直线 与 的一条渐近线交于点P，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；(2)设 为双曲线 右支上的一个动点在 轴上是否存在定点 ，使得 ？若存在，求出
点 的坐标；若不存在请说明理由．
例题2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知双曲线 ： ，
， ， ， ， 五点中恰有三点在 上.
(1)求 的方程；
(2)设 是 上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点 ，使得 ,若存
在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
例题3．（2022·上海·高三专题练习）在直角坐标系 中，直线 是双曲线 的一条渐
近线，点 在双曲线 上，设 为双曲线上的动点，直线 与y轴相交于点 ，点 关
于 轴的对称点为 ，直线 与 轴相交于点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）在 轴上是否存在一点 ？使得 ，若存在，求 点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求 点的坐标，使得 的面积最小.同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）直线l： 与双曲线C： 交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线方程为 1，F，F 为双曲线的左、右焦点，离心率为
1 2
2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 · 0，|PF||PF|＝6．
1 2
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F 作直线 交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得 为定值，若存在，
2
请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
3．（2022·江苏徐州·高二期末）已知双曲线 的左焦点为 ， 到 的一条渐近
线的距离为1.直线 与 交于不同的两点 ， ，当直线 经过 的右焦点且垂直于 轴时， .
(1)求 的方程；
(2)是否存在 轴上的定点 ，使得直线 过点 时，恒有 ？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.题型三：抛物线中的定点问题
角度1：抛物线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作斜率分别为 的两条直线 ，若 与抛物线 的另一个交点分别为 ，且有
，探究：直线 是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.
例题2．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线 上的点 到其准线的距
离为5．不过原点的动直线交抛物线 于 ， 两点， 是线段 的中点，点 在准线 上的射影为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)当 时，求证：直线 过定点．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知线段 是抛物线 的弦，且过抛物线焦点 .
(1)过点 作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点 ，求证： 三点共线( 为坐标原点)；
(2)设 是抛物线准线上一点，过 作抛物线的切线，切点为 .
求证：（i）两切线互相垂直；
（ii）直线 过定点，请求出该定点坐标.同类题型归类练
1．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知抛物线C： （ ），直线 交抛物线C
于A，B两点，且三角形OAB的面积为 （O为坐标原点）.
(1)求实数p的值；
(2)过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定
点，并求出定点坐标.
2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知动圆M过定点 ，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为
曲线L．
(1)求L的方程；
(2)已知点 ， ，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：
当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．
3．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知抛物线C： 的焦点为F，过焦点F且垂直于x
轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点， 的周长为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为P，Q，试判断直线PQ是
否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．
4．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知抛物线 的焦点为F，过焦点F斜率
为 的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足 ．
(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且 ，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的最大值．
角度2：抛物线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））已知抛物线 的焦点为 ，过点 的
直线 交 于 ， 两点，当 与 轴垂直时， ．
(1)求 的方程：
(2)在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立（ 为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在
说明理由．
例题2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直线 与抛物线
交于 ， 两点，当直线 轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)在 轴上求一定点 ，使得点 到直线 和 的距离相等.
例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知 为抛物线 的焦点，过 的动直线交
抛物线 于 两点．当直线与 轴垂直时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 的斜率为1且与抛物线的准线 相交于点 ，抛物线 上存在点 使得直线 的斜
率成等差数列，求点 的坐标．同类题型归类练
1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线 的焦点为 ，曲线 上有一点 满
足 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线 于异于原点的两点 ，直线 与 轴相交于 ，试探究 轴
上存在一点是否存在异于 的定点 满足 恒成立.若存在，请求出 点坐标；若不存在，请
说明理由.
2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线E
于 两点， ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，连接PA，PB分别交抛物线E于另外两点C，D，使得 ？并
说明理由．
3．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知抛物线 ，点 ，直线 过点
且与抛物线 相交于 两点．(1)当 为变量时， 为抛物线 上的一个动点，当线段 的长度取最小值时， 点恰好在抛物线 的顶
点处，请指出此时 点运动的轨迹；
(2)当 为定值时，在 轴上是否存在异于点 的点 ，对任意的直线 ，都满足直线 关于 轴对称?
若存在，指出点 的位置并证明，若不存在请说明理由.
4．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，过F的直线交抛物线E于
A、B两点.
(1)当直线 的斜率为1时，求弦 的长度 ；
(2)在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接 ， 分别交抛物线E于另外两点C、D，使得 且
？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.第二部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
