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专题 24.3 垂径定理（精选精练）（专项练习）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（22-23九年级上·广东东莞·期末）垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及
垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问
题的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在 中，已知 是 的半径， 于点C， ，
的直径为10，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024·山东东营·模拟预测）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．矩形的中点四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是正方形
D．平分弦的直径垂直于弦
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图， 的半径为 ，点 为 上一点，连接 ，以 为一条直
角边 ，使 ， ， 交 于点 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
5．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过 ， ，O三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（ ）
A．点D B．点E C．点F D．点G
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，分别是以 为直径的两个半圆，其中 是半圆O的一条弦，
E是 中点，D是半圆 中点．若 ， ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，AB为 直径，且 ，点 为 中点，点 为线段 上一
动点，点 ， 在 上且满足 ，当DE垂直于AB时，若 ，则 的最小值为
（ ）A． B． C．1 D．
8．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，已知 的半径2，在直径AB上有一个异于端点的动点C，
分别以线段 和 直径作 ，周长分别为 ，面积分别为 ，点D为 中点，给出三个结
论：① ；② ；③ ．上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为M，下列结论
不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一块含 角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶
点A与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点D，经测量知 ，点E为 中点，点F为弧 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足
为E．若 ， ，则 的长为 ．
12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 为 直径，弦 ，垂足为点
，则 长为 ．
13．（2024九年级·全国·竞赛）如图， 为 的外接圆， 的延长线交 于点 ，且垂直 于
点 ，若 的半径为 cm， cm，则 与 的长度之比为 ．14．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， 为 的弦，点A在 内（点 、
A在弦 的同一侧），连接 、 ，若线段 的长为8，线段 的长为12， 的度数与
的度数相等，均为 ，则弦 的长为 ．
15．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过
点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则 ．
16．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 、 ，点 为线段
上一动点，以 为直径的 的半径 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且点 、
都在第四象限，当点 到过点 、 、 三点的抛物线的顶点的距离最小时，该抛物线的解析式为
．17．（23-24九年级下·上海·阶段练习）如图， 和 相交于 和 ，过点 作 的平行线交两圆
于 ，已知 ，则 ．
18．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某
场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形 是观众观演区，
阴影部分是舞台， 是半圆O的直径，弦 与 平行．已知 长8米，舞台区域最大深度为2米，
如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）19．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图， 的直径AB垂直于弦CD，垂
足为E， ， ．
(1)求 的半径长；(2)连接 ，作 于点F，求 的长．
20．（本小题满分8分）（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，等腰 的底边 交⊙O于点 、
．(1)求证： ．
(2)连接 、 ，若 ； ，求 的半径．
21．（本小题满分10分）（2024·安徽·一模）如图1， 为 的直径，弦 于点G，且B为弧
的中点， 交 于点H，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)如图2，连接 ．求证： ．
22．（本小题满分10分）（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中，分别以A，B为圆心， ， 为半径在 的外侧构造扇形 ，扇形 ，且点E，C，D在同一条直线上，
为 ， 为 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ， ，求点A，B到直线 的距离的和．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·江西赣州·期中）课本再现
如图1，A，B是 上的两点， ，C是 的中点．
（1）求证：四边形 是菱形．
拓展延伸
（2）如图2，将线段 绕圆心O逆时针旋转 ，得到线段 ， 交 于点E，连接 ，若
，求 的长．24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）AB是 的直径，弦 ，垂足为 ，
连接 ， ， ．
(1)如图1，连接 ，BD，若 是 的中点，求证：四边形 是菱形．
(2)如图2，作 的平分线CE，交⊙O于点E，求证： 为 的中点
(3)如图3，若 的半径是1， ，求点 到弦 的距离．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A B D B A B C
1．C
【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断．
【详解】
解：可以运用垂径定理解决问题的图形是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的两条弧．
2．A
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是
解答此题的关键．由垂径定理得 ，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ 于点C， ，
∴ ．
∵ 的直径为10，
∴ ，
∴ ．
故选A．
3．B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，平行线的性质、中点四边形的判定方法、正方形的判定方
法及垂径定理，利用平行线的性质、中点四边形的判定方法、正方形的判定方法及垂径定理分别判
断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符
合题意；B、矩形的中点四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了垂径定理，三角形的面积，勾股定理，过点 作 于 ，由垂径定理
得 ，由勾股定理得 ，利用三角形的等面积法求得 ，
再由勾股定理得 ，进而得 ，最后根据线段的和差关系即可求
解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，则 ， ，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：A．
5．B
【分析】根据图形作线段 和 的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可．
【详解】解：如图
作线段 和 的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．
6．D
【分析】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，作出合理的辅助线证明D、E、
F、O在同一条直线上是解题的关键．连接 ， 是 中点，推 垂直平分
，D是半圆 中点，推 垂直平分 在同一条直线上，F是 的中点，
O是 中点，推 是 的中位线，在 中，根据勾股定理得 长．
【详解】解：连接 交 于点F，
是 中点，垂直平分 ，
是 的中点．
为 的直径，
，
是半圆 中点，
垂直平分 ，
、E、F、O在同一条直线上， ， ，
，
，
设 ， ， ，
，
是 的中点，O是 中点，
是 的中位线，
，
为 直径，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当 时， 最小，即 最小，
进而可得 是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，设 交于点 ，连接 ，∵DE垂直于AB
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最小，即 最小，
∴ 是等腰直角三角形，
设 ，
则 ，
∵ ，
在 中，
即
解得： （负值舍去）
故选：B．
8．A
【分析】由周长公式得 ，故①正确；根据完全平方公式得
，从而得 即 ， ，故②正确；
利用勾股定理及垂径定理求出 ，故③错误．
【详解】解：∵ 的半径 ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴
∴
，
∴ 即 ，
∴ ，故②正确；
如下图，当 时，连接 ，则 ， ，
∴ ，
∵点 为 中点， 过圆心，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，故③错误．
故选:A．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，无理数大小的比较，完全平方公式，熟练掌握完全勾股
定理，无理数大小的比较以及完全平方公式是解题的关键．
9．B
【分析】通过审题， 根据 是 的直径，弦 ，依据垂径定理即可解答问题．
【详解】解：∵ 是 的直径，弦 ，
由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，
∴ ，故A正确； ，
∴ ，故D正确；
∵ ， ，
∴ ，故C正确；
故选：B．
【点睛】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用．
10．C
【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角
器 刻度处为点G， 为半圆的直径，设 的中点为O，则点O为圆心，连接 ，证明
为等腰直角三角形，由当点O，E，F在一条直线上时， 取得最小值，即可解答．
【详解】解：设量角器 刻度处为点G，如图，
则 为半圆的直径，设 的中点为O，则点O为圆心，连接 ，
∵点E为 中点，
∴ ， ，∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵点F为弧 上一动点，
∴当点O，E，F在一条直线上时， 取得最小值．
∴ 的最小值为 ．
故选：C．
11．2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得 ，再对 运用勾股定理即可求 ，最后 即
可求解．
【详解】解：∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2
12．10
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理得到 ，再由勾股定理即可求出 ，即可解答．
【详解】解：连接 ，
∵ 为 直径，弦 ，∴ ，
∴在 中， ，
∴ 的半径为5，
∴ ．
故答案为：10．
13．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接 ，根据题意可得： ，根据垂径定理得
出 ，进而得出 ，再得出 ， ，即可得出
答案．
【详解】解：连接 ，
根据题意可得： ，
∵ cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
14．20
【分析】延长 交 于D，根据 ，易证得 是等边三角形，由此可求出 ，的长；过O作 的垂线，设垂足为E；在 中，根据 的长及 的度数易求得
的长，进而可求出 的长；由垂径定理知 ，由此得解．
【详解】解：延长 交 于D，作 于E．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，垂径定理的应用，
难度适中．解题的关键是根据已知条件的特点，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形．
15．672
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，过O作 ，根据垂径定理和勾股定
理，用 表示出 即可得解．
【详解】解：小圆与 交于点E，连接 ，过点O作 交 于F，如图：，
∴ 是小圆的直径，即 过点O，由垂径定理可知， ，
，
设 ，
， ，
， ， ，
，
，
，
．
故答案为：672．
16．
【分析】过点F作 轴于点G，设点 ，分别将点E和点F的坐标表示出来，根据两点
之间的距离公式求出 ，即可求出m的值，即可求解．
【详解】解：设点 ，
∵ ， ，∴ ，
∵以 为直径的 的半径 ，
∴ ，则 ，
∴ ，
过点F作 轴于点G，
∵ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 最小，
∴ ， ，
设抛物线的表达式为： ，
把 代入得： ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，垂径定理，等
腰直角三角形的性质．
17．
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作 于点 ， 于点 ，
利用垂径定理得到 ， ，且易得四边形 为矩形，进而得到
，再利用等量代换即可得到 ．
【详解】解：作 于点 ， 于点 ，
， ， ，
，
易得四边形 为矩形，
，
，
，
故答案为： ．
18．150
【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作 于G，交弧
于H，连接 ，利用垂径定理求出 ，设半圆的半径为r，在 中，利用勾股定理求
出半径，从而可求矩形 的面积，即可求解．
【详解】解：过O作 于G，交弧于H，连接 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
设半圆的半径为r，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴
∴正方形边长 ，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，
∵每平方米最多可以坐3名观众，，
∴观演区可容纳 人，
故答案为：150．
19．(1)5
(2)
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键．
（1）连接 ，如图，设 的半径长为r，先根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理
得到 ，然后解方程即可；（2）先利用勾股定理计算出 ，再根据垂径定理得到 ，然后利用勾股定理
可计算出 的长．
【详解】（1）解：连接 ，如图，设 的半径长为r，
∵ ，
∴ ， ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
即 的半径长为5；
（2）解：在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
即 的长为 ．
20．(1)证明见解析
(2) 的半径为 ．【分析】（1）过点 作 于 ，由等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，由垂
径定理可得 ，根号线段的和差关系即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得 ，由垂径定理可得 ，根据含 角的直角三
角形的性质，利用勾股定理列方程求出 的长即可得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点 作 于 ，
∵等腰 的底边 交⊙O于点 、 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
（2）解：如（1）中图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，（负值舍去）
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查垂径定理、等腰三角形“三线合一”的性质、含 角的直角三角形的性质及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧； 角所对的直角边等于斜边的一半；
熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
21．(1)4
(2)见详解
【分析】（1）由于垂径定理，得 ，结合三角形的外角性质，得 ，即可通
过 证明 ，则 ，即可作答．
（2）结合半径相等，得点O在 的垂直平分线上，由（1）知 ，则
，得到 ，点H在 的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）解：连接 ，交 于一点 ，如图所示：
∵B为弧 的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）解： 连接 ，交 于一点 ，如图所示：∵
∴ ，点O在 的垂直平分线上
由（1）知，
∴
∴ ，点H在 的垂直平分线上
∴ 所在的直线是 的垂直平分线上
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，垂直平分线的判定、垂直平分线的性质，
综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．(1) ；
(2) ．
【分析】（1）由弧与圆心角的关系可得 ， ，再结合等腰三角形的性质可得
答案；
（2）过A作 于Q，过B作 于F，可得 ，再利用直角三角形
的性质可得答案；
【详解】（1）解：∵在 中，分别以A，B为圆心， ， 为半径在 的外侧构造扇
形 ，扇形 ，且点E，C，D在同一条直线上， 为 ， 为 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ；（2）解：过A作 于Q，过B作 于F，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ， ，
解得： ，
，
所以点A，B到直线 的距离的和是 ．
【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，弧
与圆心角的关系，作出合适的辅助线是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接 ，证明 是等边三角形，则 ，同理 ，得到
，即可得出结论；
（2）连接 ，求出 ， ，则 平分 ，得到 ，则
， ，由勾股定理求出 ，由勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ ，C是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，同理 ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）连接 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵将线段 绕圆心O逆时针旋转 ，得到线段 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等
知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据垂径定理可得OB垂直平分CD，在根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即
可得出结论；
（2）直径所对圆周角等于90°，再由同角的余角相等证明 ，进而证明
，即可得出结论；
（3）由垂径定理可知 ，再根据勾股定理求出 ，
，即可根据面积法求高.
【详解】（1）证明：∵AB是 的直径，弦 ，
∴ ，
又∵ 是 的中点，即 ，
∴四边形 是菱形.
（2）∵AB是 的直径，
∴ ,
∴ ，
又∵弦 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴
∵CE是 的平分线，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 为 的中点.
（3）∵ 的半径是1， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴在 中， ，
设点 到弦 的距离为 ，
∵ ，
∴
∴ ，即点 到弦 的距离为 .
【点睛】本题涉及了圆的基本性质、垂径定理、、圆周角定理及推理、勾股定理；解（3）题关键
是根据垂径定理求 ，从而求出其他线段长.
