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2022-2023 学年九年级数学上册第四单元检测卷（B 卷）
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．a＝2，b＝ ，c＝2 ，d＝ D．a＝ ，b＝3，c＝2，d＝
【答案】C
【解答】解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.2× ＝ × ，故符合题意，
D. × ≠3×2，故不符合题意，
故选：C．
2．若 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴5b＝3a，
∴ ，
故选：D．
3．如图中内、外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求；
B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．4．如图，在平行四边形ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角
形（全等除外）有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
∴共有5对，
故选：C．
5．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我
国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（ ）
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
【答案】B
【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD＝BF：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故选：B．6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点 O在坐标原点，边 OA在 x轴上，OC在 y轴上，如
果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点 O位似，且矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为 ，
那么点 B′的坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【答案】D
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，位似比为： ，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故选：D．
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则
EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5
【答案】B【解答】解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：
∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，
∴FG∥BC，EG∥AD，
∵AD∥BC，
∴EG∥BC，FG∥EG，
∴E、F、G三点共线，
∴FG是△BCD的中位线，
∴FG＝ BC＝2.5，
∵AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG＝ AD＝1，
∴EF＝FG﹣EG＝1.5．
故选：B．
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长
方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
【答案】B
【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
∵小长方形与原长方形相似，∴ ＝ ，
∴a＝2b．
故选：B．
9．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出
一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2 cm C．2.5cm D．3.5cm
【答案】A
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：
① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝
其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC，即 ＝ ，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
故②错误；
③∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC∴ ＝
△DOE∽△COB∴ ＝
∴ ＝ ，
故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O．
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO＝2OE，△ABC的高＝3△BOC的高，
且△ABC与△BOC同底（BC）
∴S△ABC ＝3S△BOC ，
由②和③知，
S△ODE ＝ S△COB ，S△ADE ＝ S△BOC ，∴ ＝ ．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
二、填空题(本题共6题，每小题3分，共18分）。
11．如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形
对应边上的中线长是 cm．
【答案】20
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，
∴大三角形与小三角形的相似比是5：3，
∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷ ＝20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm．
12．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的
影子AM长为 米．
【答案】5
【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知 ＝ ，即 ＝ ，
解得AM＝5m．则小明的影长为5米．13．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB＝8，BD＝3，
BF＝4，则FC的长为 ．
【答案】
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∵AB＝8，BD＝3，BF＝4，
∴ ＝ ，
解得：FC＝ ．
故答案为： ．
14．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心
的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是 ．
【答案】 （﹣ 2 ， ）【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，
又∵B（3，﹣2）
∴B′的坐标是[3× ，﹣2× ]，即B′的坐标是（﹣2， ）；
故答案为：（﹣2， ）．
15．如图，△ABC、△DCE、△GEF都是正三角形，且B、C、E、F在同一直线上，A、D、G也在同
一直线上，设△ABC、△DCE、△GEF的面积分别为S 、S 、S ．当S ＝4，S ＝6时，S ＝ ．
1 2 3 1 2 3
【答案】9
【解答】解：∵△ABC、△DCE、△GEF都是正三角形，
∴△ABC、△DCE、△GEF相似，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，同理∠DEG＝60°，
∴∠ACD＝∠DEG，
∵∠DEC＝∠GFE＝60°，
∴DE∥GF，
∴∠ADE＝∠DGF，
又∵∠CDE＝∠EGF，
∴∠ADC＝∠DGE
∴△ACD∽△DEG，
∴ ＝ ，
∴S ：S ＝S ：S ＝6：4
3 2 2 1
∴S ＝S × ＝9．
3 2
故答案为：9．
16．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且 ，
下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF．
正确的结论有： ．（注：填序号）【答案】②③
【解答】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝ CD，
∴∠B＝∠C＝90°，AB：EC＝BE：CF＝2：1．
∴△ABE∽△ECF．
∴AB：EC＝AE：EF，∠AEB＝∠EFC．
∵BE＝CE，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴AB：AE＝BE：EF，∠AEB+∠FEC＝90°．
∴∠AEF＝∠B＝90°．
∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF．
∴②③正确．
故答案为②③．
三、解答题（本题共6题，17、18题6分，19-22题10分）。
17．（2021秋•泉州期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，
CE＝3，求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵ ， ，
∴
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．18.（2022•巨野县模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己
的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝
40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴ ＝
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴ ＝
∴BC＝5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米
∴树高为6.5米．
19．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网
格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A B C ；
1 1 1
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且△A B C 与
2 2 2 2 2 2 2 2 2
△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A 的坐标．
2
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1（2）如图所示：△A B C ，即为所求，A 坐标（﹣2，﹣2）．
2 2 2 2
20．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
【解答】解：（1）△ABE与△ADF相似．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∠AEB＝∠DAF，
∴△ABE∽△DFA．
（2）∵△ABE∽△ADF
∴ ＝ ，
∵在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝8，
∴AE＝10
∴DF＝ ＝ ＝7.2．
答：DF的长为7.2．21.（2017秋•响水县期末）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，
继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米．
（1）求路灯A的高度；
（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？
【解答】解：（1）设BC＝x米，AB＝y米，
由题意得，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，身高MC＝NE＝1.5米，
∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，
∴ ， ，
， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的根，
∴路灯A的高度为6米．
（2）如图，连接AG交BF延长线于点H，
∵△ABH∽△GFH，GF＝1.5米，BH＝3+3+2+FH＝8+FH，
∴ ，
，解得 （米）．
答：当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是 米．
22．（2021•宜宾校级模拟）在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB
交AC于E，PF∥AC交AB于F．
（1）设BP＝x，将S△PEF 用x表示；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．
【解答】解：（1）∵BC＝2，BC边上的高AD＝1，
∴S△ABC＝ ×2×1＝1，
∵BP＝x，
∴PC＝2﹣x，
∵PE∥AB，
∴△CEP与△CAB相似，
∴ ＝（ ）2，
∴S△CEP ＝1﹣x+ ，
同理，得到S△BPF ＝ ，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S△PEF＝ S
AEPF
＝ （S△ABC ﹣S△CEP ﹣S△BPF ）
▱
＝﹣ x2+ x（0＜x＜2）．
S△PEF ＝﹣ x2+ x（0＜x＜2）．（2）由（1）知S△PEF ＝﹣ x2+ x＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∵0＜x＜2，
∴当x＝1时，面积有最大值 ．
