文档内容
九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）
第四章 图形的相似（能力提升）
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色
签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）
1.如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】B
【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4，
∴它们的周长比是：1：4．
故选：B．
【知识点】相似三角形的性质
2.下列各组线段中不能构成比例线段的是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝
C．a＝0.1，b＝0.2，c＝1，d＝0.5
D．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
【答案】D
【解答】解：A、6×2＝3×4，能构成比例线段；
B、1× ＝ × ，能构成比例线段；
C、0.1×1＝0.2×0.5，能构成比例线段；
D、4×10≠5×6，不能构成比例线段．
故选：D．
【知识点】比例线段
3.在11：13中，如果前项增加33，要使比值不变，那么后项应（ ）
A．增加33 B．增加35 C．增加37 D．增加39
【答案】D
【解答】解：设原数分别为11x，13x，后项增加y，
由题意可得： ＝ ，
解得：y＝39．
故选：D．
【知识点】比例的性质
4.如图，已知AB∥CD∥EF，CF：AF＝3：5，DE＝6，BE的长为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴BE＝10，
故选：D．
【知识点】平行线分线段成比例
5.下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个正方形 B．任意两个平行四边形
C．任意两个菱形 D．任意两个矩形
【答案】A
【解答】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；
B、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，不符
合题意；
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，
故选：A．
【知识点】相似图形
6.某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦 CD的高度，如图，点P处放
一水平的平面镜．光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到大厦 CD的顶端C处，已知AB⊥BD，
CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（ ）
A．39米 B．30米 C．24米 D．15米
【答案】A
【解答】解：根据题意，得到：△ABP∽△PDC．
即 ，故CD＝ ×AB＝ ×1.5＝39米；
那么该大厦的高度是39米．
故选：A．
【知识点】相似三角形的应用
7.如图，AD∥CB，E、F 分别在 AB、CD 上，且 EF∥CB，若 ＝ ，CD＝15，则线段 DF 的长为
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：∵AD∥CB，EF∥CB，
∴AD∥EF∥CB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴DF＝ CD＝ ×15＝6．
故选：B．
【知识点】相似三角形的判定与性质
8.如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝3，AD＝2，则AC边的长是（ ）
A．5 B．4.5 C．6 D．6.5
【答案】B
【解答】解：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，即3：AC＝2：3，
∴AC＝4.5．
故选：B．
【知识点】相似三角形的判定与性质
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，
那么AE的长是（ ）
A．13cm B．15cm C．16cm D．18cm
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ，
∵AD＝20cm，BD＝12cm，CE＝9cm，
∴ ，
∴AE＝15cm，
故选：B．
【知识点】平行线分线段成比例
10.如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD：AB＝1：3，则△ADE与四边形DECB面
积之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：8 D．1：9
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB＝1：3，
∴S ：S ＝1：9，
△ADE △ABC
∴S ：S ＝1：8．
△ADE 四边形DBCE
故选：C．
【知识点】位似变换
11.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．∠OAD＝∠OBC B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】A
【解答】解：∵OA＝2，OB＝OD＝3，OC＝4.5，
∴ ，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△OAD∽△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC， ，
同理可得△AOB∽△DOC，
， ，
故B，C，D选项不正确，
故选：A．
【知识点】相似三角形的判定与性质
12.如图，已知零件的外径25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC＝OD）量零件的内孔
直径AB，若OC：AC＝1：3，量的CD＝10mm，则零件的厚度为（ ）
A．2mm B．2.5mm C．3mm D．3.5mm
【答案】B
【解答】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC＝OD，∴OA＝OB，
∵OC：AC＝1：3，
∴OC：OA＝1：2，
∴OD：OB＝OC：OA＝1：2，
∵∠COD＝∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB＝OC：OA＝1：2，
∵CD＝10mm，
∴AB＝20（mm），
∴2x+20＝25，
∴x＝2.5（mm），
故选：B．
【知识点】相似三角形的应用
二、填空题（4小题，每小题3分，共12分）
13.已知 ＝ ，则 ＝ ．
【解答】解：由 ，可得： ，
把 代入 ，
故答案为： ．
【知识点】比例的性质
14.如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长 ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴ ＝ ，∴DF＝ ，
故答案为： ．
【知识点】平行线分线段成比例
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC
于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为 ．
【答案】2
【解答】解：作DH∥AC交AB于H，如图，
∵EF⊥AC，EG⊥EF，
∴EF∥BC，EG∥DH，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵EF＝EG，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，则BD＝6﹣x，
∵DH∥AC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝2，
即CD的长为2．
故答案为2．
【知识点】相似三角形的判定与性质
16.如图，在△ABC与△AED中， ＝ ，要使△ABC与△AED相似，还需添加一个条件，这个条件可
以是 （只需填一个条件）．【答案】∠E= B（答案不唯一）
【解答】解：添加条件：∠B＝∠E；
∠
∵ ，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B＝∠E（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的判定
三、解答题（9小题，共52分）
17.已知x2+2y2＝3xy（xy≠0），求x：y的值．
【解答】解：方程整理得： ，
解得x：y＝1或x：y＝2
【知识点】比例的性质
18.（1）已知 ，求 的值；
（2）已知2x＝3y＝4z，求 的值．
【解答】解：（1）设 ＝k（k≠0），
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以， ＝ ＝ ；
（2）设2x＝3y＝4z＝k≠0，
则x＝ ，y＝ ，z＝ ，
所以 ＝ ＝8．
【知识点】比例的性质
19.如图，直线PQ经过菱形ABCD的顶点C，分别交边AB和AD的延长线于点P和Q，BP＝ AB，求证
DQ＝2AB．【解答】证明：∵菱形ABCD，
∴BC∥AD，AB＝DA＝BC＝CD，
显然，BC∥QA，
又∵ ，
∴ ＝ ，
∵AB＝AD，
∴ ，
∴DQ＝2AB．
【知识点】平行线分线段成比例
20.设四边形ABCD与四边形ABC D 是相似的图形，且A与A 、B与B 、C与C 是对应点，已知AB＝
1 1 1 1 1 1 1
12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，AB＝8，求四边形ABC D 的周长．
1 1 1 1 1 1
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形ABC D 是相似的图形
1 1 1 1
∴ （2分）
又∵AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，AB＝8
1 1
∴ （1分）
∴BC ＝12，C D＝12，DA＝6（3分）
1 1 1 1 1 1
∴四边形ABC D 的周长＝8+12+12+6＝38．（1分）
1 1 1 1
【知识点】相似多边形的性质
21.如图，在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5，AB=4，当BD的长是多少时，图中的两个
直角三角形相似？
【解答】解：在Rt△ABC中，BC= = =3，
∵∠ABC=∠ADB=90°，
∴当 = 时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即 = ，解得BD= ，当 = 时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即 = ，解得 ，
综上所述，当BD的长是 或 时，图中的两个直角三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定
22.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），
∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，
∵∠ADE=45°，
∴∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE．
【知识点】相似三角形的判定
23.如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴ ＝ ＝ ，又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴FC＝6．
【知识点】相似三角形的判定与性质
24.如图，在由边长为1个单位的长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的
交点．
（1）在给定网格中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'；
（2）△A'B'C'与△ABC的面积比为 ．
【答案】4：1
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）由题意，△ABC∽△A′B′C′， ＝2，
∴△A'B'C'与△ABC的面积比＝4：1，
故答案为：4：1．
【知识点】作图-位似变换
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N．
（1）求证：△BCP∽△MAN；
（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°．
∴∠A＝∠ACD，
又∵MN⊥BM，AC⊥BC，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，∠CBM+∠BMC＝90°，
∴∠AMN＝∠CBM，
∴BCP∽△MAN；
（2）有，它们分别是：△ACD∽△ABC，△ACD∽△BCD，△BCP∽△BMN．
【知识点】相似三角形的性质、相似三角形的判定
