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第四章 图形的相似
一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)
x 5 x- y
1.已知 = ,则 的值为( )
y 2 y
3 3
A. B.2 C.- D.-2
2 2
【答案】A
x- y 5a-2a 3
【解析】 根据题意,可设x=5a,y=2a,则 = = .故选A.
y 2a 2
2.如图,直线l∥l∥l,直线AC分别交l,l,l 于点A,B,C,直线DF分别交l,l,l 于点D,E,F,AC与
1 2 3 1 2 3 1 2 3
DE
DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则 的值为( )
EF
1 2 3
A. B.2 C. D.
2 5 5
【答案】D
DE AB AB
【解析】 由直线l∥l∥l,得 = .因为AH=2,HB=1,所以AB=3.又因为BC=5,所以
1 2 3
EF BC BC
3 DE 3
= ,所以 = .故选D.
5 EF 5
3.如图,为估算某河的宽度(河两岸平行),在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得
AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=20 m,CE=10
m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m【答案】B
【解析】 因为AB⊥BC,CD⊥BC,所以∠ABC=∠DCE=90°.又因为∠AEB=∠DEC,所以
AB BE AB 20
△ABE∽△DCE,所以 = ,即 = ,所以AB=40 m.故选B.
DC CE 20 10
4.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的面积
之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
【答案】B
【解析】 ∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴OA∶OD=1∶2,∴△ABC
与△DEF的面积之比为1∶4.故选B.
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,
分别交AD,CD于点G,H,连接AC,则下列结论错误的是 ( )
EA EG EG AG
A. = B. =
BE EF GH GD
AB BC FH CF
C. = D. =
AE CF EH AD
【答案】C
EA EG EG
【解析】 由AD∥BC,可得△AEG∽△BEF,∴ = ;由AE∥DH,可得△AEG∽△DHG,∴
EB EF GH
AG FH CF CF AB
= ;∵CH∥BE,∴ = = .故选项A,B,D中的结论正确.AC与EF不一定平行,则
GD EH BC AD AE
BC
和 不一定相等,故选项C中的结论错误.故选C.
CF
6.△ABC如图所示,则下列四个选项中的三角形与△ABC相似的是(网格均由边长为1的小正
方形组成)( )A B C D
【答案】B
【解析】 因为网格中各小正方形的边长为1,则题图中的三角形的三边长分别为√2,2√2,
2 4 2√5
√10,而选项B中三角形的三边长分别为2,4,2√5,因为 = = ,所以这两个三角形相
√2 2√2 √10
似.故选B.
7.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形
与原三角形不相似的是 ( )
A B C D
【答案】C
【解析】 对于选项A,如图1,∵∠C是公共角,∠DEC=∠A=78°,∴△DEC∽△BAC,同理,选项B
BF 2 1 BE 3 1 BF
中剪下的阴影三角形与原三角形相似;对于选项C,如图2,∵ = = , = = , ∴ =
BA 4 2 AC 6 2 BA
BE
,但∠B与∠A不相等,故△BFE与△BAC不相似;对于选项D,如图3,∵AF=4-1=3,AD=6-
AC
AF 3 1 AD 2 1 AF AD
4=2,∴ = = , = = , ∴ = .又∵∠A是公共角,∴△AFD∽△ACB.故选C.
AC 6 2 AB 4 2 AC AB
图1 图2 图3
8.如果五边形ABCDE∽五边形PQGMN,且周长之比为3∶2,那么五边形ABCDE和五边形
PQGMN的面积之比是( )
A.2∶3 B.3∶2 C.6∶4 D.9∶4【答案】D
【解析】 ∵五边形ABCDE∽五边形PQGMN,且周长之比为3∶2,∴相似比为3∶2,∴五边形
ABCDE和五边形PQGMN的面积比是9∶4.故选D.
1
9.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF= CD,连接AE,AF,EF.
4
给出下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE∽△AEF,③AE⊥EF,④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
1
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,F是CD上一点且CF=
4
CD,∴∠B=∠C=90°,AB∶EC=BE∶CF=2∶1,∴△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,∠AEB=∠EFC.∵BE=
CE,∠FEC+∠EFC=90°,∴AB∶AE=BE∶EF,∠AEB+∠FEC=90°,∴∠AEF=∠B=90°,∴△ABE∽△AEF,
AE⊥EF,∴②③正确.由已知条件推不出①④.故选B.
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,正方形DEFG的顶点E,F在△ABC内,顶点D,G
分别在AB,AC上,AD=AG,DG=6,则点F到BC的距离为 ( )
A.1 B.2 C.12√2-6 D.6√2-6
【答案】D【解析】 如图,过点A作AM⊥BC于点M,交DG于点N,延长GF交BC于点
AD AG
H.∵AB=AC,AD=AG,∴ = .又
AB AC
∵∠BAC=∠DAG,∴△ADG∽△ABC,∴∠ADG=∠B,∴DG∥BC,∴AN⊥DG.∵四边形DEFG是正方
1
形,∴FG⊥DG,∴FH⊥BC.∵AB=AC=18,BC=12,∴BM= BC=6,∴AM=√AB2-BM2=12 √2
2
AN DG AN 6
.∵△ADG∽△ABC,∴ = ,∴ = ,∴AN=6√2,∴MN=AM-AN=6√2,∴FH=MN-GF=6
AM BC 12√2 12
√2-6.即点F到BC的距离为6√2-6.故选D.
二、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分)
11.若一个三角形的三边之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边的长为21,则最短边的长为
.
【答案】9
【解析】 由题意,一个三角形的三边之比为3∶5∶7,则与它相似的三角形的三边之比为3∶5∶7,
因为与它相似的三角形的最长边的长为21,则最短边的长为9.
12.如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,若
AB=2,则DE= .
【答案】6
【解析】 ∵A(1,0),D(3,0),∴OA=1,OD=3.∵△ABC与△DEF位似,原点O是位似中心,
∴AB∶DE=OA∶OD,∴2∶DE=1∶3,∴DE=6.13.如图,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为 8米,小明将一架木梯放在
距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,
木梯刚好达到墙的顶端,则墙CD的高为 米.
【答案】7.5
【解析】 根据题意,得∠ABE=∠DCE=∠AED=90°,AB=2米,BE=3米,BC=8米,∴CE=BC-
BE AB
BE=5米,∠AEB+∠DEC=90°,∠AEB+∠BAE=90°,∴∠DEC=∠BAE,∴△ABE∽△ECD,∴ =
CD CE
3 2
,∴ = ,∴DC=7.5米.
CD 5
14.如图,已知点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC.若S 表示以BC为边的正方形BCED
1
的面积,S 表示长为AG、宽为AC的矩形ACFG的面积,其中AG=AB.则S 与S 的大小关系为
2 1 2
.
【答案】S=S
1 2
【解析】 ∵点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC,∴BC2=AC·AB.∵S 表示以BC为边的
1
正方形BCED的面积,S 表示长为AG、宽为AC的矩形ACFG的面积,
2
AG=AB,∴S=BC2,S=AC·AG=AC·AB,∴S=S .
1 2 1 2
15.在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,且AD2=BD·DC,则∠BCA的度数为 .
【答案】65°或115°
【解析】 分两种情况:①∠BCA是锐角时,如图1,∵AD是BC边上的高,且
AD2=BD·DC,∴△ADB∽△CDA,∴∠B=∠CAD,则∠BAC=90°,∴∠BCA=65°;②∠BCA是钝角时,如
图2,∵AD是BC边上的高,且AD2=BD·DC,∴△ADB∽△CDA,∴∠B=∠CAD=25°,则
∠ACD=65°,∴∠BCA=115°.综上,∠BCA的度数为65°或115°.图1 图2
16.如图,已知AB∥EF∥CD,若AB=6 cm,CD=9 cm,则EF= .
18
【答案】 cm
5
EF CF EF BF
【解析】 由EF∥AB,易得△ABC∽△EFC,所以 = ①,同理可得 = ②,①+②得
AB CB CD CB
EF EF CF BF x x 18
+ = + =1③.设EF=x cm,由AB=6 cm,CD=9 cm,代入③得 + =1,解得x= .
AB CD CB CB 6 9 5
18
故EF= cm.
5
17.如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与△BCP相似时,DP=
.
【答案】1或4或2.5
AD PD 2 PD
【解析】 分情况讨论:①当△APD∽△PBC时, = ,即 = ,解得PD=1或
PC BC 5-PD 2
AD PD 2 PD
4;②当△PAD∽△PBC时, = ,即 = ,解得DP=2.5.综上所述,DP的长度是1或4
BC PC 2 5-PD
或2.5.
18.如图,正三角形ABC的边长为2,以BC边上的高AB 为边作正三角形ABC ,△ABC与
1 1 1
△ABC 公共部分的面积记为S,再以正三角形ABC 边BC 上的高AB 为边作正三角形
1 1 1 1 1 1 1 2
ABC ,△ABC 与△ABC 公共部分的面积记为S……以此类推,则S= .(用含n的式
2 2 1 1 2 2 2 n
子表示,n为正整数)√3 3
【答案】 ×( )n
2 4
1
【解析】 在正三角形ABC中,AB⊥BC,∴BB= BC=1.在Rt△ABB 中,AB=√AB2-BB2=
1 1 2 1 1 1
S √3 3
√22-12=√3,根据题意可得△ABB∽△ABB,记△ABB的面积为S,∴ 1=( )2,∴S= S.同理
2 1 1 1 S 2 1 4
3 3 3 3 3 3 3 1 √3 3
可得S= S=( )2S,S= S=( )3S,S= S=( )4S,…,∴S=( )nS.∵S= ×1×√3= ,∴S=(
2 4 1 4 3 4 2 4 4 4 3 4 n 4 2 2 n 4
√3 3
)nS= ×( )n.
2 4
三、解答题(本大题共5小题,共58分)
19.(10分)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E为AB的中点,连接
CE,DE,AC与DE相交于点F.
(1)求证:△ADF∽△CEF;
AC
(2)若AD=4,AB=6,求 的值.
AF
【解析】 (1)∵∠ACB=90°,E为AB的中点,
∴AE=CE,∴∠EAC=∠ACE.
∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ACE,
又∵∠AFD=∠CFE,∴△ADF∽△CEF.
AD AF
(2)由(1)知△ADF∽△CEF,∴ = .
CE CF1
∵CE= AB=3,AD=4,
2
AF AD 4 AC 7
∴ = = ,∴ = .
CF CE 3 AF 4
20.(10分)如图,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1.(顶点都在网格线交点处
的三角形叫做格点三角形)
(1)在图1中,请判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由;
(2)在图2中,以O为位似中心,再画一个格点三角形,使它与△ABC的相似比为2∶1;
(3)在图3中,请画出所有与△ABC相似,且有一条公共边和一个公共角的格点三角形.
图1 图2 图3
【解析】 (1)△ABC与△DEF相似.理由如下:
∵AB=1,BC=√5,AC=2 √2,DE=√2,EF=√10,DF=4,
AB BC AC 1 √2
∴ = = = = ,
DE EF DF √2 2
∴△ABC∽△DEF.
(2)如图所示,△A'B'C'即所求.
(3)如图所示,△ADC,△CEB和△AFB即所求.21.(12分)如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿着AB边以4 cm/s
的速度向点B运动;同时点Q从点C出发,沿CA边以3 cm/s的速度向点A运动,当点P到达
点B时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.
(1)当x为何值时,PQ∥BC?
(2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.
【解析】 (1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.
AP AQ 4x 30-3x 10
当PQ∥BC时,有 = ,即 = ,解得x= ,
AB AC 20 30 3
10
∴当x= 时,PQ∥BC.
3
(2)能.
∵AB=CB,∴∠A=∠C.
分两种情况讨论.
AP AQ 4x 30-3x
①若△APQ∽△CBQ,则 = ,即 = ,
CB CQ 20 3x
解得x=5或x=-10(舍去),此时AP=20 cm.
AP AQ 4x 30-3x
②若△APQ∽△CQB,则 = ,即 = ,
CQ CB 3x 20
10 40
解得x= 或x=0(舍去),此时AP= cm.
9 9
40
综上,当AP=20 cm或 cm时,△APQ与△CQB相似.
9
22.(12分)雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度,他们的测量
方案如下:当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时,笑笑在地面上找到一点G,使得点G、
雯雯的头顶C及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得DG=2.8 m;然后雯雯向前移动1.5
m到达点F处,笑笑同样在地面上找到一点H,使得点H、雯雯的头顶E及旗杆的顶部A三点
在同一直线上,并测得GH=1.7 m.已知图中的所有点均在同一平面内,且点B,D,F,G,H均在同
一直线上,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,雯雯的身高CD=EF=1.6 m.请你根据以上测量数据,求该
校旗杆的高度AB.【解析】 由题意知,FH=2.8-1.5+1.7=3(m).
由AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,
可得△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
CD DG EF FH
∴ = , = ,
AB BG AB BH
DG FH 2.8 3
∴ = ,即 = ,
BG BH BD+2.8 BD+2.8+1.7
解得BD=21 m,
1.6 2.8
∴ = ,解得AB=13.6 m.
AB 21+2.8
即该校旗杆的高度AB为13.6 m.
23.(14分)如图1所示,在等边三角形ABC中,线段AD为其内角平分线,过点D的直线
BC ⊥AC于点C ,交AB的延长线于点B.
1 1 1 1
(1)请你探究:AC=CD, AC = DC 是否都成立?
1 1
AB DB AB DB
1 1
AC CD
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角平分线, = 一定成立吗?
AB DB
并证明你的判断.
40
(3)如图2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB= ,E为AB上一点且AE=5,CE交内角
3
DF
平分线AD于点F.试求 的值.
FA
图1 图2
【解析】 (1)两个等式都成立.理由如下:
∵△ABC为等边三角形,AD为其内角平分线,
∴∠CAD=∠BAD=30°,AB=AC,DB=CD,AC CD
∴ = .
AB DB
∵∠C AB=60°,BC ⊥AC,
1 1 1 1
∴∠B=30°,∴AB=2AC .
1 1 1
∵∠DAB =∠B=30°,∴DA=DB ,
1 1 1
而DA=2DC ,∴DB =2DC ,
1 1 1
∴ AC =DC .
1 1
AB DB
1 1
(2)一定成立.证明如下:
如图,△ABC为任意三角形,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E,
∴∠E=∠CAD=∠BAD,∴BE=AB.
由BE∥AC,可得△EBD∽△ACD,
AC CD
∴ = .
BE DB
AC CD
又∵BE=AB,∴ = .
AB DB
(3)如图,连接DE,
∵AD为△ABC的内角平分线,
CD AC 3 EF AE 5
∴由(2)知,在△ABC中, = = ,在△ACE中, = = .
DB AB 5 FC AC 8
5
AE AE 3 CD AE
∵ = =40 = ,∴ = ,
EB AB-AE -5 5 DB EB
3
又∵∠DFE=∠AFC,∴△DEF∽△ACF,
DF EF 5
∴ = = .
FA CF 8
